Aula Limite e Continuidade

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Limite e Continuidade - MAT001
Guilherme Henrique Siqueira Camargo
1 Introdução
Vamos inicialmente introduzir uma ideia intuitiva sobre o conceito de continuidade, para futuramente apresentar
uma definição formal. Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p do seu domínio é uma função cujo gráfico
não apresenta um �salto� em p. Por exemplo, na Fig 1 temos que o gráfico da função f não apresenta um �salto� em
p, portanto, é contínua, note que a medida que x se aproxima de p, tanto pela direita quanto pela esquerda, f (x) se
aproxima de f (p). Já o gráfico da função g apresenta um salto em p, portanto g não é contínua em p.
Por exemplo, sejam as funções f e g dadas por
f (x) = x, g (x) =
{
1, x ≤ 1
2, x > 1
. (1)
Desse modo, observando os gráficos apresentados na Fig 2, temos que a função f é contínua para qualquer x real,
entretanto, g apresenta uma descontinuidade em x = 1.
E agora podemos construir uma noção intuitiva sobre o conceito de limite, que será explorado formalmente no
futuro. Dizer que o limite de f (x), quando x tende a p, é igual a L significa que quando x tende a p, f (x) tende a L,
e escrevemos
lim
x→p f (x) = L. (2)
Por exemplo, o limite de f (x) = x+ 1 quando x tende a 1 será o valor que a função assume quando x se aproxima
cada vez mais de 1, que nesse caso será
lim
x→1
(x+ 1) = 2. (3)
Uma informação importante é que no limite temos a variável tendendo ao valor, mas nunca igual. Por exemplo,
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 (4)
temos que a função f (x) =
x2 − 1
x− 1 está definida para x 6= 1, entretanto, como no limite a variável não atinge o valor
exatamente podemos resolver esse limite da seguinte forma. Para x 6= 1,
Figura 1: Intuitivamente, temos que a função f é contínua, já a função g não.
1
Figura 2: Temos que a função f é contínua, já a função g não.
(a) Quando x tende a p, f (x) tende a f (p). (b) Quando x tende a p, f (x) tende a L.
Figura 3: Ilustração da ideia de limite.
2
Figura 4: Temos que apesar da função f (x) =
x2 − 1
x− 1 não estar definida em x = 1, mas ainda podemos tomar o limite
de x tendendo a 1, obtendo o valor 2.
Figura 5: Ilustração do limite de uma função descontínua.
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1 (x+ 1) = 2, (5)
como ilustrado na Fig. 4.
Caso f esteja definida e ainda for contínua em p, então lim
x→p f (x) = f (p), e reciprocamente, ou seja
f cont´inua em p⇔ lim
x→p f (x) = f (p) . (6)
E ainda, se lim
x→p f (x) = L e se f não for contínua em p, então L será o valor que f deveria assumir caso fosse
contínua, como ilustrado na Fig. 5.
2 Definição de Função Contínua
Definição 1 Sejam f uma função e p um ponto do seu domínio. Definimos que f é contínua em p se, e somente se,
para todo � > 0 dado, existe δ > 0 (δ dependendo de �), tal que, para todo x ∈ D,
p− δ < x < p+ δ ⇒ f (p)− � < f (x) < f (p) + �. (7)
3
Figura 6: Ilustração de uma função que não satisfaz a Definição 1.
Temos que
|x− p| < δ ⇔ p− δ < x < p+ δ,
portanto, podemos reescrever a Eq. (7) como
|x− p| < δ ⇒ |f (x)− f (p)| < �. (8)
Na Fig. 6 temos o gráfico de uma função que não satisfaz a Definição 1, temos que podemos tomar um � > 0 tal
que não exista δ > 0 satisfazendo a Eq. (7).
Exemplo 1 A função constante f (x) = k é contínua em todo p real.
Solução:
Temos que |f (x)− f (p)| = |k − k| = 0 < � para todo x e todo p, assim, tomando δ > 0 qualquer temos que a
Eq. (8) é satisfeita, portanto, f (x) = k é contínua.
Exemplo 2 A função afim f (x) = ax+ b é contínua.
Solução:
Se a = 0 temos o exemplo anterior, portanto contínua. Vamos supor então a 6= 0, assim,
|f (x)− f (p)| = |ax+ b− ap− b| = |ax− ap| = |a| |x− p| .
Então, para todo � > 0 dado
|f (x)− f (p)| = |a| |x− p| < �⇔ |x− p| < �|a| .
