Exercícios de Derivadas

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DERIVADAS. EXERCÍCIOS E PROBLEMAS ADICIONAIS. 
 
 
 
1. Verifique que não existe a derivada de ( )f x em 0x x= , onde 
 a) ( )f x x= , e ( )0,x∈ ∞ 0 0x = 
 b) 
,
( )
1,
x
f x
x
⎧= ⎨ +⎩
1
1
x
x
≤
> , 0 1x = 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) Lembre-se que se existe a derivada de uma função em um ponto 0x , então as derivadas 
laterais nesse ponto existem e são iguais. A função do problema não está definida à 
esquerda de de modo que a derivada lateral à esquerda em 0 0x = 0x não existe. Logo, a 
função não é derivável em . É possível calcular a derivada à direita em . Faça 
isso! 
0 0x = 0 0x =
 
b) A função ( )f x , nesse caso, não é contínua em 0 1x = pois 
1 1
lim ( ) lim 1
x x
f x x− −→ →= = e ( )1 1lim ( ) lim 1 2x xf x x+→ + →= + = 
 
Logo, f não é derivável em 0 1x = já que a continuidade de uma função em um ponto é 
condição necessária para ela ser derivável nesse ponto 
 
2. Calcule `( )f x , , em x∈\ 0x x= , onde 
 a) , ( ) 2 2f x x= + 0 2x =
 b) ( ) 3f x x= x , 0 0x =
 
SOLUÇÃO: 
a) ( ) ( )
2 2 2
2 2 6 2 2( ) (2)`(2) lim lim lim 2
2 2x x x
x xf x ff
x x x→ → →
+ − −−= = =− − − 2 = 
 
b) 
2
`
0 0
( ) (0) 3(0) lim lim lim 3 0
0x x x
f x f xf x
x x+ ++ → → →
−= = =− 0+ = 
 
2
`
0 0
( ) (0) 3(0) lim lim lim 3 0
0x x x
f x f xf x
x x− −− → → →
− −= = = −− 0− = 
 
Portanto, `(0) 0f =
 
3. Calcule a função derivada da 2( )f x x x= + , x∈\ , e o valor da função derivada em 
. Em seguida, calcule a derivada da f no ponto 0 5x = 0 5x = , utilizando a relação (4.2) e 
compare os resultados. 
 
SOLUÇÃO: Temos que `( ) 2 1f x x= + , x∈\ , e, portanto, `(5) 2 5 1 11f = ⋅ + = . 
Similarmente, 
( ) ( )22
5 5
lim
x x
x
→ →
− +
5
25 5( ) (5) 25 5`(5) lim lim
5 5 5x
x xf x f xf
x x x→
− + −− −= = = =− − − ( )( ) ( ) ( )( )
5 5
5 5 5
lim lim 5 1 11
5x x
x x x
x
x→ →
− + + −= =− + + = . 
 
3. Calcule a função derivada da 2( )f x x x= + , x∈\ , e o valor da função derivada em 
. Em seguida, calcule a derivada da f no ponto 0 5x = 0 5x = , utilizando a relação (4.2) e 
compare os resultados. 
 
SOLUÇÃO: Temos que `( ) 2 1f x x= + , x∈\ , e, portanto, `(5) 2 5 1 11f = ⋅ + = . 
Similarmente, 
( ) ( )22
5 5
lim
x x
x
→ → 5
25 5( ) (5) 25 5`(5) lim lim
5 5 5x
x xf x f xf
x x x→
− + −− + − −= = = =− − − ( )( ) ( ) ( )( )
5 5
5 5 5
lim lim 5 1 11
5x x
x x x
x
x→ →
− + + −= =− + + = . 
 
4. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0x dado: 
 a) 1( )
2
f x
x
= , { }0x∈ −\ , 0 1x = 
 b) 2( ) 3 2 1f x x x= − + , , x∈\ 0 1x = 
 
SOLUÇÃO: a) (1 1 1
2 2
y ⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟⎝ ⎠ )x e b) ( )2 4 1y x− = − 
 
5. Calcule as derivadas laterais no ponto 1x = , da função 
3 2 ,
( )
2,
x x
f x
x
⎧ −= ⎨ −⎩
 
1
1
x
x
<
≥ 
A função é derivável em 1x = ? Justifique. 
 
SOLUÇÃO: e . As derivadas laterais existem e são iguais. A função é 
derivável em 
`(1) 1f− =
1
`(1) 1f+ =
x = . 
 
