Aula 15 - Análise de Resposta Livre do Sistema de Ordem 2

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Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem 1
1 INTRODUÇÃO
Estudaremos, agora, a resposta livre de sistemas dinâmicos de 2a ordem. Serão apresentados,
também, alguns novos parâmetros desse tipo de sistema. A resposta livre será classificada, em função
de um desses parâmetros, em quatro casos, sendo que em dois deles existe oscilação (vibração) e nos
outros dois a resposta livre não é oscilatória.
2 FREQÜÊNCIA NATURAL. PERÍODO NATURAL. COEFICIENTE DE
 AMORTECIMENTO. FATOR DE AMORTECIMENTO
Vamos apresentar o assunto através de um sistema mecânico de 2a ordem, cujo modelo matemático é
dado pela EDOL
(1) )t(f)t(kx)t(xc)t(xm
... =++
Os resultados obtidos se aplicam aos demais sistemas dinâmicos de 2a ordem, sejam eles elétricos,
eletromecânicos, etc.
No caso de resposta livre não existe excitação externa durante o movimento, de maneira que f(t) = 0.
O movimento é, então, causado pelas condições iniciais x(o) = x0 (deslocamento inicial) e/ou 0
..
x)0(x =
(velocidade inicial). Logo, a EDOL passa a ser
(2) 0)t(kx)t(xc)t(xm
... =++
Dividindo a eq. (2) por m:
(3) 0)t(x
m
k)t(x
m
c)t(x
... =++
Vamos definir, agora, alguns novos parâmetros do sistema:
Freqüência Natural
A freqüência natural é definida por
(4) k
onde a unidade SI é o rad/s. Not a eq. (3).
A ωn, expressa em rad/s, rece
 15 Análise da Resposta Livre de
Sistemas Dinâmicos de 2a Ordem
 
mn
=ω
emos que k/m é o coeficiente da variável dependente, x(t), d
be o nome de freqüência angular natural ou freqüência circular
Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem 2
natural. No caso de se expressar esse parâmetro em Hz, basta dividir ωn por 2π, passando a ser
chamado, simplesmente, de freqüência natural:
(5) 
m
k
2
1fn π=
Fisicamente, a freqüência natural dada pela eq. (5) corresponde à quantidade de ciclos por segundo
que o sistema apresenta quando em vibração livre.
Período Natural
É definido como o inverso da freqüência natural, sendo a sua unidade SI o s:
(6) 
k
m2
f
1
n
n π==τ
Conforme foi estudado na Apostila 5, quando o grau de liberdade x(t) do sistema mecânico está na
vertical, existe a relação de equilíbrio estático mg = kδest. Logo, para esse caso, é fácil mostrar que os
parâmetros acima podem ser expressos, respectivamente, por
(7) 
est
n
g
δ=ω
(8) 
est
n
g
2
1f δπ=
(9) 
g
2 estn
δπ=τ
onde g é a aceleração da gravidade, em m/s2 e δest é o deslocamento estático, definido anteriormente.
Coeficiente de Amortecimento Crítico
Trata-se de um parâmetro fictício. Todo sistema possui um coeficiente de amortecimento real, c, e
um coeficiente de amortecimento crítico, ccr, definido como
(10) ccr = 2mωn = 2 km
O significado físico de ccr será melhor entendido mais adiante.
Fator de Amortecimento (ou Razão de Amortecimento ou Relação de Amortecimento)
É definido como a relação entre o coeficiente de amortecimento real, c, e o coeficiente de
amortecimento crítico, ccr:
(11) ζ = c/ccr
Podemos ver facilmente que o fator de amortecimento é adimensional. Levando em conta a eq. (10),
temos
Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem 3
(12) 
nm2
c
ω=ς
Na expressão do fator de amortecimento estão presentes os três elementos básicos do sistema
mecânico: m, c e k (esse último indiretamente, através da ωn – ver eq. (4)). Portanto, o fator de
amortecimento é representativo de todo o sistema.
3 RESPOSTA LIVRE DE UM SISTEMA MECÂNICO DE 2a ORDEM
Levando em conta as eqs. (4) e (12), a eq. (3) pode ser rescrita assim:
(13) 0)t(x)t(x2)t(x 2n
.
n
.. =ω+ςω+
Da Teoria das Equações Diferenciais, temos que a solução de uma EDOL de 2a ordem homogênea é
dada por
(14) tsts 21 BeAe)t(x +=
onde A e B são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais do problema e s1 e s2 são as
raízes da equação característica seguinte, associada à EDOL (13):
(15) s2 + 2ζωns + 02n =ω
As raízes s1 e s2 são dadas por
(16) s1,2 = (- ζ ± 12 −ς )ωn
Evidentemente, os valores das raízes s1 e s2 dependem do valor de ζ, podendo as mesmas assumir
valores reais ou complexos. Assim, de acordo com o valor de ζ, temos 4 casos:
I. ζ < 1, o que implica em duas raízes complexas e conjugadas
II. ζ = 1, o que implica em duas raízes reais e iguais
III. ζ > 1, o que implica em duas raízes reais e diferentes
IV. ζ = 0, o que implica em duas raízes imaginárias puras conjugadas
A fig. 1, abaixo, ilustra os 4 casos no plano complexo:
 
