Exercícios de Integrais - Resoluções

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1 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
 CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA 
 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 DISCIPLINA: CÁLCULO I 
 PROFESSOR: MARCOS MARTINS 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - INTEGRAIS (Resoluções) 
 
 
1) Calcular a integral 3
0
( )f x dx
 onde 
( )f x 
 
 
Temos: 
 
   
3 2 3 2 3
0 0 2 0 2
( ) ( ) ( ) 7 3f x dx f x dx f x dx x dx x dx         
 
# Uma primitiva de 
( ) 7f x x 
 é 2
1( ) 7
2
x
F x x 
, pois 
  2 12
1
2
( ) (7 ) 7 7
2 2
xx
F x x x
 
       
 
. 
# Uma primitiva de 
( ) 3f x x 
 é 2
2 ( ) 3
2
x
F x x 
, pois 
  2 12
2
2
( ) (3 ) 3 3
2 2
xx
F x x x
   
             
. 
# Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos: 
   
2 3
3 2 22 3
1 20 2
0 0 2
2 2 2 2
( ) 7 3( ) ( )
2 2
2 0 3 2
7 2 7 0 3 3 3 2
2 2 2 2
9
14 2 0 9 2 6
2
27
12 8
2
35
2
x x
f x dx x xF x F x
   
        
   
          
                     
          
  
           
  
  


 
# Portanto, 3
0
35
( )
2
f x dx 
 
 
 
 
 
7 , 2
3, 2
x se x
x se x
 
 
 
 
2 
 
2) Determinar o valor das seguintes integrais aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo. 
a) 
 
2
3
2
0
5 2x x dx 
 
Resolução: Desenvolvendo o cubo e efetuando o produto temos: 
 
 
 
2 2
3
2 6 4 2
0 0
2
7 5 3
0
5 2 ( 15 75 125) 2
2 30 150 250
x x dx x x x x dx
x x x x dx
      
   
 

 
# Assim, vem: 
 
 
 
2 2 2 2 2
7 5 3 7 5 3
0 0 0 0 0
2 30 150 250 2 30 150 250x x x x dx x dx x dx x dx x dx          
 
 
# Aplicando o T.F.C. em cada uma das integrais vem: 
 
2 2 2 2 2
3
2 7 5 3
0 0 0 0 0
2 2 2 2
8 6 4 2
0 0 0 0
8 8 6 6 4 4 2 2
5 2 2 30 150 250
2 30 150 250
8 6 4 2
2 0 2 0 2 0 2 0
2 30 150 250
8 8 6 6 4 4 2 2
64
2 32 30 150 4
6
x x dx x dx x dx x dx x dx
x x x x
     
       
             
       
       
                  
       
     
    
250 2 64 320 600 500 1484      
 
# Portanto 2
2 3
0
( 5) 2 1484x x dx  
 
b) 2
0
( cos )x x dx


 
Resolução: Uma primitiva de 
( ) cosf x x x 
 é 2
( )
2
x
F x sen x 
, pois 
 
   
2
2 12
( ) cos cos
2 2
x
F x sen x x x x x

         
 
. 
# Aplicando o T.F.C. vem: 
 
2
2 2 2 22 2
0 0
02
( cos ) 0 1 0 1
2 2 2 2 8 8
x
x x dx sen x sen sen
  
  
  
                                  
  
 
 
# Portanto 22
0
( cos ) 1
8
x x dx


  
. 
 
3 
 
 c) 1
3
0
( 6 8)x x dx 
 
Resolução: Temos: 
 1 1 1 1
3 3
0 0 0 0
( 6 8) 6 8x x dx x dx x dx dx       
 
# Aplicando o T.F.C. vem: 
 
 
 
111 1 1 4 2 4 4 2 2
13
0
0 0 0 0 0
1 0 1 0
6 8 6 8 6 8 (1 0)
4 2 4 4 2 2
1 1 1 21
6 8 1 3 8
4 2 4 4
x x
x dx x dx dx x
     
                   
     
 
         
 
  
