Aula 14 - Análise de Resposta Temporária de Sistemas de Primeira Ordem

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Análise da Resposta no Tempo de Sistemas de 1a Ordem. Soluções Analítica e Numérica 1
1 INTRODUÇÃO
Até agora, apresentamos métodos para formular o modelo matemático de vários tipos de
sistemas físicos importantes em engenharia. Também já estudamos os sinais de teste mais
utilizados na análise. Nesta apostila, mostraremos a maneira clássica para encontrar a resposta
de um sistema de primeira ordem, ou seja, a resposta de um sistema cujo modelo matemático é
descrito por uma EDOL de primeira ordem, quando submetido a uma condição inicial ou a um sinal
de teste conhecido. Paralelamente, ilustraremos a solução numérica correspondente que pode ser
obtida no VisSim.
Os sistemas mecânicos de 1a ordem são raros, porque implicam na inexistência de massas. Eles
têm, entretanto, um certo interesse matemático, pois sistemas mais complexos podem ser
formulados em termos de sistemas de 1a ordem. Já vários sistemas elétricos, hidráulicos,
pneumáticos e térmicos podem ser modelados por EDOL’s de primeira ordem.
2 RESPOSTA LIVRE DE SISTEMAS DE 1a ORDEM
A resposta livre (ou natural) de um sistema é definida como a resposta que o mesmo apresenta
quando solicitado apenas por uma condição inicial imposta ao sistema. No caso de um sistema
mecânico de 1a ordem, por exemplo, a condição inicial seria um deslocamento inicial x(o) = x0.
Consideremos, inicialmente, o modelo matemático de um sistema mecânico de 1a ordem, conforme
foi estudado anteriormente:
(1) )t(f)t(kx)t(xc
. =+
Como agora não há excitação, f(t) = 0. Além disso, vamos definir a constante de tempo do
sistema como
(2) 
k
c=τ
a qual é um parâmetro do sistema, cuja unidade SI é s. Divi ndo
em conta a eq. (2), obtemos:
(3) )t(f
c
1)t(x1)t(x
. =τ+
Para encontrar a resposta livre do sistema, devemos resol 0.
Usando o método da Transformada de Laplace:
 14 Análise da Resposta no Tempo de
Sistemas de 1a Ordem
Soluções Analítica e Numérica
dindo toda a eq. (1) por c, e leva
ver a eq. (3) considerando f(t) =
Análise da Resposta no Tempo de Sistemas de 1a Ordem. Soluções Analítica e Numérica 2
0)s(X1)0(x)s(sX =τ+−
 
