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Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 1 1 INTRODUÇÃO Muitas vezes, a excitação é uma função periódica, porém não harmônica. Por exemplo, um mecanismo biela-manivela, largamente utilizado em motores de combustão interna e em compressores alternativos, desenvolve torques que são periódicos (considerando constante a velocidade de rotação da árvore de manivelas), porém não harmônicos, conforme ilustra a fig. 1: Fig. 1 Qualquer função periódica f(t) que satisfaça às chamadas Condições de Dirichlet: • ter um número finito de descontinuidades em um período, • ter um número finito de máximos e mínimos em um período, • ter a integral ∫ τ 0 |)(| dttf finita (τ é o período da função), pode ser expandida em uma série trigonométrica infinita de senos e cossenos, cuja soma dos termos reproduz a função. Tal série denomina-se Série de Fourier. Os termos em senos e cossenos têm freqüências múltiplas da freqüência fundamental. Evidentemente, na prática, teremos que abandonar alguns termos, retendo apenas os mais importantes. Com isso, cometeremos um erro que será tanto menor quanto maior for a quantidade de termos retidos. A fig. 2 ilustra uma função periódica não harmônica e a sua expansão em séries de Fourier. Podemos observar que, quanto maior a quantidade de termos retidos, mais próxima da função original estará a expansão em série de Fourier. 18 Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 2 Fig. 2 Assim, dada uma excitação periódica não harmônica, podemos desenvolvê-la em série de Fourier e, para sistemas lineares, aplicar o Princípio da Superposição dos Efeitos, ou seja, podemos considerar cada um dos termos em senos e cossenos da série como sendo uma excitação harmônica isolada e, de acordo com o estudado até agora, calcular a resposta individual a cada uma dessas excitações isoladas. Finalmente, aplicando o citado Princípio, podemos somar as respostas individuais para obter a resposta total. 2 DESENVOLVIMENTO DA EXCITAÇÃO EM SÉRIE DE FOURIER Consideremos uma excitação periódica não harmônica, f(t), a qual pode representar uma força, um torque ou um deslocamento da base. A fig. 3 ilustra f(t), onde são mostrados 3 períodos τ: Fig. 3 Se f(t) satisfaz as condições de Dirichlet, então ela pode ser expandida na série de Fourier Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 3 (1) )tnsenBtncosA( 2 A)t(f n 1n n 0 ωω ++= ∑ ∞ = onde o termo A0/2 é o termo médio da função periódica f(t). A freqüência ω é denominada freqüência fundamental ou 1a harmônica, 2ω é a 2a harmônica, 3ω é a 3a harmônica, etc. Na série descrita pela eq. (1), An e Bn são os coeficientes de Fourier, dados por (2) ∫ τ τ− ω τ = 2/ 2/n tdtncos)t(f2A n = 0, 1, 2, ... (3) ∫ τ τ− ω τ = 2/ 2/n tdtnsen)t(f2B n = 1, 2, ... Existem certos casos em que a série de Fourier pode ser simplificada. Assim, no caso de f(t) ser uma função ímpar, isto é, uma função em que (4) f(t) = -f(-t) podemos mostrar que (5) An = 0 n = 0, 1, 2, ... (6) Bn = ∫ τ ω τ 2/ 0 tdtnsen)t(f4 n = 1, 2, ... reduzindo-se, assim, a eq. (1) à série de senos (7) ∑ ∞ = ω= 1n n tnsenB)t(f Um segundo caso que simplifica a série de Fourier é aquele em que f(t) é uma função par, definida como (8) f(t) = f(-t) Nesse caso, podemos demonstrar que (9) ∫ τ ω τ = 2/ 0n tdtncos)t(f4A n = 0, 1, 2, ... (10) Bn = 0 n = 1, 2, ... reduzindo-se, assim, a eq. (1) à série de cossenos (11) ∑ ∞ = ω+= 1n n 0 tncosA 2 A)t(f Portanto, a eq. (7) estabelece que uma função periódica ímpar não pode conter componentes harmônicos pares (cossenos), enquanto que a eq. (11) mostra que uma função periódica par não pode conter componentes harmônicos ímpares (senos). Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 4 A expansão de funções periódicas em série de Fourier é feita aplicando-se as fórmulas acima e é, em geral, um procedimento trabalhoso, pois é muito comum termos que usar integração por partes. O exemplo seguinte ilustra uma situação bastante simples. Exemplo ilustrativo A pressão no interior de um cilindro varia periodicamente, conforme o gráfico da fig. 4. Expandir a função periódica p(t) em série de Fourier. Fig. 4 Solução: Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 5 ...t5sen 5 100t3sen 3 100tsen10025)t(p +π π +π π +π π += [Kpa] Na fig. 5 está representada, em linha interrompida, a expansão acima. Notemos que a função original somente será fielmente atingida quando a quantidade de termos retidos for infinita. Fig. 5 A Tabela 1, no final desta apostila, apresenta os desenvolvimentos em série de Fourier de algumas funções periódicas importantes. 3 RESPOSTA À EXCITAÇÃO PERIÓDICA Conforme já foi comentado, no caso de um sistema linear podemos calcular a resposta individual a cada termo da série e, após, somar essas respostas individuais para obter a resposta total. Assim, com base no que já foi estudado anteriormente, dada a n-ésima componente da excitação (12) fnc(t) = Ancosnωt onde o índice nc significa a ené-sima componente em cosseno, a resposta correspondente é dada por (13) )tcos(n(FA) nk A (t)x nnnnc φ+ω= onde (FA)n é o fator de amplificação correspondente, dado por (14) 222n )n2(])n(1[ 1)FA( νς+ν− = e φn é o ângulo de fase correspondente, dado por (15) ] )n(1 n2[arctg 2n ν− νς −=φ Analogamente, dada a n-ésima componente da excitação (16) fns(t) = Bnsennωt Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 6 onde o índice ns significa a n-ésima componente em seno, a resposta correspondente é dada por (17) )tsen(n(FA) nk B (t)x nnnnc φ+ω= Notemos que o fator de amplificação e o ângulo de fase correspondentes são os mesmos já dados pelas eqs. (14) e (15). Quanto à componente média da excitação, A0/2, a resposta à mesma é simplesmente a componente estática da resposta, ou seja, k 2 A0 . Assim, a resposta total será obtida aplicando o Princípio da Superposição, ou seja: (18) )]tnsen()FA(B)tncos()FA(A[ nk 1 k 2 A )t(x nnnn 1n nn 0 φ+ω+φ+ω+= ∑ ∞ = É importante observar agora que, se uma das harmônicas se aproxima da freqüência natural do sistema, existirá risco de ressonância nessa harmônica. Exemplo ilustrativo A fig. 6 mostra um pistão com massa 3,68 kg que se desloca dentro de um cilindro de diâmetro 40 mm. A mola possui rigidez 284 N/m. O lado esquerdo do cilindro está aberto à atmosfera e o lado direito é submetido a uma pressão p(t), que varia periodicamente, conforme exemplo ilustrativo anterior. Determinar a resposta do pistão.Fig. 6 Solução: Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 7 ou, em mm: x(t) = 110,6 + 161,5senπt – 103,45sen3πt – 2,56sen5πt + ... Notemos que a terceira harmônica provoca uma amplitude relativamente grande. Isso se deve ao fato de que a mesma (3ω = 3π = 9,425 rad/s) está mais próxima da freqüência angular natural (ωn = 8,785 rad/s) do que as demais harmônicas. 