Aula 13 - Função Teste

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Funções de Teste. Simulção no VisSim 1
1 INTRODUÇÃO
As funções de teste formam a base para a análise e a simulação de sistemas lineares no domínio do tempo
e são de considerável interesse em Sistemas Dinâmicos, principalmente na fase de simulação em
computador. De acordo com a excitação real a que o sistema será submetido, podemos escolher uma
função de teste apropriada. Assim, por exemplo, a pancada que ocorre em uma prensa de forjamento pode
ser simulada por uma função do tipo impulso (força com grande intensidade e pequena duração de tempo);
o desbalanceamento rotativo de um motor elétrico gera uma força centrífuga senoidal, logo essa força
pode ser simulada por uma função seno.
As funções fundamentais de teste que serão estudadas nesta apostila são: o impulso (delta de Dirac), o
degrau, a rampa, a senóide e a função exponencial. Também serão considerados sinais obtidos pela
combinação de outros sinais. Paralelamente, veremos como montar e simular tais funções no VisSim.
2 IMPULSO UNITÁRIO (DELTA DE DIRAC)
A definição matemática do impulso unitário é
(1a) δ(t - a) = 0 t ≠ a
(1b) ∫+∞∞− =−δ 1dt)at(
conforme ilustra a fig. 1:
 
Observando a fig. 1, concluímos que o impulso unitá em um intervalo de tempo muito
pequeno ε nas vizinhanças do instante t = a. Nesse de é muito grande e igual a 1/ε.
Quando ε → 0, a amplitude tende a ∞, porém de tal b a curva permanece constante e
igual a 1, daí o nome impulso unitário. A unidade SI d portanto, s-1.
 13 Funções de Teste
Simulação no VisSim
Fig. 1
rio é nulo, exceto 
intervalo, a amplitu
modo que a área so
o impulso unitário é,
Funções de Teste. Simulção no VisSim 2
Transformada de Laplace (referir-se a livros de Cálculo):
(2) ∆(s) = e-as
É muito comum, na prática, que o impulso ocorra no instante a = 0. Nesse caso:
(3) ∆(s) = 1
3 DEGRAU UNITÁRIO
O degrau unitário, tão importante quanto o impulso unitário, pode simular uma carga unitária constante,
subitamente aplicada, conservando-se por um longo período de tempo. Ele é definido matematicamente
como
(4) u(t - a) = 


>
<
a t para 1
a t para 0
Podemos notar facilmente que o degrau unitário é adimensional. A fig. 2 ilustra o degrau unitário:
Transformada de Laplace (referir-se a livros de Cálculo):
(5) U(s) = e-as/s
É muito comum, na prática, que o degrau ocorra no instante a = 0. Nesse caso:
(6) U(s) = 1/s
É fácil demonstrar (ver livros de Cálculo) que são verdadeiras as duas propriedades seguintes,
relacionando o degrau unitário e o impulso unitário:
“O degrau unitário é a integral do impulso unitário”.
“O impulso unitário é a derivada do degrau unitário”.
A multiplicação de uma função f(t) pelo degrau unitário implica na anulação da porção de f(t)
correspondente a t < a, conservando a porção de f(t) correspondente a t > a. A fig. 3 mostra um exemplo
em que f(t) = senωt e a = 0:
Funções de Teste. Simulção no VisSim 3
Assim, a função mostrada na part inferior da fig. 3 pode ser descrita matematicamente como
(7) 
O degrau unitário é também mu
retangular, mostrada na fig. 4 pod
(8) f
Simulação no VisSim
(a) Degrau
O VisSim possui a função degrau
sua amplitude. Os valores “defaul
que inicia no instante 3 e tem amp
Fig. 3
Fig, 5
e
 f(t) = u(t) senωt
ito útil na construção de outras funções. Por exemplo, a função pulso
e ser expressa como
(t) = F[u(t + T/2) – u(t – T/2)]
, bastando escolher o instante em que ela se inicia (o “Time Delay”) e a
t” são Time Delay = 0 e Amplitude = 1. A fig. 5 ilustra um degrau unitário
litude 5.
Fig. 4
Plot
Time (sec)
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
6
Funções de Teste. Simulção no VisSim 4
(b) Pulso retangular
O VisSim não tem tal função. Podemos, contudo, criá-la facilmente por meio da combinação de dois
degraus. Suponhamos, por exemplo, que queiramos criar um pulso de amplitude 4 e duração 2 s, iniciando
no instante 1 s. Basta, para isso, formar a função f(t) = 4 u(t-1) – 4 u(t-3), conforme nos mostra a fig. 6:
(c) Delta de Dirac
O VisSim não tem pronta tal função. Podemos, no entanto, imaginar um delta de Dirac como sendo um
pulso retangular de duração muito pequena e amplitude muito grande, tal que a área do pulso seja unitária.
Por exemplo, podemos criar um pulso de duração 0,01 s e amplitude 100, conforme ilustra a fig. 7:
4 RAMPA UNITÁRIA
Outra função de teste de interesse é a rampa unitária, a qual simula uma função linear. Ela é definida
como
(9) ou, também:
(10) r(t-a) = (t-a)u(t-a)


