Aula 09 - Sistemas Eletromecânicos

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Modelagem Matemática de Sistemas Eletromecânicos
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1 INTRODUÇÃO
Veremos, a seguir, a modelagem matemática de sistemas eletromecânicos, ou seja, sistemas que tratam
da conversão de energia eletromagnética em energia mecânica com o objetivo de acionar um sistema
mecânico, como os já estudados até aqui.
Na modelagem matemática de sistemas eletromecânicos temos necessidade de:
(1) aplicar as Leis de Newton e as relações constitutivas dos elementos mecânicos, para desenvolver as
EDOL’s que descrevem o movimento do subsistema mecânico;
(2) aplicar as Leis de Kirchhoff e as relações constitutivas dos elementos elétricos, para desenvolver as
EDOL’s que descrevem o comportamento do subsistema elétrico;
(3) aplicar as Leis da Indução Magnética, para modelar a interação entre os subsistemas mecânico e
elétrico.
Após a apresentação das Leis da Indução Magnética (as Leis de Newton e de Kirchhoff já foram
estudadas), desenvolveremos, a título de ilustração, o modelo matemático de um sistema eletromecânico.
2 LEIS DA INDUÇÃO MAGNÉTICA
Consideremos, inicialmente, um campo magnético B, tal como o que existe entre os pólos de um imã
permanente construído com material ferromagnético.
Primeira Lei da Indução Magnética
Se uma partícula com carga elétrica q estiver em movimento, com velocidade V, no interior de um
campo magnético de intensidade B, sobre ela o campo gerará uma força F, dada por
(1) F = qV x B
A unidade SI de B é [N/mA
Observemos que a força F à velocidade V, de acordo
com a eq. (1). Portanto, ela n
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Sistemas Eletromecânicos
]. Define-se 1 gauss (G) = 10-4 N/mA.
não executa trabalho mecânico, pois ela é normal 
ão altera a energia cinética da partícula.
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Consideremos, agora, um elemento de fio condutor de comprimento dl, posicionado dentro de um campo
magnético B, através do qual circula uma corrente I, conforme fig. 1.
Fig. 1
Sobre esse elemento agirá uma força elementar dF, a qual pode ser obtida a partir da eq. (1):
dF = dq V x B Bl x
dt
dIdt=
(2) dF = I dl x B
Para um comprimento finito de fio, a força resultante será obtida integrando a eq. (2):
(3) F = ∫ Bl xId
A eq. (3) é a base para dispositivos atuadores, tais como motores, motivo pelo qual ela é conhecida como
Lei do Motor (acompanhar pela fig. 2):
Fig. 2
O módulo da força, em N, vale
(4) F = B I l sen α
onde B = campo magnético
I = corrente elétrica que circula no condutor
l = comprimento do condutor imerso no campo magnético
α = ângulo entre o condutor e o campo magnético
A passagem de uma corrente elétrica em um condutor situado em um campo magnético provoca o
aparecimento de uma força eletromagnética que atua sobre o condutor, cuja direção e sentido são dados
pela produto vetorial da eq. (3).
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O valor máximo de F é obtido quando sen α = 1 ⇒ α = 900, motivo pelo qual sempre se coloca o condutor
perpendicular ao campo magnético.
Segunda Lei da Indução Magnética
É a chamada Lei da Indução Eletromagnética de Faraday:
Se um fio condutor estiver em movimento dentro de um campo magnético, então um gradiente de
potencial (voltagem) é gerado ao longo do fio.
 Fig. 3
Para um condutor elementar de comprimento dl, movendo-se com velocidade V dentro de um campo
magnético B, a diferença de potencial elementar é dada por
(5) de = V x B dl
A voltagem induzida aumenta na direção de V x B. Para um comprimento finito de fio, a voltagem induzida
é obtida integrando a eq. (5):
(6) lBV d xe ∫=
A eq. (6) forma a base para dispositivos que geram energia elétrica a partir de energia mecânica, tais
como turbinas a vapor e geradores em geral, motivo pelo qual ela constitui a chamada Lei do Gerador:
O valor da voltagem, em volts, é dado por
(7) e = B l V
onde B = intensidade do campo magnético
l = comprimento do condutor imerso no campo magnético
V = velocidade do condutor perpendicularmente ao campo
Se um condutor de comprimento l move-se com velocidade V em um campo magnético de intensidade B e
perpendicularmente a ele, então é gerada uma voltagem e no condutor.
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Na discussão anterior foram apresentados os dois efeitos eletromagnéticos de maior interesse para a
modelagem de um sistema eletromecânico. Se considerarmos simultaneamente a ocorrência desses dois
efeitos, podemos ver claramente que as partes elétrica e mecânica irão interagir. Assim, supondo que um
fio condutor seja fixado a um corpo que se move dentro de um campo magnético, a força eletromagnética
gerada fará com que o corpo seja acelerado. Por outro lado, à medida que o corpo se movimenta, a sua
velocidade fará com que seja gerada uma voltagem (denominada força contra-eletromotriz), a qual
afetará a corrente elétrica no condutor, e essa última, por sua vez, afetará a força exercida sobre o
objeto e assim por diante. Portanto, durante o funcionamento de um sistema eletromecânico, aplicam-
se ambas as leis, a do motor e a do gerador.
3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM SERVOMOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA
O controle dos servomotores CC pode ser feito através da:
 
