Aula 08 - Sistemas Elétricos

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Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos. Analogias Eletromecânicas
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1 INTRODUÇÃO
Os sistemas elétricos são componentes essenciais de muitos sistemas dinâmicos complexos. Por exemplo,
um controlador de um driver de disco de um computador ou o controlador da velocidade de um automóvel
necessitam de certos circuitos elétricos para funcionar. Usaremos os termos sistemas elétricos e
circuitos elétricos como sinônimos. Tendo em vista que existe no currículo uma disciplina de Circuitos
Elétricos, onde o estudo é feito com muito mais profundidade, aqui faremos apenas uma abordagem que
seja suficiente para a compreensão das analogias que existem entre certos sistemas dinâmicos (analogias
eletromecânicas, eletro-hidráulicas, eletro-pneumáticas, eletrotérmicas, etc.), assim como dos sistemas
eletromecânicos a serem estudados posteriormente.
2 ELEMENTOS ELÉTRICOS PASSIVOS
Para modelar um sistema elétrico precisamos conhecer os seus componentes elétricos passivos.
As relações elementares de voltagens são:
Resistor (Lei de Ohm)
(1) eA – eB = R iR
Indutor
(2)
Capacitor
(3)
onde R, L e C são a resistência, a
08 Modelagem Matemática de
Sistemas Elétricos.
Analogias Eletromecânicas
di
 L e -e LBA =
-eA
dt
dti
C
1 e 
t
0
CB ∫=
 indutância e a capacitância, respectivamente.
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As relações elementares de correntes são:
Resistor (Lei de Ohm)
(4)
Indutor
(5)
Capacitor
(6)
3 MODELAGEM DE CIRCUITOS ELÉTRICOS. LEIS DE KIRCHHOFF
A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita aplicando-se as Leis de Kirchhoff: a Lei
dos Nós e/ou a Lei das Malhas.
Modelagem Matemática pelo Método dos Nós
Aplica-se a Lei dos Nós a cada nó do circuito elétrico:
Exemplo 1
No circuito da fig. 1, o interruptor S é fechado no instante t = 0. Achar o modelo matemático, sendo E a
entrada e as tensões eA e eB as saídas.
Considerar: 2R1 = R2 = R3
 R3C = 1
 E = 12 v
R
e -e i BAR =
dt)ee(
L
1 i B
t
0
AL −= ∫
dt
)ee(dC i BAL
−=
A soma das correntes que entram em um nó de um circuito elétrico é igual à
soma das correntes que saem do mesmo nó
Fig. 1
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3
 Solução
Referência para voltagem: no nó D Î eD = 0
Lei dos Nós aplicada ao nó A:
(a) i1 = i2 + i3
Usando as equações das correntes:
Levando essas três últimas equações na eq. (a):
(b)
Por outro lado, temos no ponto B:
logo
(c)
Substituindo os dados do enunciado na eq. (b), chegamos a
(d) 4eA – eB = 24
Analogamente, levando na eq. (c):
(e) 
Eliminando eA nas eqs. (d) e (e), chega
(f)
Assim, o modelo matemático é compos
Modelagem Matemática pelo Método d
Aplica-se a Lei dos Malhas a cada ma
1
A
1 R
eE i −=
2
A
2
DA
2 R
e
R
ee
 i =−=
3
BA
3 R
ee i −=
3
BA
2
A
1
A
R
ee
R
e 
R
eE −+=−
dt
de
C
dt
)ee(d
C i BDB3 =
−=
dt
de
CRee B3BA =−
BA
.
B eee −=
A soma das quedas de voltag
soma das voltagen
m
to
a
lh
e
s
os à EDOL de primeira ordem
 pela EDOL (f) e pela equação algébrica (d).
s Malhas
a do circuito elétrico:
6e75,0e B
.
B =+
m em uma malha de um circuito elétrico é igual à
 que são introduzidas na mesma malha
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Exemplo 2
No circuito RL série da fig. 2 o interruptor S é fechado no instante t = 0. Achar o modelo matemático,
sendo E a entrada e i(t) a saída.
Fig. 2
 Solução
Lei das Malhas: eL + eR = E
Usando as equações das voltagens, chegamos a
(a)
Vemos que se trata de uma EDOL de primeira ordem bastante simples.
4 ANALOGIAS ELETROMECÂNICAS
Até agora, estudamos os sistemas mecânico
matemáticas. Vamos, a seguir, estabelecer c
que permite definir o que chamamos analogia 
Dois sistemas físicos são análogos (duais) 
seja, pelo mesmo conjunto de equações difere
Os sistemas análogos caracterizam-se po
submetidos a excitações do mesmo tipo. Ess
análise e projeto, trabalhar experimentalmen
mecânico que está sendo projetado, antes d
mais caro). O dimensionamento do circuito 
Dimensional e Semelhança.
