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1º LISTA DE EXERCICIOS DE CALCULO III ( VETORES, RETAS E PLANOS ) 
 
 
1) Determine as componentes do vetor ���⃗ de módulo 5, sabendo-se que ���⃗ é ortogonal ao e ixo y e 
também ao vetor ���⃗ = i – 2k. Resp. ���⃗ = ( 2√� , 0 , √� ) ou ���⃗ = ( -2��, o , -√� ). 
 
2) Se ‖���⃗ ‖ = 4 e ‖���⃗ ‖ = 2 e 120o o ângulo entre ���⃗ e ���⃗ , determine o ângulo entre os vetores 
( ���⃗ +���⃗ ) e (���⃗ – ���⃗ ) . resp. � = arccos(
√��
�
 ) ≅ ��o . 
 
3) Determine o valor da constante m para que o vetor ����⃗ = ( 1, 2, m ) seja imultaneamente 
ortogonal aos vetores ���⃗ 1 = ( 1, -2, 0 ) e ���⃗ 2 = ( 1, -3, -1 ). resp. -5 
 
4) Os ângulos diretores de um vetor ���⃗ são 45o , 60o e 120o. Se ‖���⃗ ‖ = 2, então determine as 
componentes do vetor . resp. ���⃗ = ( √� , 1, -1 ). 
 
5) Dados os vetores ���⃗ = ( 4, 0, 3 ) e ���⃗ = ( -2, 1, 2 ) , determine as projeções de ���⃗ sobre �	���⃗ e de ���⃗ 
sobre ���⃗ . resp. 
��
�
 ( -2, 1, 2 ) e 
��
�
 ( 4 , 0 , 3 ). 
 
6) Dados os pontos A ( 2, -1, 2 ) , B ( 1, 2, -1 ) e C( 3, 2, 1 ) , determine as componentes do vetor 
��������⃗ x ( ��������⃗ – 2 �������⃗ ). resp. ( 12, -8, 12 ). 
 
7) Calcule o valor de m, sabendo que A( m, 1, 1 ) , B( 1, -1, 0 ) e C( 2, 1, -1 ) são vértices de um 
triângulo de área √
��
�
 . resp. 3 ou 
�
�
 . 
 
8) Calcule a área do paralelogramo cujos vértices são A ( 1, -2, 3 ) , B ( 4, 3, -1 ) , C ( 5, 7, -3 ) e 
D ( 2, 2, 1 ) . resp. √�� . 
 
9) Dado um triângulo equilátero ABC de lado 10cm. Calcule ���������⃗ ��������⃗ �. resp. 50√�. 
 
10) Calcule o valor da constante n para que seja de 30o ângulo entre o vetore ���⃗ = ( 1, n, 2 ) e o 
e ixo do y sentido positivo. resp. √�� 
 
11) Determine um vetor unitário ortogonal ao eixo 0z e que forma um ângulo de 60o com o vetor 
canônico i. resp. 
 
12) Dados os pontos A ( 2, 1, 1 ) , B ( 3, -1, 0 ) e C ( 4, 2, -2 ). Determine 
a) A área do triângulo ABC. resp. 
�√�
�
 
b) A altura do triângulo relativo ao vértice C. resp. 
�√�
�
 
 
 13 ) Seja o triangulo de vértices A ( -1, -2, 4 ), B ( -4, -2, 0 ) e C ( 3, -2, 1 ). Determine o ângulo 
 interno ao vértice B. resp. 45o 
 
14) Dados os vetores ���⃗ = ( 2, 1, m ) , ���⃗ = ( m+2 , -5 , 2 ) e ����⃗ = ( 2m , 8, m ). Determine o valor de m 
para que ( ���⃗ + ���⃗ ) s eja ortogonal a ( ����⃗ - ���⃗ ) . resp. 3 ou -6 . 
 
15) Calcule a área do triângulo de vértices : 
a) A ( -1, 0, 2 ) , B ( -4 , 1, 1 ) e C ( 0, 1, 3 ) . resp. √� 
b) A ( 1, 0, 1 ) , B ( 4 , 2 , 1 ) e C ( 1, 2, 0 ) . resp. 7/2 
c) A ( 2, 3, -1 ) , B ( 3, 1, -2 ) e C ( -1, 0 ,2 ) resp. 9√� / 2. 
 
16) Verifique se são coplaneres os seguintes vetores : 
a) ���⃗ = ( 3, -1, 2) , ���⃗ = ( 1, 2, 1 ) e ����⃗ = ( -2, 3, 4 ) resp. Não 
b) ���⃗ = ( 2, -1, 0 ) , ���⃗ = ( 3, 1, 2 ) e ����⃗ = ( -1, -2, 2 ) resp. Sim 
 
17) Verifique se são coplanares os pontos : 
a) A ( 1, 1, 1 ) , B ( -2, -1, -3 ) , C ( 0, 2, -2 ) e D ( -1, 0, -2 ). resp. Sim 
b) A ( 1, 0, 2 ) , B ( -1 , 0, 3 ) , C ( 2, 4, 1 ) e D ( -1 , -2 ,2 ) resp. Não 
 
18) Dado o triangulo de vértice A ( 0, 1, -1 ) , B ( -2, 0, 1 ) e C ( 1, -2, 0 ) , calcular a medida da 
altura relativa ao lado BC. Resp. 
�√��
�
 . 
 
