Atps resolvida

Prévia do material em texto

Etapa 1
Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação
Passo 1 (Pesquisar sobre velocidade instantânea)
Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com.
Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.
Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.
Já observamos que o conceito de velocidade média está associado a dois instantes de tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o módulo dessa velocidade média.
Por outro lado, concluímos que o módulo da velocidade média entre esses instantes de tempo pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao gráfico da posição em função do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2.
O conceito de velocidade instantânea está associado a um instante de tempo.
Por exemplo, t1. E escrevemos v (t1) para o módulo dessa velocidade instantânea. Podemos pensar que o módulo da velocidade instantânea v (t1) é o valor do módulo da velocidade média v (t1,t2) quando t2 é tomado muito próximo de t1.
Desse modo, o cálculo do módulo da velocidade instantânea v (t1) pode ser feito como o cálculo do módulo da velocidade média v (t1,t2), desde que o segmento de reta secante seja substituído por um segmento de reta tangente ao gráfico posição x tempo.
É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo  infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea  ou simplesmente velocidade como sendo:
 
Exemplo: Função x = 3t² + t3 + 2t – 4 (Mudar a função)
Velocidade no tempo 2s
x = 3t² + t³ + 2t - 4
v = dx = 3x2t2-1 + 2xt 3-1 + 2 – 0
 dt
v = 6t + 2t² + 2
Se t = 2s
v = 6x2 + 2x2² + 2
v = 12 + 8 + 2
v = 22m/s
Aceleração no tempo 10s
v = 6t + 2t² + 2
a= 6 + 2x2t²-¹ + 0
a= 6 + 4t
a= 6 + 4x10
a= 46m/s²
Passo 2
Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.
Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.
Gráfico s(m) x t(s) x = 3t² + t³ + 2t - 4
	t(s)
	x(m)
	0
	-4
	1
	2
	2
	20
	3
	56
	4
	116
	5
	206
Gráfico v(m) x t(s) v = 6t + 2t² + 2
	t(s)
	v(m)
	0
	2
	1
	10
	2
	22
	3
	38
	4
	58
	5
	82
Passo 3 (Pesquisar sobre aceleração instantânea)
Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade.
Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.
Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.
Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração instantânea). Elas são definidas como:
 (aceleração média)
 (aceleração instantânea)
Passo 4
Plotar num gráfico sua função a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer que tipo de função você tem.
Gráfico aceleração a(m/s²) x t(s) a= 6 + 4t.
	t(s)
	a(m/s²)
	0
	6
	1
	10
	2
	14
	3
	18
	4
	22
	5
	26
Etapa 2
Aula-tema: Conceito de Derivadas e Regras de Derivação
Passo1 (Pesquisar sobre constante de Euler)
O que é a Constante de Euler?
Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuido a este número a notação “e”, em homenagem ao matemático suiço Leonhard Euler (1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
Podemos expressar esse número com 40 dígitos decimais, ou seja: e = 2,718281828459045235360287471352662497757
Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse assunto de pelo menos uma página, constando dos dados principais a respeito do assunto e curiosidades.
Existem inúmeros sites na internet que traz informações ricas sobre esse assunto. Abaixo deixamos alguns para que possa ser pesquisado, além do Wikipédia.
Construir uma tabela com os cálculos e resultados aplicados na fórmula abaixo, utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000}, esboçar um gráfico representativo e fazer uma conclusão a respeito.
Euler legou à posteridade um número assombroso de trabalhos sobre as mais diversas áreas, da Engenharia à Mecânica, da Óptica à Astronomia, da Música à Matemática (curvas, séries, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, Geometria, Álgebra).
	Produziu tanto durante a sua vida que durante quase 50 anos depois da sua morte, os seus artigos continuaram a ser publicadas na Academia de S. Petersburgo. A lista bibliográfica das suas obras, incluindo itens póstumos, contém 886 títulos. A sua pesquisa Matemática chegava a ser, em média, de 800 páginas por ano, durante toda a sua vida.
