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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO I PROFESSOR: MARCOS MARTINS LISTA DE EXERCÍCIOS – DERIVADAS (RESOLUÇÕES) 1) Aplicando a definição, calcule a derivada das funções: a) 2( )f x x x no ponto de abscissa 3x . Solução: b) ( ) 1f x x no ponto de abscissa 0x . Solução: 2 2) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola 2 2y x x no ponto 3,3 . Solução: 3) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de 22 1y x que é paralela à reta 8 2 0x y . Solução: 4) Ache a equação da reta normal à curva 32y x x no ponto 2,4 . Solução: 3 5) Seja :f definida por 3 2( ) 1f x x . Calcular ' (0), ' (0), '(0)f f f . Solução: 4 6) Seja :f definida por ( )f x Calcular ' (1) ' (1)f e f . Solução: 7) Encontre as derivadas das seguintes funções: a) 5 26 9y x x x Solução: b) cos2y t Solução: 21 , 0 1 1, 1 2 x se x x se x 5 c) 2( ) 1h x x Solução: d) 7( ) (3 5)f s s Solução: e) 3( )g r r r Solução: 6 f) 1 ( ) 1 g u u Solução: g) 3 5xy x e Solução: 7 h) ln( 2)y x Solução: i) cos(ln )y x Solução: j) ln ln lny x Solução: 8 k) 34 13 xy Solução: l) cos 2xy e x Solução: m) 2 23 (3 5 7)y x x Solução: 9 n) 2ln( 1)x f x x Solução: 10 o) 1 sen ( ) 1 sen x f x x Solução: 8) Calcule dy dx onde 2 1y u e 3 2u x . Solução: 11 9) Seja x xf 32 1 )( . Encontre: a) 0f Solução: b) ' 0f Solução: 12 c) " 0f Solução: d) ''' 0f Solução: 13 10) Encontre um polinômio P , de segundo grau, tal que: 2 5P , ' 2 3P e " 2 2P . Solução: 14 11) Seja senhf x x . Encontre 'f x . Solução: 12) A equação " ' 2 seny y y x é chamada de equação diferencial, pois envolve a função desconhecida y f x e suas derivadas. Encontre as constantes A e B tal que a função sen cosy A x B x satisfaça essa equação. Solução: E 15 13) Dada a função 5y x , calcular a derivada de sua função inversa no ponto 32y . Solução: 16 14) Encontre 'y derivando implicitamente: a) 3 3 1x y Solução: b) 2 2 1x xy y Solução: c) 1x y Solução: 17 d) 4 4 16x y Solução: e) 5yxe xy Solução: 15) O lado de um quadrado mede 10 pés, com erro possível de 1cm. a) Use diferenciais para estimar o erro na área calculada. Solução: 18 b) Estime o erro percentual no lado e na área. Solução: 16) Um disco circular dilata sob o efeito do calor de tal modo que seu raio varia de 5cm a 5,6 cm. Calcule o acréscimo aproximado da área. Solução: 17) O lado de um cubo é medido com um erro percentual possível de 2%. Use diferenciais para estimar o erro percentual no volume. Solução: 19 18) Encontre 4 3,02 . Solução: 19) Aproxime, por meio de diferenciais, o aumento do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta varia de 10 cm para 10,1 cm. Qual a variação exata do volume? Solução: 20 20) Dada a função 2( ) 3 5f x x . a) Esboce o gráfico de f . Solução: b) Calcule 'f x . Solução: c) Esboce o gráfico de 'f x . Solução:
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