6. Calcular a derivada de 
 a) 
2
( )
1
x xf x
x
+= − , 1x ≠ 
 b) , ( )(2 3( ) 1 2 1f x x x x= + + + ) x∈\ 
 
SOLUÇÃO: 
( )
2 2 1`( ) 21
x xf x − −=
x − a) 
b) 4 2`( ) 0 9 2 1f x x x x= + + + 
 
7. Calcule a derivada das funções compostas: 
 a) , ( )102( ) 1f x x= + x∈\
 b) ( )33
1( )
2 3
f x
x x
=
+ +
, 0x >
 
SOLUÇÃO: 
a) ( )92`( ) 20 1f x x x= +
b) ( )
2
43
9 6`( )
2 3
xf x
x x
− +=
− +
 
8. Calcule a derivada da função inversa das seguintes funções: 
 a) , 2( ) 1y f x x= = + 0x >
 b) , ( ) 6 12y f x x= = + x∈\
 
SOLUÇÃO: 
 
a) O resultado pode ser obtido isolando-se o x como função de y e derivando x em relação a 
y : 
1x y= − , 1y ≥ 
Derivando: 1
2 1
dx
dy y
= − como 
1( )x f y−= , então ( )`1 1( )
2 1
f y
y
− = − 
Outra forma de obter-se o mesmo resultado consiste em aplicar a regra de derivação da 
função inversa. Por esta regra, 
( )
1
`1
( )
1( )
`( ) x f y
f y
f x −
−
=
= 
Mas `( ) 2f x x= e 1( ) 1x f y y−= = − . Então, 
( )
1
`1
( )
1 1( )
2 2 1x f y
f y
x y−
−
=
= = − 
 
b) Procedendo como em a) obtém-se 
( )`1 1( ) 6f y− = 
 
9. Calcular a derivada de 
 a) 
2 2 1( ) x xg x a + += , x∈\
 b) , 
32 1( ) x xg x a b += + x∈\
 
SOLUÇÃO: 
a) ( )(2 2 1`( ) ln 2 2x xg x a a x+ += + )
+
b) 
32 2 1`( ) 2 ln 3 lnx xg x a a x b b+= +
 
10. Calcular a derivada de 
 a) , ( )2 4( ) ln 2 2 1g x x x= + x∈\ 
 b) , ( ) ( )2( ) 2 1 ln 2 1g x x x= + + x∈\ 
 
SOLUÇÃO: 
a) 
3
2 4
4 8`( )
2 2 1
x xg x
x x
+= + + 
b) ( ) ( )2 24 2 1`( ) 2 ln 2 1 2 1x xg x x x += + + + 
 
11. Calcular a derivada de 
 a) , k constante ( ( ) ky u x= )
 b) ( )32 1 xy x= + 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) 1` `ky k u u−= ⋅ ⋅ 
b) ( ) ( ) ( )3 3` 3 2 1 ln 2 1 6 2 1 1x xy x x x x −= + + + + 
 
18. Calcule as derivadas até 2ª ordem das funções: 
 a) , 4 2( ) 3 2f x x x= + + x∈\
 b) ( ) (2 )f x x sen x= ⋅ , x∈\
 
SOLUÇÃO: 
a) 3`( ) 4 6f x x= + x e 2``( ) 12 6f x x= +
b) `( ) (2 ) 2 cos(2 )f x sen x x x= + e ``( ) 4cos(2 ) 4 (2 )f x x x sen x= − ⋅ 
 
19. Calcule a diferencial 
a) 3( ) 2f x x= , x∈\
b) 4( ) 3f x x= + x , x∈\
 
SOLUÇÃO: 
a) 26df x dx=
b) ( )34 3df x dx= +
20. Calcule a diferencial de 4 3y x x= + , x∈\ , e o erro que se comete na aproximação de 
yΔ pela dy . 
 
SOLUÇÃO: A diferencial é 
( )34 3dy x dx= + e ( ) ( ) ( )4 4( ) ( ) 3 3y f x dx f x x dx x dx x xΔ = + − = + + + − + . 
Desenvolvendo, obtemos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 2 33 2 24 3 6 2 6 2y x dx x dx x dx dx dy x dx x dx dxΔ = + + + + = + + + 4 
Portanto, o erro é igual a 
( ) ( ) ( )2 326 2 4x dx x dx dx+ + 
 
21. Calcule a derivada da função 3( )f x x= , x∈\ . 
 
SOLUÇÃO: Escreva 2( )f x x x= × . Então, 
2 2 2´( ) ´ ( )´ (2 ) 3 2f x x x x x x x x x= × + × = + = 
 
22. Calcule a derivada da função ( ) nf x x= , x∈\ , onde n é um número natural. 
 
SOLUÇÃO: Escreva 
( ) . . ...
n vezes
f x x x x
−
=��	�
x 
Aplicando a regra do produto vezes obtemos que 1n −
1´( ) nf x nx −= 
23. Calcular a derivada de 2 2
1( )
( 2)
h x
x
= + , x∈\ . 
 