τ+
= 1s
1x)s(X 0
Voltando ao domínio do tempo, chegamos à resposta livre do sistema de 1a ordem:
(4) x(t) = x0 e-t/τ
cujo gráfico é ilustrado pela fig. 1, para alguns valores de τ:
Examinando a fig. 1, vemos que a constante de tempo τ é uma medida da capacidade de reação do
sistema a um deslocamento inicial, ou seja, quanto maior a constante de tempo, mais lentamente
reage o sistema à condição inicial imposta. Isso é facilmente compreensível, do ponto de vista
físico, se levarmos em conta que, de acordo com a eq. (2), o amortecedor c é mais “forte” do que
a mola k.
Obs.: embora tenhamos utilizado acima um sistema mecânico de primeira ordem, existem vários
outros sistemas físicos de natureza diferente que são modelados pela mesma EDOL (3), a menos,
é claro dos símbolos utilizados. São os chamados sistemas análogos, os quais apresentam
comportamentos totalmente semelhantes.
Estabilidade
Se x(t) tende a zero à medida que t → ∞, dizemos que o sistema de 1a ordem é estável. Se, ao
contrário, x(t) cresce sem limite quando t → ∞, o sistema é dito instável. Finalmente, se x(t)
permanece igual a um valor constante x0 quando t → ∞, o sistema é chamado marginalmente
estável. As figs. 2 (a), (b) e (c), respectivamente, ilustram esses três casos.
Fig. 1
Fig. 2
Análise da Resposta no Tempo de Sistemas de 1a Ordem. Soluções Analítica e Numérica 3
Simulação no VisSim
Para resolver numericamente no VisSim uma EDOL de primeira ordem, inicialmente isolamos a
derivada de ordem mais alta do modelo matemático (eq. (3), para f(t) = 0):
(5) )t(x1)t(x
.
τ−=
Após, montamos o diagrama VisSim para a eq. (5) e executamos a simulação, conforme ilustra a
fig. 3:
Observemos que há necessidade de introduzir a condição inicial x0 = 5 m (no exemplo) no interior
do bloco de integração 1/S.
3 RESPOSTA FORÇADA DE SISTEMAS DE 1a ORDEM
Definimos como resposta forçada aquela que o sistema apresenta quando submetido a uma
excitação que permanece após o instante inicial t = 0.
Vamos, aqui, utilizar várias funções de teste já apresentadas na Apostila 13.
Resposta ao degrau
Consideremos o sistema térmico da fig. 4, constituído de um termômetro de mercúrio que se
encontra inicialmente à temperatura ambiente 
_Θ 0C e de um recipiente com água à temperatura
_Θ + θb 0C. No instante t = 0 o termômetro é imerso na água e a temperatura do termômetro
cresce, sendo o seu valor instantâneo 
_Θ + θ 0C. Achar a resposta θ(t) considerando que θb se
mantém constante.
Solução
Trata-se de um sistema de 1a ordem submetido a uma excitação em degrau, no caso θb =
constante.
Fig. 3
10 20c k c
/
l
r
k
tau
1/S
tau
dx/dt x
-X
Plot
Time (sec)
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
/
l
r
Análise da Resposta no Tempo de Sistemas de 1a Ordem. Soluções Analítica e Numérica 4
O modelo matemático é dado pela EDOL
(6) bdt
dRC θ=θ+θ
onde C é a capacitância térmica do termômetro e R é a sua resistência térmica. Definindo a
constante de tempo
(7) RC=τ
e substituindo na eq. (6):
(8) b
11
dt
d θτ=θτ+
θ
que é a mesma eq. (3), a menos dos símbolos usados. Portanto, a simulação a seguir também tem o
mesmo aspecto que teria a do sistema mecânico considerado anteriormente, se o mesmo fosse
submetido a uma excitação em degrau.
Para encontrar a resposta forçada do sistema, tomamos as transformadas de Laplace da eq. (8):
 bb s
11)s(1)s(1)0()s(s θτ=Θτ=Θτ+θ−Θ
Como θ(0) = 0, bb 1s
1
s
1
s
1
1s
11)s( θ








