Aula 16 - Resposta do Sistema Excitado Harmônico

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Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 1
1 INTRODUÇÃO
Estudamos, até agora (Apostilas 14 e 15), a resposta livre no tempo de sistemas dinâmicos de 1a e 2a
ordens, assim como a resposta forçada no tempo de sistemas de 1a ordem. Analisaremos, a seguir, como
se comportam esses dois tipos de sistemas quando a excitação é descrita por uma função harmônica, isto
é, por uma composição de senos e de cossenos. Também veremos que, nesse caso, o comportamento
desses sistemas é melhor descrito em função da freqüência da excitação e não em função do tempo. Tal
tipo de resposta recebe o nome de Resposta em Freqüência, a qual é especialmente adequada quando a
excitação é periódica (harmônica ou não). Quando a função de excitação não é periódica, a Resposta no
Tempo é a mais utilizada.
2 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 1a ORDEM À EXCITAÇÃO HARMÔNICA
Vamos considerar novamente o sistema de mecânico de 1a ordem cujo modelo matemático é dado pela
EDOL de 1a ordem
(1) )t(f)t(kx)t(xc
. =+
onde, agora, consideraremos a excitação f(t) como sendo harmônica, ou seja, dada por
(2) f(t) = f0 senωt = tsenAktsenkk
f0 ω=ω
onde ω é a freqüência com que a excitação é aplicada e f0 é o valor máximo (amplitude) da excitação. Na
eq. (2), A = f0/k é uma constante real tendo unidades de deslocamento e k é a constante de mola do
sistema. Poderíamos, também, ter usado f(t) = f0 cosωt no lugar de f(t) = f0 senωt.
Conforme já estudamos na Apostila 14, a resposta total (transiente + permanente) é dada por
(3) )t(x
 16
Análise da Resposta de Sistemas à
Excitação Harmônica.
Resposta em Freqüência
τ−
ωτ+
ωτ+ωτ+ωω−ωτ+
τ=
t
22 e)(1
A)tsen1tcos(
)(1
A
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 2
onde
(4) 
k
c=τ
é a chamada constante de tempo do sistema. Também vimos que, em sistemas excitados harmonicamente,
a resposta transiente logo desaparece, de modo que nos interessamos apenas pela resposta permanente
que, na eq. (3) é identificada por
(5) )tsen1tcos(
)(1
A)t(x 2ss ωτ+ωω−ωτ+
τ=
a qual pode também ser representada por
(6) xss(t) = X sen(ωt + φ)
onde X e φ são denominadas, respectivamente, de amplitude e ângulo de fase, dados por:
(7) 
2
0
2 )(1
k
f
)(1
AX
ωτ+
=
ωτ+
=
(8) )(arctg ωτ−=φ
As eqs. (5) ou (6) nos fornecem a Resposta Permanente no Tempo. Podemos ver facilmente que se trata
também de uma função harmônica, com a mesma freqüência ω da excitação, porém atrasada de um ângulo
de fase φ em relação a ela (pois o ângulo de fase é negativo). Resumindo, para obter a resposta
permanente no tempo, conhecidos o sistema (k e c, logo τ) e a excitação harmônica de amplitude f0 e
freqüência ω, basta calcular X e φ usando as eqs. (7) e (8), respectivamente, e substituí-los na eq. (6).
As eqs. (7) e (8) constituem a chamada Resposta em Freqüência. Particularmente, a eq. (7) denomina-se
resposta em freqüência da amplitude, enquanto que a eq. (8) chama-se resposta em freqüência do ângulo
de fase.
Para estudarmos a resposta em freqüência de um sistema de 1a ordem vamos, inicialmente, definir a
função de transferência senoidal de um sistema como sendo a sua função de transferência quando nela
substituímos a variável complexa s pelo imaginário puro iω. Assim, se G(s) é a função de transferência
definida por
(9) nulas.I.C)s(F
)s(X)s(G =
então a função de transferência senoidal é
(10) nulas.I.C)i(F
)i(X)i(G ω
ω=ω
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 3
Considerando o mesmo sistema mola-amortecedor de 1a ordem, vamos calcular a sua função de
transferência senoidal. Primeiramente, obtemos a função de transferência normal a partir da eq. (1):
 csX(s) + kX(s) = F(s)
donde
 G(s) = 
kcs
1
)s(F
)s(X
+=
Substituindo s por iω:
(11) 
kci
1)i(G +ω=ω
Vamos colocar G(iω) na forma complexa retangular. Para eliminar i no denominador, multiplicamos o
numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
 