O conceito de sistemas análogos é bem
eletrotérmica, eletropneumática, etc.
No que diz respeito à analogia eletromecânic
Lei de Kirchhoff dos nós, e a analogia força-v
ERi
dt
diL =+
s e os sistemas elétricos, apresentando suas modelagens
ertas características comuns aos dois tipos de sistemas, o
eletromecânica.
quando são descritos pelo mesmo modelo matemático, ou
nciais ou pela mesma função de transferência.
r apresentarem a mesma forma de resposta quando
e fato é de extrema importância, pois permite, nas fases de
te com o circuito elétrico (mais barato) análogo do sistema
a implementação do protótipo do sistema mecânico (muito
elétrico análogo é feito com base na Teoria da Análise
 mais amplo: podemos ter analogias eletro-hidráulica,
a, temos dois tipos: a analogia força-corrente, com base na
oltagem, amparada na Lei de Kirchhoff das malhas.
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5 ANALOGIA FORÇA-VOLTAGEM
Vamos considerar o sistema mecânico massa-mola-amortecedor com um GDL e o sistema elétrico
resistor-indutor-capacitor série, mostrados na fig. 3:
Sistema mecânico Circuito elétrico
Fig. 3
Os modelos matemáticos dos dois sistemas, conforme já vimos, são:
Sistema Mecânico Sistema Elétrico
(a) Sistema translacional:
)t(fkxxcxm
... =++
(b) Sistema rotacional:
)t(TKCJ
... =θ+θ+θ
)t(eidt
C
1Ri
dt
diL
t
0
=++ ∫
ou, como 
dt
dqi = ⇒ q
td
qd
dt
di ..
2
2
==
⇒ ∫ =t0 qidt
então )t(eq
C
1qRqL
... =++
Examinando os modelos matemáticos dos sistemas mecânico e elétrico, verificamos que os mesmos são
compostos pelas mesmas equações diferenciais, a menos dos símbolos utilizados. Pela posição que ocupam
nas equações, podemos facilmente estabelecer as quantidades análogas dos dois sistemas:
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Sistema Mecânico Sistema Elétrico
Força f (ou Torque T)
Massa m (ou Inércia J)
Coef. Amortecimento Viscoso c (ou C)
Rigidez k (ou K)
Deslocamento x (ou θ)
Velocidade ,. ou x θ
Aceleração
,...
 ou x θ
Voltagem e
Indutância L
Resistência R
Inverso da Capacitância 1/C
Carga elétrica q
Corrente elétrica i
Variação di/dt
6 ANALOGIA FORÇA-CORRENTE
Vamos considerar, agora, o mesmo sistema mecânico massa-mola-amortecedor com um GDL e o sistema
elétrico resistor-indutor-capacitor paralelo, mostrados na fig. 4:
 Sistema mecânico Circuito elétrico
 
Fig. 4
Semelhantemente ao caso anterior, podemos ter os dois modelos matemáticos:
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Sistema Mecânico Sistema Elétrico
(a) Sistema translacional:
)t(fkxxcxm
... =++
(b) Sistema rotacional:
)t(TKCJ
... =θ+θ+θ
iC + iR + iL = i
iedt
L
1
R
e
dt
deC
t
0
=++ ∫
ou, como 
dt
de ψ= onde ψ = fluxo magnético
⇒ ψ= ..
dt
de e ψ=∫t0edt
então )t(i
L
1
R
1C
... =ψ+ψ+ψ
Analogamente, podemos facilmente estabelecer as quantidades análogas dos dois sistemas:
Sistema Mecânico Sistema Elétrico
Força f (ou Torque T)
Massa m (ou Inércia J)
Coef. Amortecimento Viscoso c (ou C)
Rigidez k (ou K)
Deslocamento x (ou θ)
Velocidade ,. ou x θ
Aceleração
,...
 ou x θ
Corrente elétrica i
Capacitância C
Inverso da Resistência 1/R
Inverso da Indutância 1/L
Fluxo magnético ψ
Voltagem e
Variação de/dt
Portanto, podemos concluir que:
sistemas análogos ⇒ mesma equação diferencial
mesma função detransferência
7 OBTENÇÃO DO CIRCUITO ELÉTRICO ANÁLOGO POR INSPEÇÃO
Comparando as figuras anteriores, podemos observar que:
(1) Analogia força-voltagem: k e c em paralelo Æ análogos C e R em série
k e c em série Æ análogos C e R em paralelo
(2) Analogia força-corrente: k e c em paralelo Æ análogos 1/L e 1/R em paralelo
k e c em série Æ análogos 1/L e 1/R em série
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Os fatos acima permitem construir o circuito elétrico análogo a um dado sistema mecânico simplesmente
por inspeção.
