Limites Fundamentais em Cálculo

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Limites Fundamentais: 
 
 
1º Limite Fundamental: 
 
“Se x é um arco em radianos e sen x é a medida 
do seno desse arco; então quando o arco x tender a 
zero, o limite da divisão do valor de seno de x 
pela medida do arco x será igual a 1” 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
Intuitivamente isto pode ser percebido 
da seguinte forma: 
1
sen
lim
0

 x
x
x
 
 3 
Seja x um arco em radianos, cuja medida seja 
próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas 
condições, o valor de sen x será igual a 
sen 0,0001 0,00009999  
 
 (obtido numa calculadora 
científica). 
Efetuando-se o quociente, vem: 
0,00009999sen 0,99999 1
0,0001
x
x   . 
 4 
Quanto mais próximo de zero for o arco x , mais o 
valor do quociente senx
x
 se aproximará do valor 1, 
caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de 
uma função. Faça os seguintes exemplos: 
sen4lim
0
x
xx


0=?
0 
sen3 0lim ?
00
x
xx
 
 
 5 
2º Limite Fundamental: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde 2,71828...e  (nº de Euler) 
 
A tabela a seguir mostra os valores de 11
x
x
 
 
 
 
 
 
 a 
medida em que o valor de x “tende” a ser muito 
grande, ou seja, x: 
e
x
x
x








1
1lim
 
 6 
x 11
x
x
 
 
 
 
 
 
 
1 2 
2 2,25 
5 2,48832 
10 2,59374 
50 2,69159 
100 2,70481 
200 2,71152 
300 2,71377 
 7 
500 2,71557 
1000 2,71692 
5000 2,71801 
 
 
Resolva o exemplo: 
2
1lim 1 ?
x
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
3º Limite Fundamental: 
 
Seja um valor exponencial xb , onde b é a base, 
positiva e diferente de 1. Sendo x o expoente, um 
número real qualquer, temos que: se o número x 
tender a zero então a expressão 1xb
x
 assumirá o 
valor de lnb . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b
x
bx
x
ln
1
lim
0


 
 9 
De forma intuitiva, observe o que ocorre com o 
valor da expressão 2 1x
x
 à medida que o valor de 
x se aproxima de zero pela direita, ou seja, vamos 
calcular: 
x
x
x
12
lim
0

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
x 2 1
x
x
 
0,5 0,82843 
0,4 0,79877 
0,2 0,74349 
0,1 0,71773 
0,05 0,7053 
0,02 0,69797 
0,01 0,69556 
0,001 0,69339 
0,0001 0,69317 
Observe que o valor 0,69317 é igual a 
ln2 0,69317 
 - 11 - 
Resumo 
 
1º Limite Fundamental: 1
sen
lim
0

 x
x
x 
2º Limite Fundamental: ex
x
x








1
1lim 
3º Limite Fundamental: bx
bx
x
ln
1
lim
0


 
 
 - 12 - 
Conseqüências dos Fundamentais: 
 
 0
cos 1
) lim 0
x
x
a
x

 
 0
1
) lim 1
x
x
e
b
x

 
0
ln( 1)
) lim 1
z
z
c
z

 
 - 13 - 
 
 
Limites Fundamentais 
 
Vimos três proposições que caracterizam os 
chamados limites fundamentais. Estamos tratando 
de casos particulares de indeterminações do tipo 0
0
, 
1 e 0 . 
 
 - 14 - 
Proposição 1 (1° Limite Fundamental): 
0 0
lim 1 ou lim 1
x x
sen x x
x sen x 
  
 
Proposição 2 (2° Limite Fundamental): 
 
 
1
0
1
lim 1 ou lim 1
x
x
x x
e x e
x 
 
    
  , 
onde e é o número irracional neperiano cujo valor 
aproximado é 2,718281828459. . . 
 - 15 - 
Proposição 3 (3° Limite Fundamental): 
 
0
1
lim ln , 0 e 1
x
x
a
a a a
x

   
 
Caso particular: 
0
1
lim ln 1
x
x
e
e
x

 
 
 
 - 16 - 
Exercícios: 
 1)
7
lim 1
5
x
x x
 
 
 

 
 
6
2) lim 1
x
x x
 
 
  
 
0
1 cos
3) lim
x
x
sen x

 
 - 17 - 
3
0
1
4) lim
(2 )
x
x
e
sen x

 
 
0
6 1
5) lim
sen x
x sen x