 
# Portanto 1
3
0
21
( 6 8)
4
x x dx  
 
d) 4
2
0
sec x dx


 
Resolução: Uma primitiva da função 
2( ) secf x x
 é 
( )F x tgx
, pois 
2( ) ( ) secF x tg x x  
 
 
# Aplicando o T.F.C. vem: 
 
   
4
2 4
0
0
sec 0 1 0 1
4
x dx tg x tg tg

  
      
 

 
# Portanto, 4 2
0
sec 1x dx


 
e) 2
0
xe dx
 
Resolução: Uma primitiva de 
( ) xf x e
 é 
  xF x e
, pois 
'( ) xF x e
 
# Então, aplicando o T.F. C. vem: 
 
2
2
2 0 2
0
0
1x xe dx e e e e    
 
# Portanto, 2
2
0
1xe dx e 
 
 
3) Determinar a função primitiva 
 F x
da função 
 f x
, onde: 
a) 
2( ) 5 7 2f x x x  
 
Resolução: Encontrar uma primitiva de 
( )f x
 é encontrar uma função 
( )F x
 cuja derivada seja 
( )f x
. 
 
4 
 
Assim, 3 2
( ) 5 7 2
3 2
x x
F x x C     
 onde C é uma constante, pois: 
 
 
3 2
( ) 5 7 2 ( )
3 2
3
5
x x
F x x C
              
   
 
 
3 1
3
x

2
7
 
   
 
 
 
2 1
2
x

 
1 1
2
2 0
5 7 2
x
x x

 
    
 
 
  
 
b) 5
4( )f x x


 
Resolução: Temos que 1
1
n
n xx dx C
n

 

 . Então uma primitiva da função dada será: 
    
5 1
1 14 4
4( ) 4
5 1
1
4 4
x x
F x x C
  

    
  
 
pois, 
 
1
4( ) 4 4F x x C

        
 
1
4
 
1 5 5
1
4 4 40 1x x x
    
    
 
 
c)
1
( )f x
x x

 
Resolução: Note que 3
2
33
2
1 1 1
( )f x x
x x x x

   
 
# Então, segue que uma primitiva da função dada será: 
    
3 1
1 12 2
2( ) 2
3 1
1
2 2
x x
F x C C x C
  

      
  
, 
 Pois 
 
1
2( ) 2 2F x x C

        
 
1
2
   
31
1
22
3 2
2
1 1 1
0x x
x xx x
x
  
      
  
 
d)
1
( )
1
f x
x


para 
1x 
. 
Resolução: Observemos que 
ln | |
dx
x C
x
 
. Assim: 
 
5 
 
#
1
( )
1
f x
x


 “se parece” com 
1
x
. Logo, uma primitiva de 
( )f x
 deve ser 
( ) ln | 1|F x x C  
. 
# Vamos então verificar o que acorre com 
'( )F x
: 
      
1 1 1
( ) ln 1 1 0 1 0
1 1 1
F x x C x
x x x
                   
     
. 
# Então, de fato, 
( ) ln( 1)F x x C  
 é uma primitiva de 
1
( )
1
f x
x


 para 
1x 
. 
e) 
4( ) xf x e
 
Resolução: Sabendo que a derivada da função 
( ) xf x e
 é a própria função exponencial, então 
uma primitiva de 
4( ) xf x e
 poderia ser 
4( ) xF x e C 
. 
No entanto, 
   4 4 4( ) (4 ) 0 4x x xF x e C e x e       
, que não corresponde à função dada. 
# Assim, uma primitiva da função dada será 4
( )
4
xe
F x C 
, pois, 
         
4
4 41 1 1( ) 4 0
4 4 4 4
x
x xeF x C e C e x
               
 
 4 4xe
 
  
 
  40 xe 
. 
# Portanto, uma primitiva para a função 
4( ) xf x e
 é a função 4
( )
4
xe
F x C 
. 
 