Assim, na figura do sistema mecânico colocamos um ponto (P, Q, S, etc.) em cada um dos seguintes locais:
massas, pontos de aplicação de forças e pontos de ligação entre elementos flexíveis (molas e
amortecedores). A quantidade de pontos assim definidos nos informa a quantidade de GDL do sistema
mecânico.
Para a construção do circuito elétrico levamos em conta que a quantidade de GDL do sistema mecânico é
igual à quantidade de malhas do circuito elétrico e que cada ponto do sistema mecânico (P, Q, S, etc.)
corresponde a uma malha do circuito elétrico.
Com essas informações, podemos construir o circuito elétrico análogo, conforme ilustram os exemplos das
figs. 5 e 6:
Exemplo 3 (fig. 5):
Exemplo 4 (fig. 6):
Fig. 5
Fig. 6
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8 OBTENÇÃO DO CIRCUITO ELÉTRICO ANÁLOGO A PARTIR DAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Mostraremos a seguir, através de um exemplo, uma maneira mais rigorosa de obter o circuito elétrico
análogo a um dado sistema mecânico, a partir do modelo matemático desse último.
Exemplo 5
Usando a analogia força-voltagem, obter o circuito elétrico análogo do sistema mecânico da fig. 7.
 Solução
Inicialmente, vamos achar o modelo matemático do sistema mecânico. Para isso, construímos o diagrama
de corpo livre (fig. 8) e aplicamos a Segunda Lei de Newton:
 Fig. 8
massa m1:
massa m2:
Ordenando:
1
..
11
.
1111
.
2
.
2122 xmxcxk)xx(c)xx(k =−−−+−
2
..
21
.
2
.
2122 xm)xx(c)xx(k =−−−−
0)xx(k)xx(cxm
0)xx(k)xx(cxkxcxm
1221
.
2
.
22
..
2
2122
.
1
.
2111
.
11
..
1
=−+−+
=−+−+++
Fig. 7
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Usando a analogia força-voltagem, obtemos as equações do circuito elétrico análogo:
Vemos, nas equações acima, que o termo de acoplamento, i1 - i2, está presente nas duas equações. Logo,
ele deve pertencer simultaneamente às duas malhas do circuito elétrico, ou seja, deve estar presente no
ramo comum a ambas as malhas. Assim, podemos construir o circuito elétrico análogo:
Comparando as figs. 7 e 9, podemos comprovar que a cada grau de liberdade no sistema mecânico
corresponde uma malha no circuito elétrico.
Fig. 9
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EXERCÍCIOS
1 Representar o modelo matemático do Exemplo 1 do texto pelas funções de transferência
)s(E
)s(E
)s(G e 
)s(E
)s(E)s(G B2
A
1 ==
2 Dado o circuito RLC série da figura, determinar:
(a) modelo matemático;
(b) freqüência natural;
(c) fator de amortecimento;
(d) função de transferência EC(s)/E(s),
 onde eC(t) é a saída (tensão no capacitor)
 e(t) é a entrada.
Resp.: (a) 
dt
de
L
1i
LC
1
dt
di
L
R
dt
id
2
2
=++ (b)
(c) 
L
CR 
2
1 2=ς (d) 
)
LC
1s
L
RLC(s
1
)s(E
)s(E
2
C
++
=
3 Dado o circuito da figura, deduzir o modelo matemático e obter as funções de transferência
I1(s)/E(s) e I2(s)/E(s).
Resp.: Modelo matemático: 
0dt)ii(
C
1iR
dt
diL
Edt)ii(
C
1iR
1222
2
2111
=−++
=−+
∫
∫
 
LC
1
n =ω
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4 Obter o circuito elétrico análogo do sistema
mecânico da figura, usando a analogia
força-voltagem e as equações diferenciais
do sistema mecânico (a serem deduzidas previamente).
5 Resolver o Exercício 4 por inspeção. Deu o mesmo resultado?
6 Obter o circuito elétrico análogo do sistema
mecânico da figura, usando a analogia
força-voltagem e as equações diferenciais
do sistema mecânico (a serem deduzidas previamente).
7 Resolver o Exercício 6 por inspeção. Deu o mesmo resultado?