τ+
−=θ
τ+
τ=Θ
Voltando ao domínio do tempo:
(9) b
t
e1)t( θ


 −=θ τ−
O gráfico da eq. (9) é mostrado na fig. 5, a qual sugere várias observações importantes:
Fig. 4
Fig. 5
Análise da Resposta no Tempo de Sistemas de 1a Ordem. Soluções Analítica e Numérica 5
(a) θ(t) inicia em zero e tende para θb quando t → ∞;
(b) Quando t = constante de tempo = τ, a resposta alcança 63,2% do valor final θb;
(c) A inclinação da tangente à curva no instante t = 0 é θb/τ;
(d) Nos instantes t = τ, 2τ, 3τ, 4τ e 5τ, a resposta alcança, respectivamente, 63,2%, 86,5%, 95%,
98,2% e 99,3% do valor final θb; portanto, embora teoricamente o valor final só seja
alcançado quando t → ∞ (conforme obs. (a)), na prática é comum aceitar-se que o valor final é
obtido após 4τ (quatro constantes de tempo), com um erro menor do que 2% do valor final.
Simulação no VisSim
Inicialmente, isolamos a derivada de ordem mais alta do modelo matemático (eq. (8)):
 )(1
dt
d
b θ−θτ=
θ
O diagrama VisSim, em relação ao da resposta livre, deve agora ser acrescido da entrada em
degrau θb, conforme mostra a fig. 6, onde foram utilizadas a entrada θb = 80 0C, a resistência
térmica R = 1,5 0C/kcal/s e a capacitância térmica C = 2,8 kcal/0C:
Resposta à rampa
Consideremos, ainda, o mesmo sistema térmico da fig. 4. Agora, entretanto, a temperatura da
água não se mantém constante, mas cresce linearmente com o tempo a uma taxa de r 0C/s, ou
seja, θb = rt. Desejamos encontrar a resposta θ(t) à rampa.
Retornemos à eq. (8), modelo matemático do sistema:
(8) b
11
dt
d θτ=θτ+
θ
onde, agora,
(10)θb = rt
Logo, rt11
dt
d
τ=θτ+
θ
Passando a transformada de Laplace na equação acima, considerando θ(0) = 0:
Fig. 6
1.5 20R 2.8 R
C
tau
1/S
tau
dteta/dt teta
Plot
Time (sec)
0 2 4 6 8 10
0
20
40
60
80
/
l
r
*
+
-
/
l
r
tau
Análise da Resposta no Tempo de Sistemas de 1a Ordem. Soluções Analítica e Numérica 6
 2s
1r1)s(1)s(s τ=Θτ+Θ
 


+τ
τ+τ−=
τ+
τ=Θ 1sss
1r
s
1
1s
1r1)s( 22
Voltando ao domínio do tempo:
(11) 


 τ+τ−=θ τ−
t
etr)t(
A fig. 7 mostra a entrada rt e a resposta θ(t) correspondente:
Observando a fig. 7
configurando-se um
Simulação no Vi
Podemos aproveitar
usada a inclinação r
Fi
Fig. 8
, concluímos que a resposta jamais atingirá a entrada, mesmo quando t → ∞,
 erro permanente rτ.
sSim
 os mesmos dados do sistema térmico, mudando apenas a entrada(na qual foi
 = 1), conforme ilustra a fig. 8:
g. 7
1.5 20R 2.8 R
C
tau
1/S
tau
dteta/dt teta
Plot
Time (sec)
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
/
l
r
*
+
-
/
l
r
tau
Análise da Resposta no Tempo de Sistemas de 1a Ordem. Soluções Analítica e Numérica 7
Resposta à excitação harmônica
Vamos considerar novamente o sistema de mecânico de 1a ordem cujo modelo matemático é dado
pela EDOL de 1a ordem (eq. (3)), aqui repetida
(3) )t(f
c
1)t(x1)t(x
. =τ+
onde, agora, consideraremos a excitação f(t) como sendo harmônica, ou seja, dada por
(12) f(t) = f0 senωt = tsenAktsenkk
f0 ω=ω
onde ω é a freqüência com que a excitação é aplicada e f0 é o valor máximo (amplitude) da
excitação. Na eq. (12), A = f0/k é uma constante real tendo unidades de deslocamento e k é a
constante de mola do sistema. Poderíamos, também, ter usado f(t) = f0 cosωt no lugar de f(t) = f0
senωt.
Levando a eq. (12) na eq. (3):
(13) tsenAk
c
1)t(x1)t(x
. ω=τ+
Podemos achar a resposta total (transiente + permanente) do sistema usando o método da
Transformada de Laplace. Aplicando o método à eq. (13):
 22s
A)s(X)1s( ω+
ω
τ=τ+
donde obtemos
(14) 
τ+
ω+
ω
τ= 1s
1
s
A)s(X 22
Expandindo o membro da direita em frações parciais e tomando as transformadas inversas,
chegamos, após algumas manipulações algébricas, à resposta total do sistema:
(15) τ
−
ωτ+
ωτ+ωτ+ωω−ωτ+
τ=
t
22 e)(1
A)tsen1tcos(
)(1
A)t(x
Em sistemas excitados harmonicamente, a resposta transiente logo desaparece, de modo que nos
interessaremos apenas pela resposta permanente. Na eq. (15) podemos identificar a resposta
transiente (o último termo, com a exponencial decrescente) e a resposta permanente, xss(t), dada
por
(16) )tsen1tcos(
)(1
A)t(x 2ss ωτ+ωω−ωτ+
τ=
Análise da Resposta no Tempo de Sistemas de 1a Ordem. Soluções Analítica e Numérica 8
Podemos expressar a eq. (16) de uma forma mais conveniente. Da Trigonometria:
 AcosBsenBcosAsen)BAsen( +=+
Associando A ← ωt e B ← φ: tcossencostsen)tsen( ωφ+φω=φ+ω
Multiplicando por X:
(17) tcossenXcostsenX)tsen(X ωφ+φω=φ+ω
Comparando as eqs. (16) e (17), podemos escrever
(18) xss(t) = X sen(ωt + φ)
desde que
(19) φ=ωτ+ cosX)(1
A
2
 (20) φ=ωτ+
τω− senX
)(1
A
2
onde X e φ são denominadas, respectivamente, de amplitude e ângulo de fase. A amplitude pode
ser obtida elevando ao quadrado as eq. (19) e (20):
 ( )2
2
2 cosX)(1
A φ=