 
4) Encontrar uma função primitiva 
 F x
da função 
 f x
dada, que satisfaça a condição inicial dada, 
onde: 
a) 
21( ) 2 cos
2
f x sen x x x  
 tal que 
2
4 2
F
 
  
 
 
Resolução: Uma primitivada função dada tem a forma: 
 
   
3 31
( ) 2 ( cos ) 2cos
2 3 6
x x
F x x sen x C x sen x C
 
            
 
, 
onde C é uma constante real qualquer, pois: 
 
6 
 
 
     
 
3
( ) 2cos
6
1
2 ( ) cos
6
x
F x x sen x C
senx x
         
 
      3 2
2
0
1
2 cos
2
( )
x
sen x x x
f x

  

 
# Mas, devemos ter 
( )F x
tal que 
2
4 2
F
 
  
 
e isso nos dará um valor específico para C. Então: 
3
3
3
3
3
1 2
2cos
4 4 4 6 4 2
2 2 1 2
2
2 2 6 64 2
2 2 2 2
2 2 384 2
2 2
2 384 2
384
F sen C
C
C
C
C
   




       
              
       
   
           
  
     
    

 
# Logo, a primitiva da função dada que satisfaz a condição inicial é a função: 
 3 3
( ) 2cos
6 384
x
F x x sen x

    
 
b) 2
3( )f x x x

 
 tal que 
1
(1)
2
F 
. 
Resolução: Devemos ter 
 
2 1
1
11 1 2 23 3
3( ) 3
2 11 1 2 2
1
3 3
x x x x x
F x C C x C
 

        

 
, 
pois 
 
7 
 
 
1 2
3'( ) 3 3
2
x
F x x C
           
  
1
3

1
1
3
1
2
x
  
   
   
2
 
 
 
  2 1
2
3
0
( )
x
x x
f x



 

 
# Pela condição inicial, devemos ter 
1
(1)
2
F 
. Assim: 
 
 
 
2
1
3
1 1
(1) 3 1
2 2
1 1
3
2 2
3
F C
C
C
    
  
 
 
# Portanto, uma primitiva da função dada que satisfaz a condição inicial é a função 
 1 2
3( ) 3 3
2
x
F x x  
. 
c) 
( ) sec cosf x x tg x x  
 tal que 
2
3
F
 
 
 
 
Resolução: 
( ) secF x x sen x C  
, pois 
( ) (sec ) ( ) ( ) sec cos 0
sec cos
( )
F x x sen x C x tg x x
x tg x x
f x
         
  

 
# Porém, pela condição inicial devemos ter 
2
3
F
 
 
 
. Assim: 
 
sec 2
3 3 3
3
2 2
2
3
2
F sen C
C
C
       
        
     
  
 
 
# Logo, a primitiva da função dada que satisfaz a condição inicial é a função 
 3
( ) sec
2
F x x sen x  
 
 
8 
 
d) 
3( ) xf x x x e 
 tal que 
(0) 2F 
. 
Resolução: Podemos escrever a função dada, da seguinte maneira: 
 43 3 3 4 3( ) x x xf x x x e x e x e      . 
# Uma primitiva da função dada tem a forma: 
 
4 7
1
73 3
3
3
( )
4 7 7
1
3 3
x x xx xF x e C e C x e C

        

, 
 pois é possível verificar que 
( ) ( )F x f x 
 (VERIFIQUE!) . 
# Para satisfazer a condição inicial devemos ter: 
 
   
7
0
3
3
(0) 0 2
7
0 1 2
1
F e C
C
C
    
  

 
# Logo, a primitiva da função dada que satisfaz a condição inicial é a função 
 7
3
3
( ) 1
7
xF x x e  
 
e) 
2 2( ) 2cossec sec cosf x x x x  
 tal que 
2
3
F
 
 
 
. 
Resolução: Uma primitiva da função dada é 
 
( ) 2cotgF x x tg x sen x C    
, pois 
 
2 2
2 2
( ) 2 (cotg ) ( ) ( ) ( )
2 ( cossec ) sec cos 0
2cossec sec cos
( )
F x x tg x sen x C
x x x
x x x
f x
         
      
  

 
# Para satisfazer a condição inicial devemos ter: 
 
3 3
2 cotg 2 2 3 2
3 3 3 3 3 2
7 3
2
6
F tg sen C C
C
          
                   
       
 
 