 Fig. 1
Estudaremos, a seguir, cada um dos 4 casos citados.
Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem 4
4 CASO I: ζ < 1 ⇒ MOVIMENTO SUBAMORTECIDO
Também conhecido como vibração livre com amortecimento viscoso, é o caso de maior interesse em
engenharia, devido à grande freqüência com que ocorre na prática. Um exemplo clássico é suspensão
independente de um automóvel, ilustrada na fig. 2:
 
 Fig. 2
Tomando as transformadas de Laplace da eq. (13) e levando em conta as condições iniciais, temos:
(17) 2
nn
2
0
.
0n
s2s
xx)2s()s(X ω+ζω+
+ζω+=
O denominador da eq. (17) pode ser expresso como
(18) 2nn2 s2s ω+ζω+ = (s + ζωn)2 + 2dω
onde
(19) 2nd 1 ζ−ω=ω
é a chamada freqüência angular natural amortecida, em rad/s. A partir dessa nova propriedade,
podemos também definir a freqüência natural amortecida, fd (em Hz) e o período natural
amortecido, τd, dados, respectivamente, por
(20) π
ζ−ω=π
ω=
2
1
2
f
2
nd
d
(21) 
2
nd
d
1
2
f
1
ζ−ω
π==τ
Expandindo a eq. (17) em frações parciais (utilizando a eq. (18)) e voltando ao domínio do tempo,
chegamos à expressão da resposta livre
(22) 



ωω
+ςω+ω= ςω− tsenxxtcosxe)t(x d
d
0
.
0n
d0
tn
composta pelo produto de uma função exponencial decrescente por uma função harmônica. A função
harmônica é claramente oscilatória (composição de senos e cossenos), ao passo que a exponencial
Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem 5
decrescente faz com que haja uma diminuição da amplitude da função harmônica à medida que o tempo
cresce. Trata-se, portanto, de um movimento oscilatório amortecido, logo, de uma vibração livre
amortecida. A representação gráfica da eq. (22) está mostrada na fig. 3 (onde aparece o “funil”
criado pela exponencial decrescente), para os seguintes dados:
ζ = 0,1
ωn = 5 rad/s
x0 = 0
m/s 2,0x0
. =
 
5 CASO II: ζ
Para obter a equação da
(23) 
composta pelo produto 
como ocorre no caso I. A
valores de velocidade in
 
Esse caso recebe o nom
entreo movimento su
 Fig. 3
 = 1 ⇒ MOVIMENTO COM AMORTECIMENTO CRÍTICO
 resposta livre para esse caso, basta fazer ζ = 1 na eq. (22):
 

 +ω+= ω− t)xx(xe)t(x 0.0n0tn
de uma exponencial decrescente por uma linha reta. Logo, não há oscilação,
 fig. 4 ilustra a eq. (23) para ζ = 1, ωn = 2 rad/s, posição inicial nula e alguns
icial.
 Fig. 4
e de movimento com amortecimento crítico exatamente pelo fato de se situar
bamortecido, que vimos há pouco, e o movimento superamortecido, que
Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem 6
estudaremos a seguir. Uma característica importante do movimento com amortecimento crítico é que,
além de não apresentar vibração, a volta ao repouso se dá em um tempo mínimo. Isso recomenda esse
tipo de movimento para certas aplicações, tais como nos manipuladores robóticos, onde é desejável
que o movimento de um ponto ao outro se dê sem vibração (por questões de precisão) e num tempo
mínimo (por questões de produtividade).
6 CASO III: ζ > 1 ⇒ MOVIMENTO SUPERAMORTECIDO
Nesse caso, podemos rescrever a equação geral (17):
(17) 2
nn
2
0
.
0n
s2s
xx)2s()s(X ω+ζω+
+ζω+=
e colocá-la na forma
(24) 
2
2
1
1
ss
c
ss
c)s(X −+−=
onde s1 e s2 são as raízes dadas pela eq. (16) e c1 e c2 são calculados aplicando as condições iniciais do
problema. A solução, por fim, é dada por
(25) ts2
ts
1
21 ecec)t(x +=
A fig. 5 representa o gráfico da eq. (25), para ζ = 1,4, ωn = 4 rad/s, posição inicial nula e alguns
valores de velocidade inicial.
Fig. 5
Esse tipo de movimento recebe o nome de movimento superamortecido e não constitui uma vibração,
assim como no caso do movimento com amortecimento crítico. A diferença entre esses dois tipos de
movimento está no tempo de retorno ao repouso: no caso do movimento com amortecimento crítico,
esse tempo é mínimo, enquanto que no caso superamortecido ele não o é. Um exemplo clássico de
movimento superamortecido é a porta equipada com um conjunto mola-amortecedor, quando
desejamos que a mesma, uma vez aberta, retorne à posição de fechamento sem oscilar, não havendo
necessidade que tal se dê em um tempo mínimo.
Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem 7
7 CASO IV: ζ = 0 ⇒ MOVIMENTO SEM AMORTECIMENTO
Embora não exista, na prática, um sistema totalmente desprovido de amortecimento, algumas vezes o
amortecimento é tão pequeno que podemos considerá-lo nulo. Nesse caso, o movimento é oscilatório,
sendo também chamado de vibração livre sem amortecimento, ou, também, movimento harmônico.
Exemplos clássicos são os sistemas pendulares, em que é desprezado o atrito na articulação e o atrito
com o ar.
Para obtermos a resposta livre, basta fazer ζ = 0 na eq. (22), chegando a
(26) tsenxtcosx)t(x n
n
0
.
n0 ωω+ω=
Um gráfico da eq. (26) está ilustrado na fig. 6:
 Fig. 6
8 DECREMENTO LOGARÍTMICO DA AMPLITUDE
Apresentaremos, agora, um novo parâmetro da vibração livre de um sistema mecânico com
amortecimento viscoso, o decremento logarítmico da amplitude, o qual, assim como o fator de
amortecimento, também fornece uma medida do amortecimento viscoso da vibração subamortecida.
Portanto, só se aplica ao caso em que ζ < 1. O decremento logarítmico da amplitude é muito usado em
associação com instrumentos de medida de vibração.
Definimos decremento logarítmico da amplitude, δ, por
(27) 
1n
n
X
Xln
+
=δ
onde Xn é a amplitude que ocorre no instante tn e Xn+1 é a amplitude que ocorre um ciclo após, ou seja,
no instante tn+1, conforme ilustra a fig. 7:
Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem 8
 Fig. 7
A curva da fig. 7 é o gráfico da equação da resposta livre de um sistema subamortecido, a qual,
conforme já vimos, é dada por:
(28) 



ωω
+ςω+ω= ςω− tsenxxtcosxe)t(x d
d
0
.
0n
d0
tn
Tendo em vista que a função harmônica entre colchetes não contribui para o amortecimento (por ser
harmônica), podemos aplicar a eq. (27) para os instantes tn e tn+1, considerando apenas a parte
exponencial decrescente da eq.(28):
 