Tomando δ = �/ |a|,
|x− p| < δ ⇒ |f (x)− f (p)| < �, (9)
logo f é contínua em p, e como p foi tomado arbitrariamente temos que f é contínua em todo p real.
Exemplo 3 Seja a função g definida por
g =
{
0, x < 0
1, x ≥ 0 ,
mostre que g é descontínua em p = 0.
Solução:
Pela Definição 1, temos que g será contínua se para todo � > 0 existir δ > 0 tal que, p − δ < x < x + δ ⇒
g (p)− � < g (x) < g (p) + �. Tomando p = 0,
−δ < x < δ ⇒ g (0)− � < g (x) < g (0) + �.
Como g (x) = 0 para x < 0 e g (0) = 1, tomando � = 1/2, para todo δ > 0. Mas para −δ < x < 0 temos g (x) = 0,
que não está entre g (0)− 1/2 e g (0) + 1/2. Portanto, não existe δ que satisfaça a Definição 1.
4
Figura 7: Ilustração de quatro possíveis comportamentos distintos de f no ponto p.
Exemplo 4 Seja f contínua em p e f (p) > 0. Prove que existe δ > 0 tal que, ∀x ∈ D,
p− δ < x < p+ δ ⇒ f (x) > 0.
Solução:
Como f é contínua em p, então dado � > 0 existirá δ > 0 tal que ∀x ∈ D
p− δ < x < p+ δ ⇒ f (p)− � < f (x) < f (p) + �. (10)
Como podemos tomar � arbitrário que a Eq. (10) será satisfeita, então vamos tomar � = f (p). Assim, a Eq (10) se
torna
p− δ < x < p+ δ ⇒ f (p)− f (p) < f (x) < f (p) + f (p) ,
ou seja,
p− δ < x < p+ δ ⇒ f (x) > 0.
Exemplo 5 Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado
f (x) =
{
x2−x
x , x 6= 0
L, x = 0
,
em p = 0.
Solução:
Para x 6= 0 temos que x
2 − x
x
= x− 1, portanto, para que f seja contínua temos que L = 0− 1 = −1.
3 Definição de Limite
Sejam f uma função e p um ponto em seu domínio ou extremidade de um dos intervalos que compõe o domínio de
f , vamos considerar as situações na Fig. 7.
Na situação (a) temos que f não está definida em p, mas para todo � > 0 dado, existem L e δ > 0 tais que, para
todo x ∈ D,
p− δ < x < p+ δ, x 6= p⇒ L− � < f (x) < L+ �, (11)
de fato, não importa o valor de �, sempre poderemos tomar um δ com p− δ < x < p+ δ, tal que L− � < f (x) < L+ �.
Futuramente vamos explorar melhor o significado da Eq. (11). Na situação (b) temos que f não é contínua em p, mas
mesmo assim existe L satisfazendo a Eq. (11), note que a restrição x 6= p é essencial. Na situação (c) temos que f é
5
contínua em p, assim L = f (p) satisfaz a Eq. (11), já que sendo contínua a Eq. (7) é satisfeita. Já na situação (d) não
temos L que satisfaça a Eq. (11) para todo �.
A Eq. (11) é equivalente a dizer
0 < |x− p| < δ ⇒ |f (x)− L| < �. (12)
Temos ainda que quando L existe, ele é único. De fato, vamos supor que L1 e L2 satisfaçam a Eq. (12), então para
� > 0 existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
0 < |x− p| < δ1 ⇒ |f (x)− L1| < �,
0 < |x− p| < δ2 ⇒ |f (x)− L2| < �.
Tomando δ = min {δ1, δ2}, então, sendo que |x− p| < δ ⇒ |x− p| < δ1 e |x− p| < δ2,
0 < |x− p| < δ ⇒ |f (x)− L1| < � e |f (x)− L2| < �. (13)
Agora, usando que |a+ b| ≤ |a|+ |b|, para todo x tal que 0 < |x− p| < δ
|L1 − L2| = |L1 − f (x) + f (x)− L2| ≤ |L1 − f (x)|+ |f (x)− L2| < 2�, (14)
portanto, L1 = L2.
Assim, o único número L satisfazendo a Eq. (11) será o limite de f (x), quando x tende a p, que será denotado
por
lim
x→p f (x) = L.
Definição 2 Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compóem
o domínio de f . Dizemos que f tem limite L, em p, se, para todo � > 0 dado, existir δ > 0 tal que, para todo x ∈ D,
0 < |x− p| < δ ⇒ |f (x)− L| < �. (15)
Tal número L, que quando existir é único, será indicado por
lim
x→p f (x) = L.
