ExercÃ-ciosExtraDerivadasRES

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
 CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA 
 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 DISCIPLINA: CÁLCULO I 
 PROFESSOR: MARCOS MARTINS 
 
LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS - RESOLUÇÕES 
(DERIVADAS) 
 
1) ( 1 ) Verifique que não existe a derivada de 
( )f x
 em 
0x x
, para 
( )f x x
, 
[0, )x 
 e 
0 0x 
. 
 
Resolução: 
 
# Calculemos primeiramente a função derivada da 
f
: 
 
0 0 0
( ) ( )
'( ) lim lim lim
h h h
f x h f x x h x x h x
f x
h h h  
     
  
 
 
# O cálculo do limite acima nos indica uma indeterminação do tipo 
0
0
. Então, multiplicando 
numerador e denominador pelo conjugado do numerador, vem: 
 
0 0 0
lim lim lim
h h h
x h x x h x x h x x
h h x h x  
         
               
h x 
 
0
lim
h
h x h x
h

 

h   0
1 1
lim
2h x h x xx h x 
 
  
 
 
# Verificando o domínio da função derivada 
1
'( )
2
f x
x

, temos: 
 
[ '( )] (0, )Dom f x  
 
 
# Então, a função derivada não está definida para 
0x 
 (Veja o denominador de 
'( )f x
). 
# Logo, não existe a derivada de 
f
 para 
0 0x x 
, isto é, 
 '(0).f
 
 
 
( 2 ) Calcule 
'( )f x
, 
x
, em 
0x x
, para 
0( ) 3 , 0f x x x x 
. 
 
 Resolução: 
 
# Da definição de módulo temos: 
 
x
, se 
0x 
 
x 
 
 
x
, se 
0x 
 
 
# Para 
0x 
, 
2( ) 3f x x
 e, portanto: 
 
2 2 2 2 2
0 0 0
2
0 0
( ) ( ) 3( ) 3 3( 2 ) 3
'( ) lim lim lim
6 3
lim lim
h h h
h h
f x h f x x h x x xh h x
f x
h h h
xh h h
h
  
 
      
  

 
(6 3 )x h
h

0
lim 6 3 6
h
x h x

  
 
 
# No ponto 
0 0x x 
, vem: 
'( ) 6 '(0) 0f x x f  
. 
 
# Para 
0x 
, 
2( ) 3f x x 
 e, portanto: 
 
2 2 2 2 2
0 0 0
2
0 0
( ) ( ) 3( ) 3 3( 2 ) 3
'( ) lim lim lim
6 3
lim lim
h h h
h h
f x h f x x h x x xh h x
f x
h h h
xh h h
h
  
 
        
  
 
 
( 6 3 )x h
h
 
0
lim 6 3 6
h
x h x

    
 
 
# No ponto 
0 0x x 
, vem: 
'( ) 6 '(0) 0f x x f   
. 
# Vemos no desenvolvimento acima que os limites laterais da função 
f
 quando 
0x
 são iguais. 
# Logo, 
0
lim ( )
x
f x

 existe em 
0x f 
 é derivável neste ponto, sendo 
'( ) 0f x 
. 
 
( 3 ) Calcule a função derivada de 
2( ) ,f x x x x  
, e o valor da função derivada em 
0 5x 
. Em 
seguida, calcule a derivada da 
f
 no ponto 
0 5x 
, utilizando a definição de derivada num ponto. Compare 
os resultados. 
 