corrente de campo, if (no caso de o campo magnético ser gerado por um eletroimã);
corrente da armadura, ia (mais comum).
Consideremos um servomotor CC controlado pela armadura, conforme fig. 4, onde a corrente de campo
do eletroimã, if, é constante:
Fig. 4
Fig. 4
Na fig. 4 identificamos:
Ra = resistência da armadura [Ω]
La = indutância da armadura [H]
ia = corrente na armadura [A]
if = corrente de campo [A]
ea = voltagem na armadura [V]
eb = força contra-eletromotriz [V]
θ = deslocamento angular do eixo do motor [rad]
T = torque desenvolvido pelo motor [Nm]
J = momento de inércia do motor e da carga, referidos ao eixo do motor [kg m2]
C = coeficiente de amortecimento viscoso do motor e carga, referidos ao eixo do motor
 [Nms/rad]
Obs.: o eixo será suposto rígido, ou seja, não será levada em conta a sua elasticidade.
Para a modelagem matemática, é necessário aplicar as leis físicas dos vários componentes.
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Parte elétrica:
Fluxo magnético, ψ: é proporcional à corrente de campo
(8) ψ = kf if
onde kf é uma constante de proporcionalidade.
Torque desenvolvido pelo motor, T: é proporcional ao produto da corrente da armadura pelo fluxo
magnético
 T = k1 ia ψ
ou T = k1 ia kf if
Como k1, kf e if são constantes: k1 kf if = k (constante do motor, fornecida pelo fabricante). Logo:
(9) T = k ia
Força contra-eletromotriz eb: quando a armadura está girando, está presente também a lei do gerador,
fazendo com que surja uma voltagem proporcional à velocidade angular
(10) 
dt
d
kbeb
θ=
onde kb é a constante do gerador.
Lei de Kirchhoff das malhas para o circuito elétrico da armadura:
(11) aebeaiaRdt
adi
aL =++
Parte mecânica:
2a Lei de Newton:
(12)
Levando em conta a eq. (9):
 (13) iakdt
dC
dt
dJ 2
2
=θ+θ
Função de transferência do servomotor CC:
Considerando todas as condições iniciais nulas, podemos obter as transformadas de Laplace das eqs. (10),
(11) e (13):
T
dt
dC2dt
dJ 
2dt
dJ
dt
dCT2dt
dJText
2
22
=θ+θ
θ=θ−⇒θ=∑
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6
(14)
(15)
(16) 
Substituindo a eq. (14) na eq. (15):
 
 
RasLa
)s(skb)s(Ea)s(Ia 
)s(Ea)s(skb)s(IaRa)s(IasLa
+
Θ−=⇒
=Θ++
Levando Ia (s) na eq. 6), após manipulações algébricas, ficamos com:
Considerando ea(t) co
(17) 
Vemos (eq. (17)) que 
um sistemade 2a or
seja muito pequena n
transferência simplif
(18)
Por outro lado, chama
podemos, finalmente
(19) 
 )s(Iak)s( Cs)s(s2J
 
)s(Ea)s(Eb)s(IaRa)s(IasLa
 
)s( sbk)s(bE
=Θ+Θ
=++
Θ=
(1
 )s(EaRasLa
k)s()
RasLa
skbkCss2(J +=Θ+++
mo entrada e θ(t) como saída, podemos achar a função de transferência:
 
]kbkCRas)JRabLa(s2JLas[
k=
)s(Ea
)s(
++++
Θ
se trata de um sistema de 3a ordem. Entretanto, podemos baixar a sua ordem para
dem, levando em consideração que é muito comum que a indutância da armadura La
a presença dos demais parâmetros, podendo ser desprezada. Nesse caso, a função de
ica para:
ndo
 motor do tempo de constante =Tm=kbkCRa
JRa
 motor do ganho=km=kbkCRa
k
+
+
, rescrever a eq. (18) como
 
)1smT(s
km=
)s(Ea
)s(
+
Θ
 
)
JRa
kbkCRas(s
JRa
k
=
)s(Ea
)s( 
 
)kbkCRaJsRa(s
k=
)s(Ea
)s( 
++
Θ
++
Θ
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EXERCÍCIOS
1 Achar a função de transferência Θ2(s)/Ea(s) do servomotor CC da figura, cuja indutância da
armadura é desprezível (não mostrada). Desprezar a elasticidade dos eixos e os amortecimentos.
Resp.:
sKKsJJR
K
n
n
)s(E
)s(
)s(G
b
2
2
1
21a
2
1
a
2
+






+
=Θ=
2 É dado o servomotor CC da figura
transferência Θ2(s)/Ea(s). Desprez
Dados numéricos:
Ra = 0,2 Ω
Kb = 5,5 x 10-2 V.s/rad
K = 8,1365 x 10-5 N.m/A
Jmotor = 1,356 x 10-5 kg.m2
JL = 5,9664 x 10-3 kg.m2
CL = 5,424 x 10-2 N.m.s/rad
N1/N2 = 0,1
n
n2 
, cuja indutância da armadura é desprezível. Achar a função de
ar a elasticidade dos eixos.