É de extrema importância ter em mente que quando tomamos o limite lim
x→p não estamos fazendo nossa variável x
igual a p, e sim tendendo a p, portanto, x 6= p. Esse fato será de grande importância quando formos resolver alguns
limites.
Comparando as Eqs. (8) e (12) temos que
f cont´inua em p⇔ lim
x→p f (x) = f (p) . (16)
3.1 Propriedades do Limite
Se k é uma constante e lim
x→p f (x) = L1 e limx→p g (x) = L2, então
1. lim
x→p [f (x) + g (x)] = L1 + L2;
Temos que |f (x) + g (x)− (L1 − L2)| ≤ |f (x)− L1|+ |g (x)− L2|. Mas pela hipótese, dado � > 0, existe δ > 0
tal que
0 < |x− p| < δ ⇒ |f (x)− L1| < �
2
e |g (x)− L2| < �
2
.
Portanto,
0 < |x−p| < δ ⇒ |[f (x) + g (x)]− (L1 + L2)| < �.
2. lim
x→p kf (x) = kL1;
Se k = 0 então kf (x) = 0, então lim
x→p kf (x) = 0 = kL1. Para k 6= 0, dado � > 0 existe δ > 0 tal que
0 < |x− p| < δ ⇒ |f (x)− L1| < �|k| ⇒ |kf (x)− kL1| < �.
6
3. lim
x→p f (x) g (x) = L1L2 ;
4. lim
x→p
f (x)
g (x)
=
L1
L2
, desde que L2 6= 0;
5. lim
x→p [f (x)]
n
= Ln1 ;
6. lim
x→p
n
√
f (x) = n
√
L1.
7. Se f (x) = g (x) para todo x 6= p, então L1 = L2, desde que o limite exista.
Temos que 0 < |x− p| < δ ⇒ f (x) = g (x), então
0 < |x− p| < δ ⇒ |f (x)− L1| < �⇒ |g (x)− L1| < �,
portanto L1 = L2.
Exemplo 6 Calcule lim
x→p k, onde k é uma constante.
Solução:
Pelo Exemplo 1 temos que a função constante f (x) = k é contínua. Portanto, usando a Eq. (16),
lim
x→p k = k.
Exemplo 7 Calcule lim
x→5
(
2x2 − 3x+ 4).
Solução:
Pelas Propriedades 1 e 2
lim
x→5
(
2x2 − 3x+ 4) = lim
x→5
(
2x2
)− lim
x→5
(3x) + lim
x→5
4 = 2 lim
x→5
x2 − 3 lim
x→5
x+ 4 = 2× 25− 3× 5 + 4 = 50− 15 + 4 = 39.
Exemplo 8 Calcule lim
x→1
x4 − 2x+ 1
x3 + 3x2 + 1
.
Solução:
Temos que lim
x→1
(
x4 − 2x+ 1) = 0 e lim
x→1
(
x3 + 3x2 + 1
)
= 5 6= 0, portanto podemos usar a Propriedade 4
lim
x→1
x4 − 2x+ 1
x3 + 3x2 + 1
=
0
5
= 0.
Exemplo 9 Calcule lim
x→−1
x3 + 1
x2 + 4x+ 3
.
Solução:
Temos que lim
x→−1
(
x3 + 1
)
= 0 e lim
x→−1
(
x2 + 4x+ 3
)
= 0, portanto não podemos usar a Propriedade 4. Mas, como
no limite temos x tendendo a −1, mas nunca igual, podemos fazer a seguinte simplificação, sendo x = −1 raiz tanto
do numerador quanto do denominador,
x3 + 1
x2 + 4x+ 3
=
(x+ 1)
(
x2 − x+ 1)
(x+ 1) (x+ 3)
=
x2 − x+ 1
x+ 3
.
Assim, da Propriedade 7,
lim
x→−1
x3 + 1
x2 + 4x+ 3
= lim
x→−1
x2 − x+ 1
x+ 3
=
3
2
.
Exemplo 10 Calcule lim
x→0
√
t2 + 9− 3
t2
.
Solução:
Como nossa função é descontínua em t = 0 não podemos usar a Eq. (16) e sendo lim
t→0
t2 = 0 então não podemos
usar a Propriedade 4. Assim, usando a Propriedade 7,
lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
= lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
·
√
t2 + 9 + 3√
t2 + 9 + 3
= lim
t→0
t2 + 9− 9
t2
(√
t2 + 9 + 3
) = lim
t→0
1√
t2 + 9 + 3
=
1
6
.
7
	Introdução
	Definição de Função Contínua
	Definição de Limite
	Propriedades do Limite