<
>=
at para 0
at para a-t
 a)-r(t
Plot
Time (sec)
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
+
-
Fig. 6
Plot
Time (sec)
0 2 4 6 8 10
0
25
50
75
100
125
150
175
200
+
-
Fig. 7
Funções de Teste. Simulção no VisSim 5
A unidade SI da rampa unitária é o [s]. A fig. 8 ilustra a rampa unitária, cuja inclinação é unitária (450),
daí o seu nome:
Transformada de Laplace (referir-se a livros de Cálculo):
(11) R(s) = e-as/s2
É muito comum, na prática, que o degrau ocorra no instante a = 0. Nesse caso:
(12) R(s) = 1/s2
É fácil demonstrar (ver livros de Cálculo) que são verdadeiras as duas propriedades seguintes,
relacionando o degrau unitário e a rampa unitária:
“A rampa unitária é a integral do degrau unitário”.
“O degrau unitário é a derivada da rampa unitária”.
A rampa unitária também pode ser usada para a obtenção de certas funções. Por exemplo, o pulso
triangular da fig. 9 pode ser expresso matematicamente por
(13)
Simulação no VisSim
O VisSim dispõe dessa função, denominada “ramp”. Seus parâmetros são o “Time Delay” e o “Slope”
(inclinação ou coeficiente angular da reta). Os valores “default” são Time Delay = 0 e Slope = 1 (ou seja,
inclinação de 45o). A fig. 10 ilustra uma rampa que inicia no instante 2 s e tem inclinação 4/5.
Fig. 8
)]
2
Tt(r)t(r2)
2
Tt(r[
T
F2f(t) −+−+=
Fig. 9
Funções de Teste. Simulção no VisSim 6
5 PULSO UNITÁRIO
Trata-se de outra função de teste de muito interesse prático, a qual simula uma excitação constante de
duração finita. Ela é definida como
(14) p(t) = u(t-a) - u(t-b) b > a
A unidade SI do pulso unitário é a mesma do degrau unitário, ou seja, é adimensional. A fig. 11 ilustra o
pulso unitário mais utilizado em simulação, o qual é obtido para a = 0 e b = t1
Transformada de Laplace:
(15) )e1(
s
1)ee(
s
1)s(P stbsas 1−−− −=−=
O pulso unitário é extremamente útil quando se deseja conservar um determinado trecho de uma função
e anular o restante. Por exemplo, a fig. 12 mostra uma rampa finita que começa em t=0 e termina em
t=0,5 s. Ela pode ser obtida multiplicando a rampa 2t por um pulso unitário começando em t=0 e
terminando em t=0,5 s.
Fig. 11
Plot
Time (sec)
0 2 4 6 8 10
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Fig. 10
Funções de Teste. Simulção no VisSim 7
6 SENÓIDE
Também muito importante, essa função de teste pode simular um sinal de natureza harmônica. Um
exemplo bastante familiar é a tensão elétrica que existe em nossa residência. Ela é definida como
(16) f(t) = F sen ωt
onde F é amplitude e ω é a freqüência.
Transformada de Laplace:
(17) 22s
F)s(F ω+
ω=
Simulação no VisSim
No VisSim, existem duas maneiras de montar uma senóide.
A primeira utiliza o sinal obtido em Blocks - Signal Producer – Sinusoid, sendo seus parâmetros o “Time
Delay”, “Frequency” e “Amplitude”, cujos valores “default:são, respectivamente, 0 s, 1 rad/s e 1. A fig. 13
ilustra uma senóide atrasada 1 s, freqüência 2 rad/s e amplitude 5:
Fig. 12
Funções de Teste. Simulção no VisSim 8
Uma segunda maneira utiliza o sinal obtido em Blocks – Transcendental – sin. Nesse caso, não temos
parâmetros, e devemos fornecer um sinal de entrada em radianos. É aí que a função rampa desempenha
um papel importantíssimo, pois ela representa esse sinal de entrada: basta “setar” uma rampa com um
“slope” igual à freqüência ω em rad/s e teremos o sinal ωt que será, então, injetado no seno. Na saída
desse último obteremos o sinal senωt. Se quisermos uma senóide com uma amplitude diferente de 1,
teremos que multiplicá-lo por uma constante com o valor da amplitude, conforme mostra a fig. 14, onde
temos a representação do sinal 8 sen 1,5t:
7 EXPONENCIAL DECRESCENTE
A função exponencial decrescente também é muito útil na obtenção de certos sinais. Por exemplo, uma
rajada de vento ou uma explosão podem ser representadas por uma combinação de duas exponenciais,
conforme veremos em seguida. Ela é definida como
Plot
Time (sec)
0 2 4 6 8 10
-6
-4
-2
0
2
4
6
Fig. 13
Plot
Time (sec)
0 2 4 6 8 10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
sin
*
8
Fig. 14
Funções de Teste. Simulção no VisSim 9
(18) f(t) = Fe-at
onde F é amplitude e a é o expoente da função exponencial.
Transformada de Laplace:
(19) 
as
1F)s(F +=
Simulação no VisSim
O VisSim dispõe dessa função, obtida em Blocks – Transcendental – exp. De modo análogo à segunda
maneira de obter uma senóide, também aqui temos que recorrer a uma rampa e a uma constante para
representar o sinal. A fig. 15 mostra a função f(t) = 7 e-1,5t.
Como exemplo de combinação de duas exponenciais, a fig. 16 ilustra uma rajada de vento obtida pela
equação f(t) = 500(e-100t – e-1000t).
Plot
Time (sec)
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
6
7
*
7
exp
Fig. 15
exp
exp
+
-
500
*
Plot
Time (sec)
0 .02 .04 .06 .08 .1
0
100
200
300
400
500
600
Fig. 16
Funções de Teste. Simulção no VisSim 1
0
EXERCÍCIOS
1 Plotar a equação da reta x = 3t – 2.
2 Plotar a equação da parábola x = 2t2 + 1.
3 Plotar a equação da função harmônica x = 3sen2t + 5sen3t.
4 Plotar a equação da função harmônica x = 2sen3t + 5cos2t.
5 Plotar a função dada graficamente por