SOLUÇÃO: Fazendo 2
1( )
2
u x
x
= + e 
2( )f u u= obtemos 
2 2 2 2
1 2 4(´ ) (´ ) ´ 2 ´ 2
2 ( 2) ( 2)3
x xh x f u u u u
x x x
⎛ ⎞− −⎛ ⎞= × = × = × × =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
24. Determinar a derivada da inversa da função ( ) 5 2y f x x= = + , x∈\ . 
 
SOLUÇÃO: Como , para todo (´ ) 5f x = x , obtemos 
( )1 1 1(´ ) (´ ) 5f y f x− = = 
para todo . y
 
26. Calcule a derivada da função composta . ( )( ) u xg x a=
 
SOLUÇÃO: Seja ( ) uf u a= . Então, . (´ ) (´ ) ´ (ln ) ´ug x f u u a a u= × =
 
28. Calcule a derivada da função . 2 1( 2)y x= + 0
 
SOLUÇÃO: Aplicando o resultado do exemplo anterior com 2 2u x= + e ( ) 10v x = 
obtemos, e . Logo, (´ ) 2u x x= (´ ) 0v x =
2 9´ 10( 2) 2y x x= + 
 
29. Calcule as derivadas sucessivas da função 
 
x
xf 1)( = , 0>x
 
SOLUÇÃO: Temos 
 
 )´(xf 2
1
x
−= 
 )´´(xf 2( 1)= − 32x 
 )3(f 3( ) ( 1)x = − 4!3x ... 
)(nf ( ) ( 1)nx = − 1!+nx
n
 onde nn ××××= ...321! 
 
30. Encontre a equação da reta tangente à curva 
 
9)( 33 =+ yxi , no ponto (1, 2) 
3216)( 44 =+ yxii , no ponto (1, 2) 
 
SOLUÇÃO: Por derivação implícita, )(i
2
2
22 ´0´33
y
xyyyx −=⇒=+ 
 
No ponto (1, 2), ou seja, com e 1=x 2=y 
 
 (´1, 2)y ( )22 11, 2 4
x
y
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
 
Sabemos que a equação da reta passando no ponto ( )00 , yx é 
 ( )00 xxmyy −=− 
 
onde é o coeficiente angular da reta. No caso sendo considerado temos , m 10=x 20 =y e 
4
1−=m . Portanto, a equação da reta tangente é 
 
( 1
4
12 −−=− xy ) ou 
4
9
4
+−= xy 
31. Encontre um valor aproximado para 3 28 . 
 
SOLUÇÃO: Seja 3)( xxf = . Essa função é contínua e derivável em qualquer ponto 
, em particular, em . A diferencial de é 0≠x 28=x f dx
x
dy
3
2
3
1= . Como 12728 += , 
tome e . Assim, 1=dx 27=x
27
11
)27(3
1
3
2 =×=dy 
 
Portanto, 1(28) (27) 3 3,037
27
f f dy≅ + = + ≅ 
 
32. Verifique que não existe a derivada de ( )f x em 0x x= , onde 
 b) 
, 1
( )
1, 1
x x
f x
x x
≤⎧= ⎨ + >⎩ , 0
1x = 
 
33.Calcule (´ )f x , x∈\ , em 0x x= , onde 
 a) , ( ) 2 2f x x= + 0 2x =
 
34.Calcule a função derivada da , xxxf += 2)( Rx∈ e o valor da função derivada em 
. Em seguida, calcule a derivada da no ponto 50 =x f 50 =x , utilizando a relação (4.2) e 
compare os resultados. 
 
 
38. Calcule a derivada da função composta 
 3 3
1( )
( 2 3)
f x
x x
= + + , 0x >
39. Calcule a derivada da função inversa da função ( ) 6 12y f x x= = + , . x∈\
 
41. Calcule a derivada da seguinte função: 
 , 2 2( ) (2 1) ln(2 1)g x x x= + + x∈\ 
 
42. Calcule ´y onde 
 a) , k constante ( ( ) ky u x= )
 
46. Usando a regra da cadeia, e sendo u uma função, verifique que: 
 
a) ( cos )´ ( ) ´u senu u= − ×
´b) 2( )´ (sec )tgu u u= ×
 
 
48. Usando a regra da cadeia, e sendo u uma função, verifique que 
 a) 
2
1(arccos )´ ´
1
u u
u
= − − 
 b) 2
1( )´
1
arctgu u
u
= + ´ 
 
49. Mostre que e ( )´ coshsenhx x= (cosh )´x senhx= . 
 
50. Calcule as derivadas até segunda ordem da função ( ) (2 )f x x sen x= ⋅ , x∈\
 
51. Calcule a diferencial das seguintes funções: 
 
a) 3( ) 2f x x= x∈\ 
b) 4( ) 3f x x= + x x∈\,