 
9 
 
# Logo, a primitiva da função dada que satisfaz a condição inicial é a função 
 7 3
( ) 2cotg 2
6
F x x tg x sen x     
 
 
 
5) Calcular as integrais 
a) 
2 2cot secg x x dx
 
Resolução: Esta função pode ser escrita da seguinte forma 
 2cos x
2 2
1
cossen x x

2
2
1
cossecdx dx x dx
sen x
  
, 
# Assim, vem: 
2 2 2cotg sec cossec cotgx x dx x dx x C     
 
# Portanto, 
2 2cotg sec cotgx x dx x C   
 
b)
2 2( 2) ( 2)x x dx  
 
Resolução: Desenvolvendo os quadrados temos 
 
4 4( 4 4) ( 4 4)x x x x dx    
 
# Efetuando o produto vem: 
 
 2 2 4 2( 2) ( 2) 8 16x x dx x x dx      
 
# Assim, vem: 
 
 2 2 4 2
4 2
5 3
( 2) ( 2) 8 16
8 16
8 16
5 3
x x dx x x dx
x dx x dx dx
x x
x C
     
  
    
 
  . 
# Portanto, 5
2 2 38( 2) ( 2) 16
5 3
x
x x dx x x C      
. 
 
 
10 
 
c)
 3 7 costt t dt  
 
Resolução: Temos: 
 
 3 3
3 1
2
7 cos 7 cos
7
3 1 ln 7
7
2 ln 7
t t
t
t
t t dt t dt dt t dt
t
sent C
t
sent C
 
 

    
   
 
   

   
 
# Portanto, 
 
 3 2
1 7
7 cos
2 ln 7
t
tt t dt t sent C       
 
d) 
1
3
3 2
2x
dx
x



 
Resolução: Podemos reescrever a função integrando como segue 
 3
1 1 1
1 2 2 23 3 3
13 3 3 3
2 23 2 3 2 3 2
3 3
2 2 2
2 2
x x x
x x x x
x x x
x x
  
   
        
 
# Então: 
 
1
23
1 3
3 2
2
2
x
dx x x dx
x


    
 
 
 
# Assim, vem: 
1
2 23
1 3 3
3 2
2
1
3
1
3
1
3
2 1
2 2
ln 2
2
1
3
ln 2
1
3
ln 6
x
dx x x dx dx x dx
xx
x
x C
x
x C
x x C

 

 
 
    
 
   
 
   
  
   
 
 
11 
 
# Portanto, 
1
13
3
3 2
2
ln | | 6
x
dx x x C
x


  
. 
e) 2cossec
sec
x
dx
x
 
Resolução: Podemos reescrever a função integrando como segue: 
2 2
2
1
cossec 1 cos 1
cos cotg cossec
1sec
cos
x xsen x x x x
x sen x sen x sen x
x
       
# Então: 
 2cossec
cotg cossec
sec
x
dx x x dx
x
  
 
# Assim, vem: 
 
cotg cossec cotgx x dx x C   
 
# Portanto, 2cossec
cotg
sec
x
dx x C
x
  
 
f) 1
3 2
0
( 1)x x dx 
 
Resolução: 
 
 
 
1 1 1 1
3 2 3 2
0 0 0 0
1 1
4 3
1
0
0 0
1
4 3
1 1
1
4 3
19
12
x x dx x dx x dx dx
x x
x
    
   
     
   
  

   
 
g) 4
0
(cos 2 )x sen x dx


 
Resolução: Temos: 
 
12 
 
 
   
   
4 4 4
0 0 0
4 4
0 0
(cos2 ) cos 2
2 cos
0 2 cos cos 0
4 4
2 2
0 2 1
2 2
2
2 2
2
2
2
2
x sen x dx x dx sen x dx
sen x x
sen sen
  
 
 
   
   
      
          
      
   
          
   
  
 
  
 
# Portanto, 4
0
2
(cos 2 ) 2
2
x sen x dx

  
 
 
6) Determinar o valor das integrais abaixo. 
 
a)
 
3
4
7 5
dx
x

 
Resolução: Fazendo a substituição de 
7 5x
 por 
u
, na integral dada, vem: 
7 5
5 5
u x du
dx
du dx
 