1nn
nn
t
t
e
eln
+ςω−
ςω−
=δ
Como tn+1 = tn + τd, então
 dn
dnnn
nn
eln
ee
eln t
t τςω
τςω−ςω−
ςω−
==δ , logo
(29) δ = ζωnτd
Por outro lado, sabemos que τd = 2π/ωd = 2n 1/2 ς−ωπ
Levando na eq. (29), obtemos
(30) 
21
2
ς−
πς=δ
Obs.: não é difícil mostrar que o decremento logarítmico da amplitude também pode ser dado por
(31) 
n
0
X
Xln
n
1=δ
onde X0 é a amplitude no início do 1o ciclo e
Xn é amplitude do início do n-ésimo ciclo (ver fig. 7).
Valores típicos de δ para amortecedores de automóveis variam de δ = 4 (novo) a δ = 2 (usado).
Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem 9
EXERCÍCIOS
1 Considere o movimento oscilatório amortecido, mostrado na figura e os seguintes dados:
 ζ = 0,1 ωn = 5 rad/s
 Determinar:
(a) freqüência natural, em Hz;
(b) período natural, em s;
(c) freqüência angular natural amortecida, em rad/s;
(d) freqüência natural amortecida, em Hz;
(e) período natural amortecido, em s;
Resp.: (a) 0,7958 Hz (b) 1,257 s (c) 4,97494 rad/s (c) 0,7918 Hz (e) 1,263 s
2 O sistema da figura tem os seguintes parâmetros: m = 100kg;
 c = 50 N.s/m;
 k = 1200 N/m;
L = 1 m.
Achar:
(a) Rigidez equivalente, em N/m;
(b) Freqüência natural, em Hz;
(c) Fator de amortecimento;
(d) Tipo de resposta livre;
(e) Modelo matemático (equação diferencial);
(f) Equação da resposta livre, sendo as condições iniciais dada por um deslocamento angular
inicial θ(0) = 0,15 rad e velocidade inicial nula.
3 Um Engenheiro, num primeiro cálculo aproximado, deseja estimar a rigidez de cada mola e o
coeficiente de amortecimento de cada amortecedor a serem utilizados em uma suspensão
independente de um automóvel, composta de 4 molas e 4 amortecedores. Como hipóteses
simplificadoras, ele admite que:
- a massa do carro, estimada em 1500 kg, distribui-se igualmente pelas 4 rodas;
- o movimento da carroceria se dá apenas na vertical (translação);
- a freqüência natural, por questões de conforto, deve ficar em torno de 1,5 Hz;
- a carroceria, quando deslocada da posição de equilíbrio estático, deve voltar à mesma sem
oscilar e num tempo mínimo.
Nessas condições, pedem-se:
(a) rigidez de cada mola, em N/m;
(b) coeficiente de amortecimento de cada amortecedor, em N.s/m.
Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem 10
4 A figura mostra a suspensão dianteira independente de um automóvel de massa total 1420 kg.
As molas têm, cada uma, rigidez de 50 kN/m. Desprezando o amortecimento, calcular a
freqüência natural das oscilações verticais, em Hz. Considerar que o peso do carro se distribui
igualmente pelas 4 rodas.
 
 Resp.: 1,133 Hz
5 Uma massa de 25 kg está suspensa por uma mola de rigidez 2 N/mm, a qual, por sua vez, está
suspensa na extremidade de uma viga de aço (E = 2.105 N/mm2) em balanço, de comprimento 250
mm, largura 20 mm e espessura 3 mm. Determinar a freqüência natural do sistema.
 
Resp.: 0,97 Hz
6 Mostrar que o decremento logarítmico da amplitude também pode ser dada por
n
o
X
Xln
n
1=δ , onde X0 é a amplitude no início do primeirociclo e Xn é a amplitude no início do n-
ésimo ciclo.
Solução
Xn
Xln
n
1neln
Xn
Xln
e)e(
Xn
X...
X
X
X
X
X
X
Xn
X
0n0
nn1n
3
2
2
1
1
00
=δ⇒δ==
===
δ
δδ−
Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem 11
7 Um peso P, atuando estaticamente no centro de uma viga bi-apoiada, produz uma deformação
de 2 mm na mesma. Vibrando em conjunto com um amortecedor, verifica-se que a amplitude no
início do décimo ciclo é metade da amplitude do início do primeiro ciclo. Determinar:
(a) Decremento logarítmico da amplitude;
(b) Fator de amortecimento;
(c) Período da vibração amortecida.
Resp. (a) 0,0693; (b) 0,011; (c) 0,09 s.
8 Para um fator de amortecimento 0,2, qual é a diferença percentual entre as freqüências
naturais com e sem amortecimento?
Resp.: 2%
9 Qual a razão entre duas amplitudes consecutivas quaisquer quando o fator de amortecimento
vale 0,5?
Resp.: 37,5:1
10 Dada a figura com o registro da resposta livre de um sistema mecânico, determinar:
(a) Decremento logarítmico da amplitude;
(b) Fator de amortecimento.
Resp.: (a) 0,09 (b) 0,014
Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem 12
11 Um dispositivo possui um fator de amortecimento viscoso ajustável. Inicialmente, ele
está regulado de tal modo que a razão entre duas amplitudes consecutivas quaisquer é de
10:1. Se o fator de amortecimento do dispositivo for dobrado, qual será a razão entre duas
amplitudes consecutivas quaisquer?
Resp.: 387,5
12 Um dispositivo de teste consiste de um cilindro pneumático cujo pistão acelera um corpo até o
mesmo atingir uma velocidade de 30m/s (pistão e corpo possuem, em conjunto, massa total 5
kg). Nesse instante, o conjunto é desacelerado, ao se engajar com uma mola (rigidez 50000
N/m) e um amortecedor viscoso (coeficiente de amortecimento 1000 Ns/m). Determinar o
máximo deslocamento experimentado pelo conjunto e o tempo que leva o conjunto para atingir
esse deslocamento.
Resp.: 0,11 m; 0,01 s