kci
kci
kci
1
kci
1)i(G +ω−
+ω−
+ω=+ω=ω
A seguir, executamos as operações e separamos as partes real e imaginária de G(iω):
 222222222 ck
ci
ck
k
ck
kci)i(G ω+
ω−ω+=ω+
+ω−=ω
Levando em consideração que τ = c/k, podemos substituir k por c/τ na expressão acima e obter
(12) 
])1[(c
i
])1[(c
1
cc)1(
i
cc)1(
1
c)c(
ci
c)c(
c
)i(G
22222222222222 ω+τ
ω−
ω+τ
τ=
ω+τ
ω−
ω+τ
τ=
ω+τ
ω−
ω+τ
τ=ω
Em seguida, vamos calcular o módulo da função de transferência senoidal, |G(iω)|, é dado por:
 2)i(G
2
)i(G )(Im)(Re)i(G ωω +=ω
Retirando as componentes real e imaginária da eq. (12), obtemos, após manipulações algébricas:
(13) 
22)1(c
1)i(G
ω+τ
=ω
Multiplicando ambos os lados da eq. (13) por f0 = Ak e levando em conta novamente que k = c/τ:
(14) 
22222
0
)(1
A
)1(c
cA
)1(c
Ak)i(Gf
ωτ+
=
ω+τ
τ=
ω+τ
=ω
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 4
Comparando a eq. (14) com a eq. (7), vemos que
(15) )i(Gf)(X 0 ω=ω
Levando o valor de X(ω) da eq. (15) na eq. (6), temos:
(16) xss(t) = f0 |G(iω)| sen(ωt + φ)
Examinando a eq. (16), concluímos que, quando um sistema de 1a ordem é submetido a um forçamento
harmônico de amplitude f0 e freqüência ω, a sua resposta permanente será também harmônica e de
mesma freqüência ω, porém com amplitude dada pelo produto da amplitude do forçamento f0 pelo
módulo da função de transferência senoidal do sistema, |G(iω)|, dada pela eq. (13). Além disso, a
resposta estará atrasada, em relação ao forçamento, de um ângulo de fase φ, dado pela eq. (8).
Essa conclusão é válida para sistemas de quaisquer ordens, podendo, pois, ser estendida para os
importantes sistemas de 2a ordem, a serem estudados mais adiante.
É interessante observar que o ângulo de fase φ pode ser visualizado no plano complexo como sendo o
ângulo que G(iω) faz com o eixo real, conforme ilustra a fig. 1:
 
 Fig. 1
Logo, a partir da fig. 1 podemos também escrever
(17) 
)i(G
)i(G
Re
Im
arctg
ω
ω=φ
O conjunto das representações gráficas das eqs. (13) e (8) constituem as chamadas respostas em
freqüência do sistema, conforme ilustrações da fig. 2.
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 5
 Fig. 2
3 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2a ORDEM À EXCITAÇÃO HARMÔNICA
Vamos considerar agora o sistema mecânico de 2a ordem da fig. 3
 
