ExercÃ-ciosDerivadasRES

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 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
 CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA 
 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 DISCIPLINA: CÁLCULO I 
 PROFESSOR: MARCOS MARTINS 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – DERIVADAS (RESOLUÇÕES) 
 
1) Aplicando a definição, calcule a derivada das funções: 
 
 a) 
2( )f x x x 
 no ponto de abscissa 
3x 
. 
 
Solução: 
 
 
 b) 
( ) 1f x x 
 no ponto de abscissa 
0x 
. 
 
Solução: 
 
 
 
 
2 
 
2) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola 
2 2y x x 
 no ponto 
 3,3
. 
Solução: 
 
 
 
3) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de 
22 1y x 
que é paralela à reta 
8 2 0x y  
. 
Solução: 
 
 
4) Ache a equação da reta normal à curva 
32y x x 
no ponto 
 2,4
. 
Solução: 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
5) Seja 
:f 
 definida por 
3 2( ) 1f x x 
. Calcular 
' (0), ' (0), '(0)f f f 
. 
Solução: 
 
 
 
 
4 
 
 
 
6) Seja 
:f 
 definida por 
 
( )f x 
 
 
Calcular 
' (1) ' (1)f e f 
. 
Solução: 
 
 
7) Encontre as derivadas das seguintes funções: 
 
 a) 
5 26 9y x x x  
 
Solução: 
 
 
 b) 
cos2y t
 
Solução: 
 
 
21 , 0 1
1, 1 2
x se x
x se x
  
   
 
 
5 
 
 c) 
2( ) 1h x x 
 
Solução: 
 
 
 d) 
7( ) (3 5)f s s 
 
Solução: 
 
 
 e) 
3( )g r r r 
 
 Solução: 
 
 
 
6 
 
 
 
 f) 
1
( )
1
g u
u


 
Solução: 
 
 
 g) 
3 5xy x e
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 h) 
ln( 2)y x 
 
Solução: 
 
 
 i) 
cos(ln )y x
 
Solução: 
 
 
 j) 
ln ln lny x
 
Solução: 
 
 
8 
 
 
 
 k) 
34 13 xy 
 
Solução: 
 
 
 l) 
 cos 2xy e x
 
Solução: 
 
 m) 
2 23 (3 5 7)y x x  
 
Solução: 
 
 
 
9 
 
 
 
 n) 
 
2ln( 1)x
f x
x


 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 o) 1 sen 
( )
1 sen 
x
f x
x



 
Solução: 
 
8) Calcule 
dy
dx
onde 
2 1y u 
 e 
3 2u x 
. 
Solução: 
 
 
 
11 
 
 
 
9) Seja 
x
xf
32
1
)(


. Encontre: 
 
 a) 
 0f
 
Solução: 
 
 
 b) 
 ' 0f
 
Solução: 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 c) 
 " 0f
 
Solução: 
 
 
 d) 
 ''' 0f
 
Solução: 
 
 
13 
 
 
 
10) Encontre um polinômio 
P
, de segundo grau, tal que: 
 2 5P 
, 
 ' 2 3P 
 e 
 " 2 2P 
. 
Solução: 
 
 
 
 
14 
 
 
 
11) Seja 
   senhf x x
. Encontre 
 'f x
. 
Solução: 
 
 
12) A equação 
" ' 2 seny y y x  
é chamada de equação diferencial, pois envolve a função desconhecida 
 y f x
e suas derivadas. Encontre as constantes A e B tal que a função 
sen cosy A x B x 
satisfaça 
essa equação. 
Solução: 
 
 
 
E 
 
15 
 
 
 
 
13) Dada a função 
5y x
, calcular a derivada de sua função inversa no ponto 
32y 
. 
Solução: 
 
 
 
16 
 
 
14) Encontre 
'y
 derivando implicitamente: 
 
 a) 
3 3 1x y 
 
Solução: 
 
 
 
 b) 
2 2 1x xy y  
 
Solução: 
 
 
 c) 
1x y 
 
Solução: 
 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 d) 
4 4 16x y 
 
Solução: 
 
 e) 
5yxe xy 
 
Solução: 
 
 
15) O lado de um quadrado mede 10 pés, com erro possível de 1cm. 
 
a) Use diferenciais para estimar o erro na área calculada. 
Solução: 
 
 
 
18 
 
 
 
 
b) Estime o erro percentual no lado e na área. 
Solução: 
 
 
 
16) Um disco circular dilata sob o efeito do calor de tal modo que seu raio varia de 5cm a 5,6 cm. 
 Calcule o acréscimo aproximado da área. 
Solução: 
 
 
 
17) O lado de um cubo é medido com um erro percentual possível de 2%. 
 Use diferenciais para estimar o erro percentual no volume. 
Solução: 
 
 
19 
 
 
18) Encontre 
 
4
3,02
. 
Solução: 
 
 
 
19) Aproxime, por meio de diferenciais, o aumento do volume de um cubo, se o comprimento de cada 
aresta varia de 10 cm para 10,1 cm. Qual a variação exata do volume? 
Solução: 
 
 
 
 
20 
 
20) Dada a função 
2( ) 3 5f x x 
. 
 
a) Esboce o gráfico de 
f
. 
Solução: 
 
 
 
b) Calcule 
 'f x
. 
Solução: 
 
 
c) Esboce o gráfico de 
 'f x
. 
Solução: