Noções de Função Derivada e Movimento em 2 e 3 Dimensões

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Noções de Função Derivada
Seja y = f( x) a função que está representada no gráfico, e sejam x0 e x0 + (x dois valores de seu domínio.
A razão incremental é dada por : 
 
Denomina-se função derivada o limite de 
 quando (x tende a zero ( assume valores muito pequenos ).
E indica-se por : 
NOTA:
A função derivada também pode ser indicada por :
y´ ( lê-se, derivada de y )
 ( lê- se, derivada de y em relação a x )
Exemplo : 
Dada a função 
 , definida em R , calcular a função derivada 
.
Regras Fundamentais de Derivação:
Derivada da função constante : 
 ; k(R é nula, isto é : 
Derivada da função identidade : 
 é 1, ou seja : 
Derivada da função potência : 
Exemplos:
1. 
2. 
3. 
Derivada da função seno: 
Derivada da função cosseno: 
Derivada da função exponencial : 
 
Exemplo:
Derivada da função logarítmica neperiana: 
CAPÍTULO 4 - Movimento em duas e em três Dimensões
4.1 – Considerações Gerais:
Aqui serão estendidas as considerações apresentadas nos capítulo anterior para os casos bi e tridimensionais. Vamos utilizar álgebra vetorial nos conceitos já vistos ( posição, velocidade, deslocamento e aceleração )
4.2 – Posição e Deslocamento :
Em geral, a localização de uma partícula é determinada pelo vetor posição r, que é um vetor que de um ponto de referência ( geralmente a origem de um sistema de coordenadas ) até a partícula. Pela notação de vetores, escrevemos r como : 
 r = xi + yj + zk , onde xi , yj e zk são as componentes vetoriais de r, e os coeficientes x, y e z são as componentes escalares.
Ao longo do eixo x, P está 3 unidades da origem, no sentido –i . Ao longo do eixo y, está à duas unidades da origem, no sentido +j . E, ao longo do eixo z, está a 5 unidades da origem, no sentido +k.
Ex.: Inicialmente, o vetor posição de uma partícula é r1 = -3i + 2j + 5k e logo depois é r2 = 9i + 2j + 8k . Qual é o deslocamento de r1 para r2 ?
Solução :
(r = r2 – r1 = ( 9i + 2j + 8k ) – ( -3i + 2j + 5k ) = 12i + 3k 
Nota :
Este vetor deslocamento é paralelo ao plano xz, porque sua componente y é nula; um fato constatado pelo resultado numérico.
4.3 – Velocidade e Velocidade Média: 
Uma partícula que sofre um deslocamento (r, durante um intervalo de tempo (t , tem velocidade média:
 
 
 
 
A velocidade instantânea 
 é o limite de 
, quando (t tende para zero. Lembramos que esse limite é a derivada de r em relação á t ou seja, 
 ; Substituindo r pela expressão r = xi + yj + zk , temos :
 ; 
os coeficientes são as componentes escalares de v: 
A posição da partícula P, na sua trajetória, é mostrada no instante t1 e no instante t1 + (t seguinte. O vetor (r é o deslocamento da partícula, no intervalo (t. Também é mostrada a tangente à trajetória no instante t1.
NOTA :
No limite, quando (t tende a zero, a velocidade média tende para v ( velocidade instantânea ) , e também, a velocidade média tem a direção da tangente. Logo, v também tem a mesma direção, isto é, sempre tangente à trajetória da partícula.
4.4 – Aceleração e Aceleração Média: 
Quando a velocidade de uma partícula varia de v1 para v2, no intervalo de tempo (t, sua aceleração média 
, durante este intervalo de tempo é :
Aceleração instantânea a é o limite de a quando (t tende a zero, ou seja, 
Quando a velocidade varia em módulo e/ou direção, significa que existe uma aceleração:
	ou 
 ( 
onde as três componentes escalares do vetor aceleração são:
 
Exemplo 1: Uma lebre atravessa correndo um estacionamento de veículos . A trajetória percorrida pela lebre é dada pelas componentes do seu vetor posição com relação à origem das coordenadas, que são função do tempo:
x = -0,31t2 + 7,2t + 28 e y = 0,22t2 – 9,1t + 30
As unidades dos coeficientes numéricos nessas equações são tais que , se substituirmos t em segundos, obteremos x e y em metros.
a) Calcule o vetor posição r da lebre (módulo e direção) em t=15 s :
x = ( - 31) ( 15 )2 + ( 7,2 )( 15 ) + 28 = 66 m ; y = ( 0,22 )( 15 )2 – ( 9,1 )( 15 ) + 30 = -57 m
Módulo do vetor r : 
Direção do vetor r : o ãngulo ( que r faz com o semi-eixo positivo x é :
Nota : Embora a tangente de ( = 139o seja igual à de ( = -41o, não consideraremos o ângulo de 139o, por ser incompatível com os sinais das componentes de r. 
b) Calcule o módulo e a direção do vetor velocidade da lebre em t = 15s.
Componente da velocidade na direção x : 
Em t = 15s, obtemos : 
Componente da velocidade na direção y : 
 
Em t = 15s, obtemos ; 
 
Módulo do vetor v : 
Direção do vetor v : 
Nota : Embora o ângulo de 50o tenha a mesma tangente, os sinais das componentes indicam que o ângulo desejado está no terceiro quadrante, ou seja, 50o – 180o = -130o, O vetor velocidade é tangente à trajetória da lebre e aponta na direção em que ela está correndo, em t = 15s. 
c) Calcule também o módulo e a direção do vetor aceleração em t = 15s .
Componente da aceleração na direção x : 
 
Componente da aceleração na direção y : 
Observamos que a aceleração é invariável com o tempo, Podemos verificar que o vetor a tem módulo e direção constantes em toda trajetória , (os cálculos são semelhantes ao item b).
Exemplo 2 : Uma partícula com velocidade 
 (em m/s2 ) em t = 0 está sob uma aceleração constante a , de módulo igual a 3,0 m/s2 , fazendo um ângulo ( = 130° com o semi-eixo positivo x . Qual a velocidade v da partícula em t = 2,0 s , na notação dos vetores unitários, assim como seu módulo e direção (em relação ao semi-eixo positivo x) ?
Solução : Como a é constante, a equação 
 é aplicável ; entretanto , deverá ser usada separadamente para calcular vx e vy (as componentes x e y do vetor velocidade v ), pois as componentes variam de maneira independente uma da outra. Encontramos então
	
e
	
Onde v0x (= - 2,0m/s) e v0y (= 4,0 m/s) são as componentes x e y de v0 , e ax e ay são as componentes x e y de a . Para determinar ax e ay , decompomos a com o auxílio da equação 
 e 
 
	
 = ( 3,0 m/s2) (cos 130°) = - 1,93 m/s2 ,
	
 = ( 3,0 m/s2) (sen 130°) = + 2,30 m/s2 .
Substituindo esses valores em vx e vy , temos 
	vx = - 2,0 m/s + (-1.93m/s2) (2,0s) = -5,9 m/s ,
	vy = 4,0 m/s + (2,30m/s2) (2,0s) = 8,6 m/s ,
Então , em t = 2,0 s, temos
	v = (-5.9m/s)i + (8,6 m/s)j 
4.5 – Movimento de Projéteis:
É o movimento de uma partícula que executa um movimento bidimensional ( horizontal e vertical ) com aceleração g de queda livre para baixo. N a análise desse movimento desprezaremos os efeitos da resistência do ar. 
O projétil( a partícula ) é lançado em x0 = 0 e y0 = 0 com velocidade inicial , v0 = v0x i + v0yj . 
No gráfico abaixo são mostradas a velocidade inicial e as velocidades, com suas componentes escalares, em vários pontos da trajetória. 
A componente horizontal da velocidade permanece constante, ao tempo em que a componente vertical da velocidade varia sob a ação da gravidade.
O alcance R é a distância horizontal do ponto de lançamento, até o ponto em que o projétil volta à mesma altura do lançamento.
O Movimento Horizontal :
Como não existe aceleração n a direção horizontal, a componente horizontal da velocidade permanece constante durante o movimento.
O deslocamento horizontal x – x0 a partir de uma posição inicial x0 é dado pela equação:
Movimento Vertical :
O movimentovertical segue a análise do movimento de uma partícula em queda livre. As equações a serem utilizadas são :
 ; 
Onde 
Equação da Trajetória ( caminho percorrido pelo projeto ):
Alcance Horizontal :
 
 
 
 
 