 Fig. 3
cujo modelo matemático é dado pela EDOL de 2a ordem
(18) tsenf)t(fkxxcxm 0
... ω==++
Para o sistema de 2a ordem também se aplica a conclusão obtida anteriormente para o sistemade 1a
ordem, ou seja, a resposta permanente no tempo também é dada por
(19) xss(t) = f0 |G(iω)| sen(ωt + φ)
onde |G(iω)| é o módulo da função de transferência senoidal e φ é o ângulo de fase. Vamos, então,
simplesmente calcular |G(iω)| e φ para o presente caso.
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 6
Aplicando a transformação de Laplace à eq. (18):
(ms2 + cs + k)X(s) = F(s)
donde tiramos a função de transferência G(s) = X(s)/F(s):
(20) 
kcsms
1)s(G 2 ++=
Para achar a função de transferência senoidal, substituímos s por iω na eq. (20), obtendo
(21) ω+ω−=+ω+ω−=ω ic)mk(
1
kcim
1)i(G 22
Em seguida, vamos colocar G(iω) na forma complexa retangular. Para isso, vamos inicialmente eliminar i no
denominador, multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
 ω−ω−
ω−ω−
ω+ω−=ω ic)mk(
ic)mk(
ic)mk(
1)i(G 2
2
2
Em seguida, após executar as operações, separamos as partes real e imaginária:
 222222
2
)c()mk(
ci
)c()mk(
)mk()i(G ω+ω−
ω−ω+ω−
ω−=ω
Após, calculamos o módulo de G(iω), usando as partes real e imaginária obtidas na expressão acima:
 2)i(G
2
)i(G )(Im)(Re)i(G ωω +=ω
(22) 
222 )c()mk(
1)i(G
ω+ω−
=ω
O ângulo de fase, por sua vez, pode ser obtido a partir da expressão
(23) 
)i(G
)i(G
Re
Im
arctg
ω
ω=φ
Substituindo na eq. (23) as partes real e imaginária, temos
(24) )
mk
c(arctg 2ω−
ω−=φ
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 7
Portanto, levando |G(iω)| da eq. (22) e φ da eq. (24) na eq. (19), obtemos a resposta no tempo, onde a
amplitude é dada pelo produto
(25) X = f0 |G(iω)|
A resposta em freqüência de um sistema de 2a ordem é dada pelas eqs. (22) e (24), para a amplitude e o
ângulo de fase, respectivamente.
Obs.: a eq. (19) nos dá a resposta permanente no tempo. Assim, se plotarmos em 3D a eq. (19) para várias
freqüências de excitação ω, obteremos o gráfico da fig. 4(a). Já a eq. (25) nos dá as amplitudes da
resposta permanente em função da freqüência de excitação ω, conforme ilustra a fig. 4(b). Na realidade,
a fig. 4(b) nada mais é do que uma vista lateral da fig. 4(a) no plano Xω, na qual aparecem somente as
porções positivas das amplitudes X(ω).
(a) (b)
Fig. 4
Entretanto, é mais conveniente trabalhar com as formas adimensionais das eqs. (22) e (24). Para isso,
vamos inicialmente definir relação de freqüências como sendo a relação entre a freqüência do
forçamento e a freqüência angular natural do sistema:
(26) ν = ω/ωn
Vamos, também, definir fator de amplificação como sendo relação entre a amplitude da vibração, X, e o
d o
f
(
Atenção!
Ao calcular φ pela eq. (24) devemos ter o cuidado de verificar se existe coerência com o quadrante
trigonométrico dado pelas partes real e imaginária da G(iω).
eslocamento estático que teria o sistema se fosse submetido estaticamente à amplitude f0 d
orçamento:
27) XFA =
k
f0
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 8
Assim, levando em conta as eqs. (25), (26) e (27) e recordando que 
n
n m2
c e m
k
ω=ς=ω , podemos
demonstrar que
(28) 
2220 )2()1(
1
k
f
XFA
ςν+ν−
==
(29) )
1
2(arctg 2ν−
ςν−=φ
As representações gráficas das eqs. (28) e (29) constituem a resposta em freqüência de um sistema de
2a ordem e estão ilustradas nas figs. 5 e 6 para vários valores de ζ:
 Fig. 6
 Fig. 5
O exame da fig. 5, que é semelhante à fig. 4a, permite tirar algumas conclusões interessantes:
(1) Fatores de amortecimento mais fortes tendem a diminuir o fator de amplificação e, em conseqüência,
a amplitude da vibração, principalmente para ν < 3.
(2) Já para ν ≥ 3, quase nenhum proveito obtemos usando amortecedores mais fortes; isso é importante
do ponto de vista prático: de nada adianta usarmos fortes amortecimentos com o objetivo de reduzir
a amplitude da vibração quando o sistema operar com ν ≥ 3.
(3) Quando ν = 1 ocorre o chamado fenômeno da ressonância, no qual a freqüência da excitação iguala a
freqüência natural do sistema e grandes amplitudes se observam. Normalmente, é uma situação
indesejável, pois grandes amplitudes de vibração levam a altos níveis de tensão que podem conduzir ao
colapso do material. Contudo, existem casos em que desejamos que a vibração ocorra, como em
máquinas britadoras, vibradores, etc. Fazendo ν = 1 na eq. (28), obtemos o valor da amplitude na
ressonância:
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 9
(30) 
k2
fX 0ς=
 Já a substituição de ν = 1 na eq. (29) permite obter o valor do ângulo de fase na 
 ressonância:
(31) φ = 900
(4) Entretanto, podemos notar que os valores máximos de amplitude ocorrem um pouco à esquerda de ν =
1 e cada vez mais à esquerda à medida que cresce o valor de ζ. Isso pode ser facilmente demonstrado
usando a teoria dos máximos e mínimos, caso em que podemos provar que o valor máximo da
amplitude se encontra na abcissa
(32) 221 ς−=ν
Também é fácil verificar que, para ζ > 2/1 , a resposta não apresenta picos, sendo que o valor
máximo se encontra em ν = 0 (o qual caracteriza uma situação estática).
Já o exame da fig. 6, referente ao ângulo de fase, permite notar que todas as curvas passam pelo ponto
(1, -π/2). Para ν < 1, φ tende para zero, enquanto que para ν > 1 ele tende para -π.
Um caso particular importante é aquele em que o fator de amortecimento é praticamente nulo (sistema
sem amortecimento). Fazendo ζ = 0 nas eqs. (28) e (29), obtemos, respectivamente:
(33) 2
0 1
1
k
f
XFA ν−==
 