	No tempo em que esteve em Berlim, Euler ganhou o hábito de escrever artigos e colocá-los numa pilha. Sempre que era necessário material para as publicações da Academia eram retirados artigos da mesma. Como a produção de Euler era superior às publicações, os artigos na base  demoravam muito a ser publicados. Isso explica o fato de quando alguns artigos surgirem, extensões e melhorias dos mesmos já terem sido publicadas antes, com a assinatura de Euler.
Jamais algum matemático terá superado a produção deste homem. Como tal, iremos referir somente algumas das contribuições de Leonard Euler para a ciência.
	Inicialmente, o fundamento da utilização baseava-se em representar um número infinito, tal como Wallis (1616-1705) usara o . Desta maneira, Euler apresentava 
                    ex  = lim (1 + x/i) i  
onde, actualmente se escreve  
                    ex  = lim (1 + x/n)n. 
	Mas somente após a opção, por parte de Gauss (1777 - 1856), do símbolo i no seu livro Disquisitiones Arithmeticae em 1801, é que se assegurou a sua utilização nas notações Matemáticas. 
Após apresentação dos símbolos, cuja introdução e opção se devem a Euler,  foi possível combinar os números e  e i   com o 0 e o 1 na mais célebre igualdade que contém os cinco números:  
                    e i + 1 = 0
Esta revela uma importante relação entre os mesmos. A Euler também é associada à introdução das seguintes notações:
A sexta constante mais importante da Matemática, a Constante de Euler.
- O logaritmo de x, ln x;
- O uso da letra  para a adição;
- f(x) para uma função de x. 
	n
	℮ = lim (1+1)n
 n⇾∞ n
	1
	2
	5
	2,48832
	10
	2,59374246
	50
	2,691588029
	100
	2,704813829
	500
	2,715568521
	1000
	2,716923932
	5000
	2,71801005
	10000
	2,718145927
	100000
	2,718268237
	1000000
	2,718280469
Passo2 (pesquisar sobre séries harmônicas)
Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais informações sobre o assunto de pelo menos 1 página e explicar como a Constante de Euler se relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenças.
O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas de um piano e de uma flauta são um exemplo. Mesmo quando um piano e umaflauta tocam duas notas idênticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos uma da outra. Como isso ocorre, se a nota tocada é a mesma? O que diferencia os sons do piano e da flauta é o timbre de cada instrumento, algo que pode ser definido como a impressão sonora ou o “colorido” particular de cada som. Os timbres, por sua vez, resultam da série harmônica, que pode ser explicada como o conjunto de frequências sonoras que soa em simultaneidade com uma nota principal.
Quando ouvimos um som, na realidade escutamos também uma série de outras frequências mais agudas que não conseguimos perceber individualmente, apenas como um conjunto sonoro. Essas frequências secundárias se manifestam na forma de timbre em nossos ouvidos. Um corpo em vibração não produz apenas uma única nota (ou frequência), mas sim um conjunto de várias frequências, que são chamadas de harmônicos. A importância que cada harmônico terá para cada nota de cada instrumento musical é o que definirá o timbre.
Num texto anterior (“Música das Esferas”) falamos sobre Pitágoras (570 a.C. - 496 a.C.), o matemático grego que descobriu as relações entre o tamanho de uma corda e a altura da nota por ela produzida. Pitágoras observou que uma corda de 120 cm, que emitia a nota dó 1, por exemplo, quando dividida ao meio, produzia a nota dó 2, ou seja, um som oitava acima. Quando a corda de 120 cm era dividida em três partes, sendo tocada uma dessas partes (de 40 cm), obtinha-se a nota sol 2, ou seja, um som uma quinta acima do dó 2. Prosseguindo nas divisões da corda em quatro, cinco, seis partes, e assim por diante, Pitágoras descobriu relações matemáticas lógicas entre o tamanho das cordas e as alturas das notas. Quanto menores as divisões, mais agudos e dissonantes ficavam os sons secundários com relação à nota original. Pitágoras explicava desse modo, na teoria, a série harmônica.
