Cálculo 2 Exercícios

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Cálculo 2 – Lista 1 
Prof.: Augusto César 
 
1-3 Encontre o domínio e a imagem das funções 
 
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 − 5 
2. 𝑓(𝑥, 𝑦) =
2
𝑥+𝑦
 
3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 − 𝑦 
 
4-6 Determine e esboce o domínio da função 
 
4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦√𝑥2 + 𝑦 
5. 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2+𝑦2
𝑥2−𝑦2
 
6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥𝑦 − 1) 
 
7-9 Faça o mapa de contorno da função mostrando três curvas de nível 
 
7. 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑦
 
8. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 
9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 9𝑦2 
 
10-16 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe 
 
10. lim
(𝑥,𝑦)→(2,3)
(𝑥2𝑦2 − 2𝑥𝑦5 + 3𝑦) 
11. lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥2𝑦3+𝑥3𝑦2−5)
2−𝑥𝑦
 
12. lim
(𝑥,𝑦)→(𝜋,𝜋 )
𝑥𝑠𝑒𝑛 (
𝑥+𝑦
4
) 
13. lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥+𝑦)2
𝑥2+𝑦2
 
14. lim
(𝑥,𝑦)→(1,4 )
ℯ√𝑥+2𝑦 
15. lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
2𝑥𝑦
𝑥2+2𝑦2
 
16. lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑠𝑒𝑛(𝑥2+𝑦2)
𝑥2+𝑦2
 
 
17-19 Determine o conjunto de pontos em que a função é contínua 
 
17. 𝐹(𝑥, 𝑦) =
𝑥2+𝑦2+1
𝑥2+𝑦2−1
 
18. 𝐹(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥2−𝑦
 
19. 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛(2𝑥 + 3𝑦) 
 
20-26 Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função 
 
20. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦5 − 2𝑥2𝑦 + 𝑥 
21. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦2(𝑥4 + 𝑦4) 
22. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑥2𝑦2 + 𝑦4 
23. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ℯ𝑥𝑡𝑔(𝑥 − 𝑦) 
24. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 + 𝑦2) 
25. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ℯ𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 
26. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥√𝑦 −
𝑦
√𝑥
 
 
27-28 Use a derivação implícita para encontrar 𝜕𝑧 𝜕𝑥⁄ e 𝜕𝑧 𝜕𝑦⁄ 
 
27. 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 = 𝑥𝑧 
28. 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 2𝑥(𝑦 + 𝑧) 
 
29-32 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem 
 
29. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 + 𝑥√𝑦 
30. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦) 
31. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2)3 2⁄ 
32. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠2(5𝑥 + 2𝑦) 
 
33-38 Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado 
 
33. 𝑧 = 𝑥2 + 4𝑦2, (2, 1, 8) 
34. 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2, (3, −2, 5) 
35. 𝑧 = 5 + (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2, (2, 0, 10) 
36. 𝑧 = 𝑥𝑦, (−1, 2, −2) 
37. 𝑧 = √𝑥 − 𝑦, (5, 1, 2) 
38. 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦), (1, −1, 0) 
 
39-41 Use diferenciais para aproximar o valor de f em um dado ponto 
 
39. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √20 − 𝑥2 − 7𝑦2, (1,95; 1,08) 
40. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥 − 3𝑦), (6,9; 2,06) 
41. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦2 sen 𝜋𝑧 , (3,99; 4,98; 4,03) 
 
42-47 Use a regra da cadeia para determinar 𝜕𝑧 𝜕𝑠⁄ e 𝜕𝑧 𝜕𝑡⁄ 
 
42. 𝑧 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑦, 𝑥 = 𝑠2 + 𝑡2, 𝑦 = 2𝑠𝑡 
43. 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦, 𝑥 = (𝑠 − 𝑡)2, 𝑦 = 𝑠2 − 𝑡2 
44. 𝑧 = 𝑥2 − 3𝑥2𝑦3, 𝑥 = 𝑠ℯ𝑡, 𝑦 = 𝑠ℯ−𝑡 
45. 𝑧 = 𝑥 𝑡𝑔−1(𝑥𝑦), 𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 𝑠ℯ𝑡 
46. 𝑧 = 2𝑥−3𝑦, 𝑥 = 𝑠2𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑡2 
47. 𝑧 = 𝑥ℯ𝑦 + 𝑦ℯ−𝑥, 𝑥 = ℯ𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑡2 
 
48-50 Use a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas 
 
48. 𝑤 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, 𝑥 = 𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠 cos 𝑡, 𝑧 = 𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝑡; 
𝜕𝑤
𝜕𝑠
,
𝜕𝑤
𝜕𝑡
 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠 = 1, 𝑡 = 0 
49. 𝑤 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥, 𝑥 = 𝑠𝑡, 𝑦 = ℯ𝑠𝑡, 𝑧 = 𝑡2; 
𝜕𝑤
𝜕𝑠
,
𝜕𝑤
𝜕𝑡
 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠 = 0, 𝑡 = 1 
50. 𝑧 = 𝑦2𝑡𝑔 𝑥, 𝑥 = 𝑡2𝑢𝑣, 𝑦 = 𝑢 + 𝑡𝑣2; 
𝜕𝑧
𝜕𝑡
,
𝜕𝑧
𝜕𝑢
,
𝜕𝑧
𝜕𝑣
 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 2, 𝑢 = 1, 𝑣 = 0