Resolução: 
 
# Calculemos a função derivada da 
f
: 
 
2 2 2
0 0 0
( ) ( ) [( ) ( )] ( )
'( ) lim lim lim
h h h
f x h f x x h x h x x x
f x
h h  
      
  
22xh h x   2h x  x
2
0 0
2
lim lim
h h
h
xh h h h
h 
 
 
(2 1)x h
h
 
2 1x 
 
# No ponto 
0 5x x 
, vem: 
'( ) 2 1 '(5) 11f x x f   
. 
# Calculemos agora a derivada da 
f
 no ponto 
0 5x 
, utilizando a definição de derivada num ponto: 
 
0
2 2 2
0
0
5 5
0
5
( ) ( ) ( ) (5 5) 30
'( ) lim '(5) lim lim
5 5
( 5)
lim
x x x x
x
f x f x x x x x
f x f
x x x x
x
  

     
   
  


( 6)
5
x
x

 5
lim 6 11
x
x

  
 
 
# Como podemos observar, os resultados são iguais. 
 
 
( 4 ) Calcule as derivadas laterais no ponto 
1x 
, da função 
 
 
3 2x x
, 
1x 
 
 
( )f x 
 
 
2x
, 
1x 
. 
 
 A função é derivável em 
1x 
? Justifique. 
 
Resolução: 
 
# Calculemos as derivadas laterais: 
 
0
3
0
0
1 1
0
3
1 1
( ) ( ) ( ) (1) 2 (1 2)
'( ) lim '(1) lim lim
1 1
( 1)2 1
lim lim
1
x x x x
x x
f x f x f x f x x
f x f
x x x x
xx x
x
  
 
 
  
 
    
   
  
 
 

2( 1)
1
x x
x
 

2
1
lim 1 1
x
x x

   
 
 
e 
 
0
0
0
1 1
0
3
1 1
( ) ( ) ( ) (1) 2 (1 2)
'( ) lim '(1) lim lim
1 1
2 1 1
lim lim
1
x x x x
x x
f x f x f x f x
f x f
x x x x
x x x
x
  
 
 
  
 
    
   
  
  
 
 1x  1
lim 1 1
x 
 
 
 
 
# Como 
'(1) '(1),f f 
 então 
f
 é derivável em 
1x 
, isto é, existe 
'(1)f
. 
# Logo, a função é derivável em 
1x 
. 
 
OBSERVAÇÃO: Note que para 
1x 
 a regra que vale é 
( )f x 
2x
, portanto onde se substitui 
(1)f
, 
deve-se usar esta regra para calculá-lo, tanto na derivada pela esquerda, quanto na derivada pela direita. 
 
( 5 ) Calcular a derivada de 2
( )
1
x x
f x
x



, 
1x 
. 
 
Resolução: 
 
# De acordo com a definição, calculemos a função derivada da “
f
”: 
 
 
2 2
0 0
2 2 2 2
0 0
2 2
20
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1 1
'( ) lim lim
2 ( ( 2) 1)
( ) 1 1 ( 1)( 1)
lim lim
( 2) 1 2 1
lim
( 1)( 1) ( 1)
h h
h h
h
x h x h x x
f x h f x x h x
f x
h h
x hx h x h x x h x x h h
x h x x x h
h h
x x h h x x
x x h x
 
 

   

    
 
        

     
 
     
 
   
 
 
OBSERVAÇÃO: Aplicando as Regras de Derivação, poderíamos ter obtido a “
'( )f x
” como segue 
abaixo: 
 
# Sejam 
2( )g x x x 
 e 
( ) 1h x x 
, com 
1 ( ) 0x h x  
. 
# Seja 
( )
( )
( )
g x
f x
h x

 
# Assim: 
2
'( ). ( ) ( ). '( )
'( )
[ ( )]
g x h x g x h x
f x
h x


 
# Assim, vem: 
 
2 2
2 2
(2 1).( 1) ( ).(1) 2 1
'( )
( 1) ( 1)
x x x x x x
f x
x x
     
 
 
 
 
 
( 6 ) Calcule a derivada da função composta 
2 10( ) ( 1)f x x 
, 
x
. 
 
Resolução: 
 
# Sejam 
2( ) 1u x x 
 e 
10( )g u u
. 
# Seja 
( ) ( ( ))f x g u x
. Assim, vem: 
 
'( ) '( ( )). '( )f x g u x u x
 [regra da cadeia] 
 
# Temos então: 
 
2 9 2 2 9 2 9'( ) 10( 1) .( 1)' 10( 1) .(2 ) 20 ( 1)f x x x x x x x      
 
 
 
( 7 ) Calcule a derivada da função inversa da seguinte função: 
 
2( ) 1y f x x  
, 
0x 
. 
 