(34) φ = 0
O exame da eq. (33) revela que existe uma descontinuidade na ressonância. Já a eq. (34) informa que a
resposta do sistema está em fase com a excitação, respondendo instantaneamente.
Vamos agora examinar a resposta no tempo de um sistema sem amortecimento, na ressonância. Fazendo
c = 0 e ω = ωn no modelo matemático da eq. (18):
 tsenfkxxm n0
.. ω=+
Dividindo toda a equação por m:
 tsen
m
fxx n02n
.. ω=ω+
Aplicando a transformação de Laplace, chegamos a
 
22
n
2n
0
22
n
2
n0
)s(
1
m
f
)s(m
f)s(X ω+ω=ω+
ω=
Fazendo a transformação inversa, obtemos:
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 10
(35) )tcostt(sen
k2
f)t(x nnn0 ωω−ω=
cujo gráfico é mostrado na fig. 7:
 
 Fig. 7
Vemos que o deslocamento tende a crescer ad infinitum, o que levará fatalmente à falha do material.
4 DIAGRAMAS DE BODE
Vimos, nasfigs. 2, 5 e 6, que as abcissas e as ordenadas foram tomadas em escala linear. Entretanto, é
conveniente representar as respostas em freqüência do fator de amplificação e do ângulo de fase em
coordenadas logarítmicas. Tais representações gráfica são conhecidas como Diagramas de Bode. Uma
vantagem de usar o diagrama de Bode é que ele permite representar uma faixa bem maior da relação de
freqüências e, em conseqüência, da freqüência da excitação.
No diagrama de Bode referente ao fator de amplificação, a escala do eixo das abcissas é logarítmica,
enquanto que a escala do eixo das ordenadas é linear, com unidade dada em decibel (db) pela relação 20
log|FA|. Já no diagrama de Bode referente ao ângulo de fase, a escala do eixo das abcissas também é
logarítmica, enquanto que a escala do eixo das ordenadas é linear, com unidade dada em rad ou em graus.
Logo, a construção do diagrama de Bode é feita em papel semilog, usando-se a escala logarítmica para a
relação de freqüências ν e a escala linear para o fator de amplificação (em db) e para o ângulo de fase
(em rad ou em graus). Como ilustração, a fig. 8 mostra o diagrama de Bode para um sistema de 2a ordem:
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 11
 
 Fig. 8
EXERCÍCIOS
1 Para que valor de m o sistema da figura entrará em ressonância?
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 12
Solução
 
kg 120m
m
10x350 :aRessonânci
m
10x3
m
k
rad/s 50
N/m 10x310x)12(k
5
n
5eq
n
55
eq
=
=⇒=
==
=
=+=
ωω
ω
ω
2 A freqüência natural de uma máquina, quando colocada sobre 4 isoladores cujo amortecimento é
desprezível, é de 400 rpm. Funcionando a 1200 rpm, verifica-se que a amplitude da vibração é 0,5
mm. Qual será a amplitude da vibração se for adicionado amortecimento aos isoladores tal que ζ =
0,25?
Solução
 