4 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Em muitos casos, é praticamente impossível conhecer a função de excitação f(t) sob forma analítica, como nos casos da Tab. 1. É mais comum que a excitação periódica seja dada sob forma de gráficos ou tabelas, como no caso de testes de motores de combustão interna em dinamômetros, conforme ilustra a fig. 1. Nesses casos, é mais conveniente obter a expansão em série de Fourier através de uma técnica de integração numérica. Consideremos a fig. 7, onde é mostrado um período τ de uma função periódica y(t), a qual não é conhecida analiticamente. Entretanto, é possível obter y(t) para uma certa quantidade de pontos, seja através de uma tabela ou da leitura dos dados de um gráfico. ...t5sen 284x5 8x455,0t3sen 284x3 3,13x627,6tsen 284x1 40x147,1 0,1106 x(t) +π−π−π+= Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 8 Fig. 7 O período τ pode ser dividido em N partes iguais, tal que (19) τ = N∆t sendo a freqüência fundamental dada por (20) ω = 2π/τ Substituindo as eqs. (19) e (20) nas eqs. (2) e (3), podemos trabalhar com somatórios no lugar de integrais: (21) ∑∑ == τ π =∆ τ π τ = N 1i i i N 1i i in tn2cos)t(y N 2ttn2cos)t(y2A n = 0, 1, 2, ... (22) τ π =∆ τ π τ = ∑∑ == i N 1i i i N 1i in tn2sen)t(y N 2ttn2sen)t(y2B n = 1, 2, ... onde i denota o i-ésimo intervalo e y(ti) é o valor da função no i-ésimo intervalo. Obviamente, quanto maior o número N de intervalos usados, maior a precisão obtida. Uma vez determinados os coeficientes de Fourier, usamos a série da eq. (1) normalmente. A seguir, um exemplo que esclarecerá o método. Exemplo ilustrativo O torque de saída de um motor de combustão interna de 6 cilindros, ciclo Otto, de 4 tempos, é dado pela tabela e gráfico mostrados na fig. 8. Desenvolver T(t) em série de Fourier. Fig. 8 Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 9 Solução: No caso, temos N = 24 pontos. Do gráfico, tiramos τ = 0,018 s, logo, ω = 2π/0,018 = 349,1 rad/s. Problemas desse tipo têm suas soluções facilitadas com o uso de uma planilha como a que aparece a seguir, a qual é de fácil implementação em uma linguagem de computador, tal como BASIC, FORTRAN, PASCAL, etc., ou em uma planilha eletrônica, como o EXCEL. n = 1 n = 2 n = 3i ti [s] Ti [N.m] An Bn An Bn An Bn 1 0,00075 410 396,03 2 0,00150 420 363,73 3 0,00225 440 311,13 4 0,00300 480 240,00 5 0,00375 540 139,76 6 0,00450 640 0 7 0,00525 740 -191,53 8 0,00600 860 -430,00 9 10 11 ... 21 22 23 24 Σ - 14520 -2691,20 928,08 132,96 -862,08 265,56 265,26 Da tabela acima, tiramos os valores dos coeficientes de Fourier, usando as eqs. (21) e (22): A0 = 14520/12 = 1210 A1 = -2691,20/12 = -224,27 B1 = 928,08/12 = 77,34 A2 = 132,96/12 = 11,08 B2 = -862,08/12 = -71,84 A3 = 265,56/12 = 22,13 B3 = 265,56/12 = 22,13 Logo, substituindo na eq. (1), chegamos finalmente a T(t) = 605 – 224,27cos349,10t + 77,34sen349,10t + + 11,08 cos698,14t – 71,84sen698,14t + + 22,13 cos1047,21t + 22,13sen1047,21t Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 10 5 ESPECTRO DISCRETO DE FOURIER O espectro discreto de Fourier é um gráfico, no domínio da freqüência, que mostra o grau de participação das várias harmônicas na excitação f(t) e na resposta x(t). Tal gráfico também é conhecido como espectro de freqüências. Quando f(t) é periódica, o seu espectro de freqüências consiste de componentes harmônicas com freqüências discretas, ou seja, ω, 2ω, 3ω, etc. Assim, o espectro de Fourier tem nas abcissas as freqüências discretas ω, 2ω, 3ω, etc., e nas ordenadas os valores das amplitudes de cada harmônica, dadas por (23) 2n2nn BAD += Para o exemplo anterior, teremos os seguintes valores para as amplitudes do torque: D0 = A0 = 605 N.m 23,23734,77)27,224(BAD 2221 2 11 =+−=+= N.m 69,72)84,71(08,11BAD 2222 2 22 =−+=+= N.m 30,3113,2213,22BAD 2223 2 33 =+=+= N.m com os quais podemos traçar o espectro de Fourier das amplitudes: Examinando o gráfico ao lado