Resolução: 
 
# Primeiramente calculemos a inversa da “
f
”: 
 
 
1( ) 1x f y y  
 , 
(1, )y 
. 
 
# Assim, como 
(1, )y 
, temos que 
'( ) 0f x 
, 
x
. 
# Por outro lado, 
 
 
'( ) 2f x x
. 
 
# Aplicando a regra da função inversa, vem: 
 
1 1 1 1( ) '( )
'( ) 2 2 1
f y
f x x y
   

 
 
 
( 8 ) Calcule a derivada da função: 
 
2 2 1( ) ,x xg x a x  
. 
 
Resolução: 
     
2 2 22 1 2 2 1 2 1'( ) ln ( 2 1) ' ln (2 2) 2 ( 1) lnx x x x x xg x a a x x a a x a x a                  ( 9 ) Calcule a derivada da função: 
 
2 4( ) ln(2 2 1),g x x x x   
. 
 
Resolução: 
 
# Chamemos 
2 4( ) 2 2 1u x x x  
. Assim, temos: 
 
( ) ln( ( ))g x u x
 
 
# Aplicando a regra de derivação para a função logarítmica, vem: 
 
3
3
2 4 2 4
1 1 4 8
'( ) '( ) (4 8 )
( ) 2 2 1 2 2 1
x x
g x u x x x
u x x x x x

     
   
 
 
 
( 10 ) Calcule 
'y
 onde 
3(2 1) xy x 
, 
x
. 
 
Resolução: 
 
# Sejam 
( ) 2 1u x x 
 e 
( ) 3 .v x x
 
# Seja 
( )( ) ( ( ))v xy f x u x 
 
# A derivada da “
f
” é dada por: 
 
 
( ) 1' '( ) [ ( ) ]' ln ' 'v x v vy f x u x u u v v u u       
 
 
# Aplicando então a função dada, vem: 
 
3 3 1 3 1' '( ) (2 1) ln(2 1) 3 3 (2 1) 2 (3 (2 1) ln(2 1) 6 ) (2 1)x x xy f x x x x x x x x x                  
 
 
( 11 ) Calcule a derivada da função 
cos
( )
x
f x ctg x
sen x
 
, 
, 0,1,...x k k 
 
Resolução: 
 
# Aplicando a regra do quociente de duas funções para a derivação e lembrando as derivadas das 
funções seno e cosseno, vêm: 
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
(cos ) '. cos ( ) ' ( ). cos .cos
'( )
( )
cos ( cos ) 1
cossec
x sen x x sen x sen x sen x x x
f x
sen x sen x
sen x x sen x x
x
sen x sen x sen x
  
 
   
     
 
 
 
( 12 ) Calcule a derivada da função 
1
( ) sec
cos
f x x
x
 
, 
(2 1)
2
x k

 
, 
0,1,2,...k 
 
 
Resolução: 
 
# Aplicando a regra do quociente de duas funções para a derivação e lembrando a derivada da 
função cosseno, vêm: 
 
2 2 2
(1) 'cos 1.(cos ) ' 0.cos 1.( ) 1
'( ) .sec
(cos ) cos cos cos cos
x x x sen x sen x sen x
f x tg x x
x x x x x
  
     
 
 
 
( 13 ) Calcule a derivada da função 
1
( ) cossecf x x
sen x
 
, 
x k
, 
0,1,...k 
 
 
Resolução: 
 
# Aplicando a regra do quociente de duas funções para a derivação e lembrando a derivada da 
função seno, vêm: 
 
2 2 2
(1) ' 1.( ) ' 0. 1.(cos ) cos cos 1
'( ) .cossec
( )
sen x sen x sen x x x x
f x cotg x x
sen x sen x sen x sen x sen x
 
        