19) Calcule o valor da constante m para que a área do paralelogramo determinado pelos vetores 
���⃗ = ( 2,1,-1 ) e ���⃗ = ( 1, -1, m ) seja igual a √��. Resp. 3 e -17/5 
 
20) Calcule o valor da constante k para que seja coplanares as retas abaixo: 
 
 
 r : 
���
�
 = 
���
��
	 = 
���
�
 s: �
� = �� + �
� = ��− �
 resp. K = 4 
 
21) Determine o valor da constante n para que se ja de 30o o ângulo entre as retas abaixo: 
 
 
r : 
���
�
 = 
���
�
 = 
���
�
 s: �
� = ��+ �
� = ��− �
 resp. n = 7 e n = 1 
 
 
22) Calcule o valor de k para que as retas abaixo sejam parale las 
 
 
 r : 
���
�
 = 
���
�
 ; z - 6 = 0 s : �
� = � − ��
� = � +�
� = � + �
 resp. k = -2 
 
 
23) A reta que passa pelos pontos A ( -2, 5, 1 ) e B ( 1, 3, 0 ) é parale la a reta determinada pelos 
pontos C ( 3,-1,-1 ) e D ( 0,y,z ). Determine o ponto D. Resp. D( 0,1,0 ). 
 
24) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das 
retas: 
 a) 
2
8z
10
44y2
x:r e 3z
4
y2
2
3x
:s








, e que passa pelo ponto P(2,3,5); 
 b) 
3
z
2-
y-2
4 x:r e 3z3
4
y2
2
2x
:s





, e que passa pelo ponto P(2,–3,1); 
 c) 





18x10z
3x2y
:r e 










2
27y6
z
2
1y2
x
:s , e que passa pelo ponto P(3,3,4). 
 RESP: a) t: 








m125z
m53y
m2x
 








m61z
m73y
m42x
:t)b c) 








m34z
m133y
m43x
:t 
 
 
25) Encontre a equação do plano que contém os pontos 
 
a) A ( -1,2,0) , B ( 2, -1, 1 ) e C ( 1, 1, -1 ) resp. 4x+5y+3x-6 = 0 
 
b) A (2, 1, 0 ) , B ( -4,-2,-1) e C ( 0, 0 , 1 ) resp. x – 2y = 0 
 
c) A (2, 1, 3 ) , B ( -3,-1,3) e C( 4 , 2, 3) resp. z = 3 
 
 
26) Encontre a equação do plano que passa pelo ponto A ( 6, 0, -2 ) e é paralelo aos vetores dados 
por i e -2j+k. resp. y+2x+4 = 0 
 
 
27) Encontre a equação do plano que contém as retas abaixo. 
 
r : 
���
�
 = 
���
�
 ; y+1 = 0 s : �
� = �� − �
� = −�+ �
 resp. 5x -4y – 3z -6 = 0 
 
 
28) Encontre a equação do plano que contém o ponto A( 3,-1,2 ) e a reta r: �
� = �+ �
� = �− �
� = �+ ��
 
 resp. x+y –2 = 0 
 
 
29) Determine o ângulo entre os planos �1 : x + 2y +z -10 = 0 e �2 : 2x+y-z +1 = 0 
 
Resp. � = 60o 
 
 
30) Determine a e b de modo que os planos abaixo sejam parale los 
 
 �1 : ax +by +4z – 1 = 0 e �2 : 3x -5y – 2z +5 = 0. Resp. a = -6 e b = 10 
 
 
31) Sejam os vetores ���⃗ = ( 1,1,0 ), ���⃗ = (2, 0, 1 ) , ����⃗ 1 = 3���⃗ - 2���⃗ , w2 = u + 3v e w3 =i +j -2k. 
Determine o volume do parale lepipedo definido por w1 , w2 e w3. Resp. 44. 
 
 
32) Dados os planos 1:2x+y3z+1=0, 2:x+y+z+1=0 e 3:x2y+z+5=0, ache uma equação 
do plano que contém 12 e é perpendicular a 3. Resp: :x + y + z +1=0 
 
 
33) Dado o plano  1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a 
equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano 1 e é paralelo ao 
plano 2:x3=0. Resp: : 0
10
3
x  
 
 34) Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: 
 a)possui o ponto A(1,2,1) e é paralelo aos vetores kjia

 e k2jib

 ; 
 b) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores v

=(2,–1,1) e w

=( –3,1,2); 
 c) possui o ponto P(2,1,3) e é paralelo ao plano XOZ; 
 d) contém as retas 
2
1z
2
2y
3
7x
:r





 e 
4
5z
3
2y
2
1x
:s






; 
 e) contém as retas 3z1y
2
x
:r  e 
2
z
2
2y
4
1x
:s 



; 
 f ) que contém as retas 0z,
2
2y
2
2x
:s e 
4z
ty
t3x
:r 












; 
 g )contém as retas 
4
z
1
y
2
1-x
:s e 
1x3z
3x2y
r 







; 
 Resp: a) :x-yz = 0 b) :x+yz5=0 c)  :y+1=0 
 d)  :2x16y13z+31= 0 e )  :yz2=0 
 f)  :4x+4y+3z=0 g ) :11x+2y5z11=0