  
 
 
# Assim: 
 
 
3
3 3
4 4 4
5 57 5
du
dx u du
ux
      
 
  
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
3 1 2
3 2
2
4 4 4 2 2
5 5 3 1 5 2 5 5
u u
u du C C u C C
u
  
                   
     

 
# Como 
7 5u x 
, temos: 
 
3
22
4 2 2
5 5 5 7 5
u du C C
u x
    


 
 
13 
 
# Portanto, 
   
3 2
4 2
7 5 5 7 5
dx C
x x
 
 

 
b)
2
1
dx
x
 
Resolução: 
 
2
2
1
dx x dx
x
 
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
2 1 1
2 1
2 1 1
x x
x dx C C C
x
  
         
   

 
# Portanto, 
2
1 1
dx C
x x
  
 
c)
 cos 7t dt
 
Resolução: Fazendo a substituição de 
7t 
 por 
u
, na integral dada, vem: 
7
7 7
u t du
dt
du dt
 
 

 
# Assim: 
 
 
1
cos 7 cos cos
7 7
du
t dt u u du      
 
  
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
 
1 1
cos
7 7 7
senu
u du senu C C   
 
# Como 
7u t  
, temos: 
 71
cos
7 7 7
sen tsenu
u du C C

   
 
# Portanto, 
 
 7
cos 7
7
sen t
t dt C
   
 
 
 
14 
 
d)
2 42x x dx
 
Resolução: Note que é possível colocar 
2x
em evidência e retirá-lo do radical. Isso é necessário, 
pois uma mudança de variável imediata não resolve a questão. Assim: 
 2 4 2 2 22 1 2 1 2x x dx x x dx x x dx      
 
# Fazendo a substituição de 
21 2x
 por 
u
, na integral dada, vem: 
21 2
44
u x du
dx
xdu x dx
  
  
 
 
# Assim: 
 
21 2x x dx x  4
du
u
x
 
1
2
1
4
u du
 
  
 

 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
1 3
1
1 32 2
2 2
1 1 1 2 1
14 4 4 3 6
1
2
u u
u du C C u C

   
                 
     
 
# Como 
21 2u x 
, temos: 
 
1 3 3
22 2 2
1 1 1
1 2
4 6 6
u du u C x C        
 
# Portanto, 
 
3
2 4 2 2
1
2 1 2
6
x x dx x C    
 
e)
2 3
dx
x 
 
Resolução: Esta integral pode ser reescrita como segue 
     
2 22 223 3 3
dx dx dx
x x x
 
  
  
 
# Pelo item 13 da tabela de integrais imediatas, vem: 
   
2 2
1
arctg , onde : 3
3 33
dx x
C a
x
 
   
 

. 
 
15 
 
# Racionalizando 
1
3
1 1 3 3
33 3 3
 
   
 
, vem: 
   
2 2
1 3
arctg arctg
33 3 33
dx x x
C C
x
   
      
   

 
# Portanto, 
2
3
arctg
3 3 3
dx x
C
x
 
  
  

. 
f) 2
3
0
cos x sen x dx


 
Resolução: Fazendo a substituição de 
cos x
 por 
u
, na integral dada, vem: 
 
cos
; 0 1; 0
2
u x du
dx u u
du sen x dx sen x
  
      
   
 
# Assim: 
 2 3 3
0
cos x sen x dx u sen x

  
du
sen x
 
0 0
3
1 1
u du
 
  
 
 
 
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
 
0 00 3 1
3 4 4 4
1 11
1 1 1
0 1
3 1 4 4 4
u
u du u
   
           
   

 
# Portanto, 2 3
0
1
cos
4
x sen x dx

 
 
g) 4 5
1
ln t
dt
t
 
Resolução: É importante observar que fazendo a substituição 
5u t
, sua derivada não estará na 
função integrando e isso não facilitará a resolução. Usaremos então a seguinte propriedade 
logarítmica: 
 
log log
cb b
a ac 
. 
# Então: 
5ln 5 lnt t 
. Assim: 
 