vemos que, nesse caso, a contribuição de cada harmônica vai diminuindo significativamente à medida que aumenta a ordem da harmônica, sendo importantes apenas as duas primeiras harmônicas. Espectro Discreto de Fourier 0 200 400 600 800 Harmônicas A m pl itu de s Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 11 Tab. 1 EXERCÍCIOS Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 12 1 Desenvolver em série de Fourier a excitação periódica da figura. Solução A função é ímpar com período τ = 0,04 s, logo rad/s. 50 04,0 22 π π τ π ω === Também An = 0 e [ ] ímpar n para n 20000B epar n para 0B que ver Podemos )ncos1( n 10000)1n(cos n 10000tn50cos n 10000B tdtn50senn50 n 10000tdtn50sen5000 04,0 4tdtnsen)t(f4B nn 02,0 0n 02,0 0 02,0 0 2 0n π π π π π π π ππ π πω τ τ −== −−=−== −=−== ∫∫∫ Portanto, o desenvolvimento em série de Fourier fica tn50sen n 120000)t(f ...5,3,1n π π ∑ ∞ = −= 2 Determinar os coeficientes de Fourier para a excitação periódica da figura Resp.: ) 2 ncos1( n 2000B 2 nsen n 2000A N 1000A nn0 π π π π −=== Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 13 3 A variação da pressão ao longo do tempo em uma linha hidráulica é dada pela tabela seguinte, observando-se uma periodicidade a cada 0,24 s: t [s] p [Pa] 0 0 0,02 10,4 0,04 25,7 0,06 28,6 0,08 31,5 0,10 46,8 0,12 57,2 0,14 46,8 0,16 31,5 0,18 28,6 0,20 25,7 0,22 10,4 0,24 0 Desenvolver p(t) em série de Fourier até a 3a harmônica e traçar o seu espectro de Fourier. Resp.: p(t) = 28,6 – 21,01cos26,18t – 7,6cos78,54t 4 Desenvolver um programa de computador (em BASIC ou Excel), genérico, que calcule numericamente os coeficientes de Fourier e trace o espectro de amplitudes. 5 Uma plaina limadora vertical de massa 200 kg está montada sobre isoladores de borracha que defletiram 2 mm quando da montagem. A plaina tem uma velocidade máxima de 225 rpm. Determinar a resposta permanente da plaina para a excitação da figura, dada em N, na qual a segunda harmônica origina-se do mecanismo de recuo rápido da máquina. Resp.: x(t) = 0,224 cos ωt + 0,119 cos 2ωt [mm] Resposta de Sistemas de 2a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica 14 6 Uma máquina alternativa trabalha com rotação constante de 86 rpm, gerando uma força desbalanceadora, em N, que pode ser representada analiticamente por f(t) = 25 + 20 sen 9t - 3 sen 18t - 2 sen 27t Dispõe-se de 2 tipos de isoladores, A e B, os quais defletem, respectivamente, 2 e 20 mm quando a máquina é colocada sobre eles. Considerando nulo o amortecimento, determinar a força transmitida por cada um deles à fundação. Qual deve ser escolhido?Solução Como não existe amortecimento, a força transmitida à fundação é dada por ...t3sen )3(1 ft2sen )2(1 ftsen 1 fff 2 3 2 2 2 1 0tr +− + − + − += ω ν ω ν ω ν (a) Isolador A: 1285,0 04,70 9 s/rad 04,70 10x2 81,9g n 3 est n ===⇒=== − ω ω ν δ ω Nesse caso, a força transmitida será: t27sen35,2t18sen21,3t9sen33,2025f t27sen )1285,0x3(1 2t18sen )1285,0x2(1 3t9sen 1285,01 2025f tr 222tr −−+= − − + − − + − += (b) Isolador B: 4064,0 15,22 9 s/rad 15,22 10x20 81,9g n 3 est n ===⇒=== − ω ω ν δ ω Nesse caso, a força transmitida será: t27sen11,4t18sen84,8t9sen96,2325f t27sen )4064,0x3(1 2t18sen )4064,0x2(1 3t9sen 4064,01 2025f tr 222tr +−+= − − + − − + − += Portanto, devemos escolher o isolador A, que transmite menor força à fundação. 7 O oscilador linear da figura é excitado pela onda quadrada de amplitude f0 e período ajustável τ. Para que valores de τ podemos esperar ocorrência de ressonância? Resp.: τ = 2nπ m k , n = 1, 2, ...
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