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Problemas Cap 15

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Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer
Capitulo 15 – Testes de Hipótese.
Problemas
Suponha-se que tenha distribuição com conhecido. Para testar contra propõe-se o seguinte procedimento: Obter uma amostra de tamanho e rejeitar sempre que a média amostral , onde é uma constante a ser determinada.
Obtenha uma expressão para , a função CO, em termos da distribuição normal tabulada.
Quando o nível de significância dos testes for , obtenha uma expressão para .
Suponha que e admita que estejamos testando contra . Determine o tamanho da amostra e constante , a fim de satisfazer às condições: e .
Suponha que os seguintes valores amostrais de tenham sido obtidos:
Você rejeitaria (contra ), tal como enunciada em (c), no nível de significância de 5 por cento?
Não rejeitaria, pois se tem 94% de chances de .
Considere a situação apresentada no Probl. 15.1, exceto que a hipótese alternativa é, agora, da forma . Portanto, rejeitaremos sempre que . Responda às questões (a) e (b) acima.
Suponha que tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro . Para testar contra , o seguinte teste é proposto: Obtenha uma amostra de tamanho , calcule a média , e rejeite sempre que , onde é uma constante a ser determinada.
Obtenha uma expressão para a função CO do teste acima, a saber . [Sugestão: Empregue a propriedade reprodutiva da distribuição Poisson.]
Esboce o gráfico da função CO.
Suponha que estejamos testando contra . Uma amostra de tamanho é obtida, e rejeitaremos se . Qual será o nível de significância deste teste?
Estabeleça as propriedades da Eq. (15.1) para a função CO: .
 crescente determina que a curva se torne mais íngreme.
Verifique as propriedades da função CO: , tal como foram definida pela Eq. (15.2).
Verifique as propriedades da função CO: , tal como foram definidas pela Eq. (15.3).
Sabe-se que uma grande partida de voltímetros contém uma certa proporção de defeituosos, digamos . Para testar , o seguinte procedimentos é empregado. Uma amostra de tamanho 5 é obtida e , o número de voltímetros defeituosos, é contado. Se , aceita-se ; se , rejeita-se ; e se , tira-se uma segunda amostra de tamanho 5. Seja o número de voltímetros defeituosos na segunda amostra. Rejeite-se se , e aceite-se em caso contrário. (Suponha que a partida que está sendo amostrada seja suficiente grande, de modo que e possam ser supostas variáveis aleatórias independentes e binomialmente distribuídas.)]
Obtenha uma expressão para , a função CO do teste acima, e esboce o seu gráfico.
Determine a amplitude do teste acima.
Qual é a probabilidade do erro tipo 2, quando ?
Se e , quantos valores possíveis poderá tomar a variável aleatória , tal como foi definida na Eq. (15.4)?
 
Calcule o valor esperado da variável aleatória , tal como foi definida na Eq. (15.4).
Como esse valor se compara com o valor esperado (assintótico) de obtido da distribuição de qui-quadrado, a qual pode ser empregada para aproximar a distribuição de , quando for grande?
Três espécies de lubrificantes estão sendo preparados por um novo processo. Cada lubrificante é testado em certo número de máquinas, e o resultado é, depois, classificado como aceitável ou inaceitável. Os dados da Tab. 15.1 representam o resultado desse experimento. Teste a hipótese de que a probabilidade de que um lubrificante apresente um resultado aceitável seja a mesma para todos três lubrificantes. (Sugestão: Inicialmente, calcule a partir da amostra).
	Tab. 15.1
	
	Lubrificante 1
	Lubrificante 2
	Lubrificante 3
	Aceitável
	144
	152
	140
	Inaceitável
	56
	48
	60
	Total
	200
	200
	200
Ao empregarmos várias leis de falhas, verificamos que a distribuição exponencial desempenha um papel particularmente importante, e, consequentemente, é importante ser capaz de decidir se uma particular amostra de durações até falhar se originam de uma distribuição exponencial básica. Suponha que 335 lâmpadas tenham sido ensaiadas e o seguinte resumo de , sua duração de vida (em horas), esteja disponível:
	Duração da vida (horas)
	
	
	
	
	
	Número de lâmpadas
	82
	71
	68
	62
	52
A partir das reais durações até falhar, que relatamos, encontrou-se que , a média amostral, é igual a 123,5 horas. Empregando esta informação, teste a hipótese de que , a duração até falhar seja exponencialmente distribuída.
 não tem distribuição exponencial.
Suponha que a varável aleatória tenha a seguinte fdp:
Para testar , o seguinte teste é proposto: Obtenha uma observação de , digamos , e rejeite se .
Obtenha uma expressão para a função CO deste teste, digamos , e trace seu gráfico.
Qual será a amplitude deste teste se ?
Em uma malha de 165 células, o número de grãos de grafita em cada célula foi contado. Os dados da Tab. 15.2 foram obtidos. Teste a hipótese de que o número de grãos em cada célula seja uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson. (Sugestão: Reúna as observações e, também, aquelas .)
	Tab. 15.2
	Número de grãos de grafita em uma célula
	Observados
	Número de grãos de grafita em uma célula
	Observados
	0
	1
	7
	17
	1
	1
	8
	22
	2
	5
	9
	21
	3
	7
	10
	4
	4
	20
	11
	2
	5
	34
	12
	1
	6
	30
	
	
	
	
	
	Observados
	0
	0,002
	0
	1
	1
	0,013
	2
	1
	2
	0,039
	7
	5
	3
	0,081
	13
	7
	4
	0,126
	21
	20
	5
	0,156
	26
	34
	6
	0,160
	26
	30
	7
	0,141
	23
	17
	8
	0,109
	18
	22
	9
	0,075
	12
	21
	10
	0,046
	8
	4
	11
	0,026
	4
	2
	12
	0,013
	2
	1
A hipótese é verdadeira

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