Aula 07 - Equação de Lagrange

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Modelagem Matemática de 
Sistemas Mecânicos 
Híbridos pela Mecânica 
Lagrangiana
Obtenção do modelo matemático de 
sistemas mecânicos híbridos (sistemas 
cujas massas executam movimentos de 
translação e rotação), a partir da aplicação 
das Equações de Lagrange
Estudo ficará restrito ao movimento de 
corpos rígidos no plano, também conhecido 
simplesmente por movimento plano
Introdução
2
EQUAÇÕES DE LAGRANGE
Seja um sistema mecânico com n GDL, cujas coordenadas 
generalizadas são q1, q2, ... , qn
Energia potencial do sistema em um dado instante:
Energia cinética do sistema em um dado instante:
)q,...,q,q(VV n21=
Lagrangiano do sistema: VTL −=
)q,...,q,q,q,...,q,q(TT n
.
2
.
1
.
n21=
Equações de Lagrange: n , ... 2, 1, i ,Qq
L
q
L
dt
d
i
i
i
. ==∂
∂
−








∂
∂
Qi = forças não-conservativas
Exemplo 1: Sistema mola-disco
O disco rola sem deslizar sobre o plano horizontal. Achar o 
modelo matemático usando a coordenada θ.
n , ... 2, 1, i ,Q
q
L
q
L
dt
d
i
i
i
. ==∂
∂
−








∂
∂
2kx
2
1V =
2.2
2.2.2.
mr
2
1
2
1xm
2
1J
2
1xm
2
1T θ+=θ+=
3
2
2.2
2.
kx
2
1mr
2
1
2
1xm
2
1VTL −θ+=−=
n , ... 2, 1, i ,Q
q
L
q
L
dt
d
i
i
i
. ==∂
∂
−








∂
∂
θ= rx .. rx θ=
22
2.2
2.2 kr
2
1mr
2
1
2
1mr
2
1L θ−θ+θ=
θ=⇒= 1q 1i 0LLdt
d
. =θ∂
∂
−



θ∂
∂
..2.2.2.2
. mr2
3mr
2
3
dt
dmr
2
1mr
dt
dL
dt
d θ=

 θ=

 θ+θ=



θ∂
∂
θ−=
θ∂
∂ 2krL
0krmr
2
3 2..2
=θ+θ 0
m3
k2..
=θ+θ
Exemplo 2: Sistema carro-pêndulo simples 
Deduzir o modelo matemático 
para pequenas oscilações θ
θ−+= cosmgLmgLkx
2
1V 2
2.2..2.
Lsenm
2
1cosLxm
2
1xM
2
1T 

 θθ−+

 θθ++=
θ+−−

 θθ+

 θθ++=−= cosmgLmgLkx
2
1Lsenm
2
1cosLxm
2
1xM
2
1VTL 2
2.2..2.
n , ... 2, 1, i ,Q
q
L
q
L
dt
d
i
i
i
. ==∂
∂
−








∂
∂
4
xq 1i 1 =⇒= .. xc)t(fx
L
x
L
dt
d
−=
∂
∂
−



∂
∂
θ=⇒= 2q 2i 0LLdt
d
. =θ∂
∂
−



θ∂
∂
2..........
. mLsencosmLxmxMcosLxmxMdt
d
x
L
dt
d θθ−θθ++=

 

 θθ++=



∂
∂ kx
x
L
−=
∂
∂
( ) ..2...222..... mLxmLsencosmLxmdtdLsenmLsencosLcosLxmdtdLdtd θ+= θθ+θ+=

 θθθ+θ

 θθ+=



θ∂
∂
θ−=θ−=
θ∂
∂ mgLmgLsenL
( ) )t(fkxxcmLxmM ..... =++θ++
0mgLmLxmL
..2..
=θ+θ+



=


θ


+



θ



+



θ


 +
0
)t(fx
mgL0
0kx
00
0cx
mLmL
mLmM
.
.
..
..
2
Forma 
matricial:
Exemplo 3: Sistema carro-pêndulo invertido
Deduzir o modelo matemático para pequenas 
oscilações θ
5
n , ... 2, 1, i ,Q
q
L
q
L
dt
d
i
i
i
. ==∂
∂
−








∂
∂
gLmcosgLm
2
Lmgcos
2
LmgV cc −θ+−θ=
2.2
2.2..2.
c
2..
c
2.
mL
12
1
2
1sen
2
Lm
2
1cos
2
Lxm
2
1Lsenm
2
1cosLxm
2
1xM
2
1T θ+

 θθ−+

 θθ++

 θθ−+

 θθ++=
gLmcosgLm
2
Lmgcos
2
LmgmL
12
1
2
1 
sen
2
Lm
2
1cos
2
Lxm
2
1Lsenm
2
1cosLxm
2
1xM
2
1VTL
cc
2.2
2.2..2.
c
2..
c
2.
+θ−+θ−θ+
+

 θθ−+

 θθ++

 θθ−+

 θθ++=−=
xq 1i 1 =⇒= .
. xc)t(fx
L
x
L
dt
d
−=
∂
∂
−



∂
∂
θ=⇒= 2q 2i 0LL
dt
d
. =θ∂
∂
−



θ∂
∂


 

 θθ++

 θθ++=



∂
∂ ....
c
.
. cos2
LxmcosLxmxM
dt
d
x
L
dt
d


 θ+θθθ+θ

 θθ++θθθ+θ

 θθ+=



θ∂
∂ .2....
c
..
c. mL12
1sen
2
Lsen
2
Lcos
2
Lcos
2
LxmLsenLsenmcosLcosLxm
dt
dL
dt
d
( ) ( )
θ+θ+θθ

 θθ+
+θ−θ

 θθ++θθ

 θθ+θ−θ

 θθ+=
θ∂
∂
gLsenmsen
2
Lmgcos
2
Lsen
2
Lm 
sen
2
Lcos
2
LxmcosLLsenmsenLcosLxmL
c
..
.....
c
...
c
0
x
L
=
∂
∂( ) ..c..c. L)m2
m(xmmM
x
L
dt
d θ++++=



∂
∂
..2
c
..
c
.2
c
.
c. Lm3
mxLm
2
mLm
3
mxLm
2
m
dt
dL
dt
d θ

 ++

 +=

 θ

 ++

 +=



θ∂
∂
2.....2.
c
..
c
..
c
..
. Lsen2
mcosL
2
mxmLsenmcosLmxmxM
x
L
dt
d θθ−θθ++θθ−+θθ++=



∂
∂ 11 00
( ) ( )  θ+θθ+θ+θ+θθ+θ+θ=



θ∂
∂ .2.222..222
c
.
c. mL12
1sencosL
4
mxcosL
2
msencosLmxcosLm
dt
dL
dt
d 1 11 1
θ

 +=
θ∂
∂ gLm
2
mL
c
0 0 0
0
6
( ) )t(fxcL)m
2
m(xmmM
...
c
..
c =+θ++++
Forma matricial:



=


θ





 +−+



θ



+



θ









 +

 +


 +++
0
)t(fx
gLm
2
m0
00x
00
0cx
Lm
3
mLm
2
m
L
2
mmmmM
c
.
.
..
..
2
cc
cc
0gLm
2
mLm
3
mxLm
2
m
c
..2
c
..
c =θ

 +−θ

 ++

 +