Os Efeitos do Ar
A trajetória das duas bolas
	
	Trajetória I (Ar)
	Trajetória II (Vácuo)
	Alcance
Altura máxima
Tempo de percurso
	97 m
52 m
6,6 s
	175 m
75 m
7,9 s
O ângulo de lançamento é de 60° e a velocidade de lançamento é de 160 km/h.
(I) A trajetória do lançamento de uma bola, levando em conta a resistência do ar (calculada por computador). (II) A trajetória que a bola teria no vácuo, calculada pelos métodos já conhecidos. 
Exemplo : 
Um avião de salvamento está voando a uma altitude constante de 1.200m à velocidade de 430 km/h, numa trajetória diretamente sobre o ponto em que uma pessoa está se debatendo na água. Em que ângulo ( de mira o piloto deve lançar a cápsula de salvamento, para que esta caia bem próximo à pessoa?
A velocidade inicial da cápsula é a mesma do avião. Isto é, a velocidade inicial v0 é horizontal, e vale 430 km/h. Podemos calcular o tempo de vôo da cápsula,
 	Fazendo y – y0 = 1.200 m (o sinal menos significa que a pessoa está abaixo da origem) e (0 = 0, obtemos: 
. Resolvendo para t, achamos 
. 
Assim obtemos a distância horizontal percorrida pela cápsula (e pelo avião ) durante esse tempo: 
 = (430 km/h) (cos0° ) (15,665 s) ( 1h / 3600 s) = 1,869 km = 1.869 m
Se x0 = 0, então x = 1.869 m . O ângulo de mira então é 
Como o avião e a cápsula têm a mesma velocidade horizontal, o avião permanece verticalmente sempre sobre a cápsula, enquanto ela estiver voando.
Exemplo : Num filme publicitário, um ator corre pelo telhado de um prédio e salta, na horizontal, para o telhado de outro prédio mais abaixo, conforme mostrado na figura. Antes de tentar o salto, sabiamente quer avaliar se isto é possível. Ele pode realizar o salto se sua velocidade máxima sobre o telhado for de 4,5 m/s ?
Ele levará um tempo para cair 4,8 m, o que pode ser determinado pela equação 
.
Fazendo y – y0 = - 4,8 m (observe o sinal) e (0 = 0, e utilizando a equação dada acima , obtemos 
Agora perguntamos: “ Que distância ele alcançará horizontalmente nesse tempo? ”
 = ( 4,5 m/s ) (cos 0°) (0,990 s) = 4,5 m
Para alcançar o outro prédio, o homem teria de se deslocar 6,2 m na horizontal). Logo, o conselho que damos ao ator é : “Não salte.” 
Exemplo :
A figura mostra um navio pirata ancorado a 560 m de um forte, que defende a entrada de um porto, em uma ilha. O canhão de defesa está localizado ao nível do mar e tem uma velocidade de tiro de 82 m/s .
Qual o ângulo de elevação do canhão para atingir o navio pirata ?
 	Resolvendo a equação 
 para 2(0 , obtemos 
	
. 
Há dois ângulos cujo seno é 0,816, ou seja 54,7° e 125,3°. Logo, achamos 
 e 
O comandante do forte pode ordenar qualquer uma dessas elevações para o canhão atingir o navio pirata (se não houver influência do ar!).
Qual o tempo de percurso do projétil, até alcançar o navio, para cada um dos dois ângulos de elevação calculados anteriormente ?
 Calculando t para (0 = 27°, temos 	
 Repetindo o cálculo para (0 = 63°, obtemos 	t = 15 s . O que é razoável pois o tempo de percurso para 
 maiores ângulos de elevação deve ser, também, maior. 
A que distância do forte deve ficar o navio pirata, para se manter fora do alcance do canhão ?
 Vimos que o alcance máximo corresponde a um ângulo de elevação (0 de 45° na equação de alcance 
 horizontal, temos 	
À medida que o navio pirata se afasta, os dois ângulos de elevação com que o navio pode ser atingido se aproxima, tendendo para (0 = 45° quando o navio está a 690 m de distância. Além desse ponto, o navio está a salvo.
4.6 – Movimento Circular Uniforme:
Uma partícula está em movimento circular uniforme se percorre um círculo ou arco circular com velocidade constante. 
O fato de v ser um vetor, faz com que a partícula esteja acelerada devido à mudança de direção deste .
A aceleração responsável pela mudança de direção da partícula é a aceleração centrípeta( 
).
Uma partícula se desloca em movimento circular uniforme, com velocidade constante v, num círculo de raio r. Suas velocidades nos pontos P e q , eqüidistantes do eixo y, são vp e vq, dadas por suas componentes horizontal e vertical, naqueles pontos.
A aceleração instantânea da partícula, em qualquer ponto, tem módulo 
 e aponta para o centro do círculo.
Os vetores velocidade e aceleração para uma partícula em movimento circular uniforme. Os módulos são constantes, mas as direções variam continuamente.
Não há uma relação fixa entre a direção do vetor velocidade e a direção do vetor aceleração. 
A figura abaixo mostra exemplos em que o ângulo entre esses dois vetores varia de 0o e 180o.
 y
f(x0 + (x)
 f (x0 )
 o
 x0 x0 + (x x
� EMBED Equation.3 ���
5k
2j
-3i
r
y
x
z
P
(
O
y
o
x
 
(r
�
 P
 (
r1 r2
Trajetória de P
tangente à curva
� EMBED Equation.3 ���
y
o
 ax
ay
a
(
P
x
Trajetória de P
 v0
(0
v0y
v0x
 v
vy = 0
vx
vy
 (
 v
x
y
 0
R
x - x0 = ( v0cos( )t
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���	
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� 
� EMBED Equation.3 ���
�
�
Nesta distância, o canhão de defesa do porto pode atingir o navio pirata estando em dois ângulos de elevação diferentes
 (
 O
x
y
P (
q
(
(
 vp 
 P
 ( 
(
(
vpy
vpx
vqx
vqy
vq
r
r
 ( O
 ( 
 ( 
 ( 
 v 
 v 
 v 
a 
a 
a 
�
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