16 
 
 4 4 45
1 1 1
ln 5 ln ln
5
t t t
dt dt dt
t t t

   
 
# Fazendo a substituição de 
ln t
 por 
u
, na integral dada, vem: 
       
ln
; 1 ln 1 ; 4 ln 41
u t
dt t du u u
du dt
t


   

 
# Assim: 
 4
1
ln
5 5
t u
dt
t t

 
 ln 4
ln 1
t
 
 ln 4
ln 1
5du u du 
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
 
 
 
 
 
 
           
ln 4 ln 4ln 4 1 1
2 2 2 22 2
ln 1 ln 1ln 1
5 5 5 5
5 5 ln 4 ln 1 ln 4 0 ln 4
1 1 2 2 2 2
u
u du u
                       

 
# Portanto, 
  
4 5
2
1
ln 5
ln 4
2
t
dt
t

 
h) 3
2
0 1
x
dx
x 

 
Resolução: Fazendo a substituição de 
2 1x 
 por 
u
, na integral dada, vem: 
   
2 1
; 0 1; 3 10
22
u x du
dx u u
xdu x dx
  
   

 
 # Assim: 
 3
2
0 1
x x
dx
x



10
1
2
du
xu

10 1
2
1
1
2
u du

 
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
 
10 10
1 1
110 1 2 2 10
2
1
1
1 1
1 1 1
10 1
1 12 2 2
1
2 2
u u
u du u
 

   
   
         
    
   
 
 
17 
 
# Portanto, 3
2
0
10 1
1
x
dx
x
 


 
 
7) Calcular a área assinalada das figuras abaixo: 
a) 
 
 Onde 
  4
2
y f x
x
 
. 
 
Resolução: A área será dada por 
 
b
a
A f x dx 
, 
onde 
  4
2
f x
x

, com 
1 3x 
. Assim: 
 
 
 
3 3
4
4
1 1
2
2
b
a
A f x dx dx x dx
x
    
 
 
Observação: Note que a região é limitada superiormente por 
  4
2
y f x
x
 
 e inferiormente pelo 
eixo 
  0x y g x   
. 
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
3 33 4 1
4
3 3 3
1 11
2 1 2 1 1 2 1 2 26 52
2 2 1 u.a.
4 1 3 3 3 1 3 27 3 27 81
x
A x dx
x
 
                                 
          

 
 
 
 
18 
 
b) 
 
 Onde 
  1y f x x  
. 
 
Resolução: Novamente a área será dada por 
 
b
a
A f x dx 
, 
onde 
  1f x x 
, com 
0 4x 
. Assim: 
   
4 4 4
0 0 0
1
b
a
A f x dx x dx x dx dx       
 
Observação: Note que a região é limitada superiormente por 
  1y f x x  
 e inferiormente 
pelo eixo 
  0x y g x   
. 
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
     
4 4
4 4 1 1 2 2 2
4 4
0 0
0 0 0 0
4 0
4 0 12 u.a
1 1 2 2 2
x x
A x dx dx x x
     
               
     
 
 
c) 
 
 Onde 
 y f x x 
. 
 
19 
 
Resolução: Novamente a área será dada por 
 
b
a
A f x dx
, 
onde 
 f x x
, com 
0 4x 
. Assim: 
 
4 4 1
2
0 0
b
a
A f x dx x dx x dx    
 
Observação: Note que a região é limitada superiormente por 
 y f x x 
 e inferiormente pelo 
eixo 
  0x y g x   
. 
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
 
4 4
1 3
1 44 1 2 2
2
0 0
0 0
2 2 16
4 4 0 0 u.a.
1 3 3 3 3
1
2 2
x x
A x dx x x

   
     
           
    
   
 
 
8) Determinar a área da região limitada por 
 y f x x 
 e 
  2y g x x x  
. 
Resolução: Aplicando os passos (1, 2 e 3) descritos a seguir, vem: 
(1º Passo) Gráfico da região: 
 
 
(2º Passo) Determinação dos limites de integração: 
     2 2 1 22 0 2 0 0 ou 2f x g x x x x x x x x x x             
. 
(3º Passo) Cálculo da área: 
 