3
400
1200
rpm 1200
rpm 400
n
n
==ω
ω=ν
=ω
=ω
 
mm4914,0m10x4914,0
)3x25,0x2()31(
10x4
)2()1(
k/fX
m10x4)3x0x2()31(10x5,0)2()1(Xk
f
)2()1(
1
k
f
XFA
3
222
3
222
0
322232220
2220
==
+−
=
ςν+ν−
=
=+−=ςν+ν−=
ςν+ν−
==
−−
−−
3 Uma máquina, de massa 45 kg, está colocado sobre a extremidade de uma viga em balanço,
conforme ilustra a figura. Quando em operação, a máquina
gera uma força harmônica de amplitude 125 N. Para que ve-
locidades de operação a amplitude da vibração será menor
do que 0,2 mm? Considerar ζ = 0,08.
Dados da viga: L = 1,6 m; E = 200 x 109 N/m2;
 I = 1,6 x 10-5 m4
Resp.: ω < 200,4 rad/s ou ω > 249,9 rad/s
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 13
4 Uma máquina de massa 110 kg está montada sobre uma fundação elástica de rigidez 2 x 106 N/m.
Quando operando a 150 rad/s, a máquina está sujeita a uma força harmônica de amplitude 1500 N.
Calcular o fator de amortecimento da fundação se a amplitude da vibração é 1,9 mm.
Resp.: ζ = 0,142
5 O modelo matemático para o sistema da figura é dado pela EDOL
tsen
r
Mkx5xcx
r
Im o
...
2 ω=++

 + . Calcular a amplitude da vibração da massa m.
Resp.: 5,24 mm
6 Um motor elétrico de massa desconhecida tem uma velocidade de operação de 1750 rpm. Quando
colocado sobre calços de borracha, estaticamente, estes defletiram 5 mm. Há risco de
ressonância? Justificar pelo cálculo.
7 Em um teste experimental de um sistema mecânico excitado harmonicamente observou-se que a
amplitude na ressonância era exatamente o dobro da amplitude para ω/ωn = 1,2. Calcular o fator
de amortecimento do sistema.
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 14
Solução
138,0
76,5194,0
2
1
2 :(a)/(b) Dividindo
(b) 
)2,1x2()2,11(
1
)2()1(
1
k
f
X:2,1
(a) 
2
1
k
f
X:ssonânciaRe
)2()1(
1
k
f
X
2
2222220
0
2220
=⇒
+
=
+−
=
+−
==
=
+−
=
ς
ς
ς
ςςνν
ν
ς
ςνν
8 Um torno mecânico de massa total 1000 kg será instalado sobre isoladores de vibração de rigidez
total 10000 N/m e coeficiente de amortecimento total de 1250 N.s/m. O torno possui as
seguintes velocidades de operação: 30, 100, 180, 240, 360 e 480 rpm. Admitindo que o sistema
tenha apenas um grau de liberdade na vertical, pedem-se, apresentando sempre uma justificativa:
(1) Tipo de movimento (superamortecido, crítico ou subamortecido);
(2) Há perigo de ocorrer ressonância durante a operação do torno? Por quê?;
(3) Admitindo que a resposta ao item (2) seja positiva, apresentar uma solução para resolver o
 problema.
9 Um sistema mecânico com um GDL apresenta: m = 1 kg, k = 400 N/m e c variável. Pedem-se:
(1) Freqüência natural do sistema, em Hz;
(2) Valor de c, em N.s/m, correspondente a um fator de amortecimento ζ = 0,25;
(3) Há perigo de ressonância se o sistema for solicitado por uma força senoidal, em N, dada por
 F(t) = 10 sen 20t? Justificar pelo cálculo.
Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência 15
10 A resposta em freqüência de uma estrutura espacial quando excitada harmonicamente é dada pela 
 figura. Estimar o fator de amortecimento do sistema.
Solução
1,0
5x2
1 :logo ,1k
f e mm 5X :figura Da
 
X2
k
f
 
k
f
X2
1 
2
1
k
f
X:onânciassRe
)2()1(
1
k
f
X
0
res
res
0
0
res0
res
2220
==ς==
==ς⇒ς=
ςν+ν−
=
11 A figura mostra a resposta em freqüência obtida através de medições feitas no solo vizinho a uma
turbina. Pede-se estimar:
 
(1) Freqüência de ressonância, em Hz;
(2) Fator de amortecimento.
12 Um motor elétrico de massa 35 kg opera a 60 Hz está montado sobre uma fundação elástica de
rigidez 3x106 N/m. A diferença de fase entre excitação e resposta permanente é de 210. Estimar
o fator de amortecimento do sistema.
Resp.: 0,0982