ωτ+
 ( )2
2
2 senX)(1
A φ=



ωτ+
τω−
e somando e extraindo a raiz quadrada:
 ( )[ ] 2
2
22
222
2
2
2 )(1
)(1A
)(1
AA
)(1
A
)(1
AX ωτ+
ωτ+=
ωτ+
+τω=



ωτ++



ωτ+
τω−=
(21) 
2
0
2 )(1
k
f
)(1
AX
ωτ+
=
ωτ+
=
Já o ângulo de fase pode ser obtido dividindo a eq. (20) pela eq. (19):
(22) )(arctg ωτ−=φ
As eqs. (16) 0u (18) nos fornecem a resposta forçada no tempo. Podemos ver facilmente que se
trata também de uma função harmônica, com a mesma freqüência ω da excitação, porém atrasada
de um ângulo de fase φ em relação a ela (pois o ângulo de fase é negativo).
Análise da Resposta no Tempo de Sistemas de 1a Ordem. Soluções Analítica e Numérica 9
A fig. 9 abaixo tabula sistemas análogos regidos pela mesma EDOL de primeira ordem, logo os
seus comportamentos são essencialmente semelhantes quando submetidos às mesmas excitações.
Fig. 9
Análise da Resposta no Tempo de Sistemas de 1a Ordem. Soluções Analítica e Numérica 10
EXERCÍCIOS
1 O circuito RC série da figura encontra-se inicialmente em repouso quando a chave S é
fechada no instante t = 0. Pedem-se:
(a) deduzir o modelo matemático (EDOL);
(b) corrente i(t), usando o método da Transformada de Laplace para resolver a EDOL;
(c) resolver numericamente a EDOL no VisSim para os seguintes valores:
 E = 12 v; R = 2 Ω; C = 0,2 F
Resp.: (a) ∫ =+ EidtC
1Ri
(b) RC
t
e
R
E)t(i
−=
2 Um sistema dinâmico é modelado pela EDOL t2cos3y2
dt
dy =+ . Determinar:
(a) constante de tempo;
(b) amplitude;
(c) ângulo de fase;
(d) resposta permanente.
3 Com referência ao Exercício 2, plotar no VisSim a equação da resposta permanente
encontrada no item (d). Ainda no VisSim, resolver numericamente a EDOL. Deu o mesmo
resultado?
4 Um sistema hidráulico de nível de líquido é modelado pela EDOL )t(qhh2 i
. =+ , onde h(t) é
a altura do nível de líquido e qi(t) é a excitação dada por uma rampa unitária. No instante
t = 0, a altura do nível de líquido é de 1 m. Usando o método da transformada de Laplace,
achar a resposta no tempo.
Resp.: 2
t
e3t2)t(h −++−=