20 
 
# A área será dada por 
   
b
a
A f x g x dx   
, 
onde 
 f x x
 e 
  2g x x x 
, com 
0 2x 
. Assim: 
       
2 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0
2 2
b
a
A f x g x dx x x x dx x x dx x dx x dx                 
 
 
Observação: Note que a região é limitada superiormente por 
 y f x x 
 e inferiormente por 
  2y g x x x  
. 
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
 
2 2
2 2 2 3 2 2 3 3
2
0 0 0 0
2 0 2 0 4
2 2 2 u.a.
2 3 2 2 3 2 3
x x
A x dx x dx
       
                 
       
 
 
 
9) Determinar a área da região limitada por 
  1y f x x   
, o eixo 
x
 e as retas 
2x  
 e 
0x 
. 
 Resolução: Aplicando os passos (1, 2 e 3) sugeridos abaixo, vem: 
(1º Passo) Gráfico da região: 
 
(2º Passo) Determinação dos limites de integração: 
 Os limites de integração já foram definidos na própria questão (e como pode ser visualizado no 
gráfico), ou seja, 
2 0x  
. 
(3º Passo) Cálculo da área: 
 
 # A área será dada por 
 
b
a
A f x dx 
, 
 
21 
 
onde 
  1f x x  
, com 
2 0x  
. Assim: 
   
0 0 0
2 2 2
1
b
a
A f x dx x dx x dx dx
  
         
 
 
Observação: Note que a região é limitada superiormente por 
  1y f x x   
 e inferiormente 
pelo eixo 
  0x y g x   
. 
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
 
 
 
  
0 20 0 2 2
0
2
2 2 2
20
0 2 4 u.a.
2 2 2
x
A x dx dx x

  
   
                       
 
 
 
10) Determinar a área da região limitada por 
  2y f x x 
 e 
  2 4y g x x x   
. 
Resolução: Aplicando os passos (1, 2 e 3) sugeridos abaixo, vem: 
(1º Passo) Gráfico da região: 
 
(2º Passo) Determinação dos limites de integração: 
     2 2 2 1 24 2 4 0 2 2 0 0 ou 2f x g x x x x x x x x x x              
. 
(3º Passo) Cálculo da área: 
 
# A área será dada por 
   
b
a
A x x f x dx   
, 
onde 
  2f x x
 e 
  2 4g x x x  
, com 
0 2x 
. Assim: 
 
22 
 
         
2 2 2 2
2 2 2 2
0 0 0 0
4 2 4 2 4
b
a
A g x f x dx x x x dx x x dx x dx x dx                    
 
Observação: Note que a região é limitada superiormente por 
  2 4y g x x x   
 e inferiormente 
por 
  2y f x x 
. 
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
 
       
2 2
2 2
2 3 2 3 3 2 2
0 0
0 0
2 2 8
2 4 2 2 0 2 2 0 u.a.
3 3 3
A x dx x dx x x                
 
11) Calcular a área da região limitada por 
 
1
y f x
x
 
, o eixo 
x
 e as retas 
1x 
 e 
4x 
. 
Resolução: Aplicando os passos (1, 2 e 3) sugeridos abaixo, vem: 
(1º Passo) Gráfico da região: 
 
(2º Passo) Determinação dos limites de integração: 
 Os limites de integração já foram definidos na própria questão (e como pode ser visualizado no 
gráfico), ou seja, 
1 4x 
. 
(3º Passo) Cálculo da área: 
 
 # A área será dada por 
 
b
a
A f x dx 
, 
onde 
 
1
f x
x

, com 
1 4x 
. Assim: 
 
4 4 1
2
1 1
1
b
a
A f x dx dx x dx
x

    
 
 
23 
 
Observação: Note que a região é limitada superiormente por 
 
1
y f x
x
 
 e inferiormente pelo 
eixo 
  0x y g x   
. 
 
# Consultando a tabela de integrais imediatas, vem: 
 
   
4
4 1 1 4
2 2
1
1 1
2 2 2 4 1 2 u.a.A x dx x x
  
       
 