Quando a corda de uma harpa é tocada, ela vibra simultaneamente em toda a sua extensão e em pequenas partes proporcionais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.), como assinalou Pitágoras. Consequentemente, escutamos o som da vibração total da corda e os sons das vibrações secundárias. Ouvimos, portanto, a nota fundamental e sua série harmônica.
Série Harmônica Matemática
Em matemática, a série harmônica é a série infinita definida como:
O nome harmônico é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmônica (música).
Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme) faz-se tendo em conta que a série
é termo a termo maior que ou igual à série
que claramente diverge.
Passo 3
CRESCIMENTO POPULACIONAL
Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela triplica a cada 8 hora. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem?
Nt= No x ert		n48= 50xe48x0,137326
No= 50xer8		n48= 50xe6x591673
150= 50xer8		n48= 36449,59
er8= 150/50
er8= 3
Ln er8 = 3
r8 = Ln3
r= Ln3/8
r= 0,137326
Etapa 4
Aula – tema: Aplicações das Derivadas e Exemplos da Indústria, do Comércio e da Economia.
Passo 1
Construir uma tabela com base nas funções abaixo.
Se ao analisar a situação da empresa “Soy Oil”, sua equipe concluir que a Função Preço e a Função Custo em relação as quantidades produzidas de 1000 unidades, são dadas respectivamente por: P(q) = -0,1q + a e C(q) = 0,002q³ - 0,6q² + 100q + a, em que a representa a soma dos últimos 3 números dos RAs dos alunos que participam do grupo, observando o seguinte arredondamento: Caso a soma dê resultado variando entre [1000 e 1500] utilizar a = 1000; Caso a soma dê resultado variando entre [1500 e 2000] utilizar a = 1500; Caso a soma dê resultado variando entre [2000 e 2500], utilizar a = 2000; e assim sucessivamente. Construir uma tabela para a função Custo e uma tabela para a função Receita em milhares de reais em função da quantidade e plotando num mesmo gráfico.
(Mudar os últimos números dos RA dos participantes que corresponde ao a)
995 – Aluízio
683 – Leonardo
182 – Heber
-------
1860
P(q) = -0,1q + a
P(1000) = -0,1x(1000) + 1860
P(1000) = - 100 + 1860
P(1000) = 1760
a= [1500 e 2000] = 1500
C(q) = 0,002q³ - 0,6q² + 100q + a
C(1500) = 0,002x(1500)³ - 0,6x(1500)² + 100x(1500) + 1860
C(1500) = 6750000 – 1350000 + 150000 + 1860
C(1500) = 5551860
Passo 2
Responder para qual intervalo de quantidades produzidas, tem-se R(q) > C(q)? Para qual quantidade produzida o Lucro será o máximo? Fazer todas as análises utilizando a primeira e a segunda derivada para justificar suas respostas, mostrando os pontos de lucros crescentes e decrescentes.
	P(800) = -0,1x(800) + 1860
	1385
	P(900) = -0,1x(900) + 1860
	1375
	P(1000) = -0,1x(1000) + 1860
	1365
	P(1100) = -0,1x(1100) + 1860
	1355
	P(1200) = -0,1x(1200) + 1860
	1345
	C(800) = 0,002x(800)³ - 0,6x(800)² + 100x(800) + 1860
	721465
	C(900) = 0,002x(900)³ - 0,6x(900)² + 100x(900) + 1860
	1063465
	C(1500) = 0,002x(1500)³ - 0,6x(1500)² + 100x(1500) +1860
	5551860
	C(1100) = 0,002x(1100)³ - 0,6x(1100)² + 100x(1100) + 1860
	2047465
	C(1200) = 0,002x(1200)³ - 0,6x(1200)² + 100x(1200) +1860
	2713465
Passo 3
Responder qual o significado da Receita Média Marginal? Sendo a função Custo Médio [Cms (q) ] da produção dado por , calcular o custo médio para a produção de 100.000 unidades. É viável essa quantidade a ser produzida para a empresa?
Cms = C(q)
	 Q
Cms = 5551860
	1000000
Cms = 555186