Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 15 – Testes de Hipótese. Problemas Suponha-se que tenha distribuição com conhecido. Para testar contra propõe-se o seguinte procedimento: Obter uma amostra de tamanho e rejeitar sempre que a média amostral , onde é uma constante a ser determinada. Obtenha uma expressão para , a função CO, em termos da distribuição normal tabulada. Quando o nível de significância dos testes for , obtenha uma expressão para . Suponha que e admita que estejamos testando contra . Determine o tamanho da amostra e constante , a fim de satisfazer às condições: e . Suponha que os seguintes valores amostrais de tenham sido obtidos: Você rejeitaria (contra ), tal como enunciada em (c), no nível de significância de 5 por cento? Não rejeitaria, pois se tem 94% de chances de . Considere a situação apresentada no Probl. 15.1, exceto que a hipótese alternativa é, agora, da forma . Portanto, rejeitaremos sempre que . Responda às questões (a) e (b) acima. Suponha que tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro . Para testar contra , o seguinte teste é proposto: Obtenha uma amostra de tamanho , calcule a média , e rejeite sempre que , onde é uma constante a ser determinada. Obtenha uma expressão para a função CO do teste acima, a saber . [Sugestão: Empregue a propriedade reprodutiva da distribuição Poisson.] Esboce o gráfico da função CO. Suponha que estejamos testando contra . Uma amostra de tamanho é obtida, e rejeitaremos se . Qual será o nível de significância deste teste? Estabeleça as propriedades da Eq. (15.1) para a função CO: . crescente determina que a curva se torne mais íngreme. Verifique as propriedades da função CO: , tal como foram definida pela Eq. (15.2). Verifique as propriedades da função CO: , tal como foram definidas pela Eq. (15.3). Sabe-se que uma grande partida de voltímetros contém uma certa proporção de defeituosos, digamos . Para testar , o seguinte procedimentos é empregado. Uma amostra de tamanho 5 é obtida e , o número de voltímetros defeituosos, é contado. Se , aceita-se ; se , rejeita-se ; e se , tira-se uma segunda amostra de tamanho 5. Seja o número de voltímetros defeituosos na segunda amostra. Rejeite-se se , e aceite-se em caso contrário. (Suponha que a partida que está sendo amostrada seja suficiente grande, de modo que e possam ser supostas variáveis aleatórias independentes e binomialmente distribuídas.)] Obtenha uma expressão para , a função CO do teste acima, e esboce o seu gráfico. Determine a amplitude do teste acima. Qual é a probabilidade do erro tipo 2, quando ? Se e , quantos valores possíveis poderá tomar a variável aleatória , tal como foi definida na Eq. (15.4)? Calcule o valor esperado da variável aleatória , tal como foi definida na Eq. (15.4). Como esse valor se compara com o valor esperado (assintótico) de obtido da distribuição de qui-quadrado, a qual pode ser empregada para aproximar a distribuição de , quando for grande? Três espécies de lubrificantes estão sendo preparados por um novo processo. Cada lubrificante é testado em certo número de máquinas, e o resultado é, depois, classificado como aceitável ou inaceitável. Os dados da Tab. 15.1 representam o resultado desse experimento. Teste a hipótese de que a probabilidade de que um lubrificante apresente um resultado aceitável seja a mesma para todos três lubrificantes. (Sugestão: Inicialmente, calcule a partir da amostra). Tab. 15.1 Lubrificante 1 Lubrificante 2 Lubrificante 3 Aceitável 144 152 140 Inaceitável 56 48 60 Total 200 200 200 Ao empregarmos várias leis de falhas, verificamos que a distribuição exponencial desempenha um papel particularmente importante, e, consequentemente, é importante ser capaz de decidir se uma particular amostra de durações até falhar se originam de uma distribuição exponencial básica. Suponha que 335 lâmpadas tenham sido ensaiadas e o seguinte resumo de , sua duração de vida (em horas), esteja disponível: Duração da vida (horas) Número de lâmpadas 82 71 68 62 52 A partir das reais durações até falhar, que relatamos, encontrou-se que , a média amostral, é igual a 123,5 horas. Empregando esta informação, teste a hipótese de que , a duração até falhar seja exponencialmente distribuída. não tem distribuição exponencial. Suponha que a varável aleatória tenha a seguinte fdp: Para testar , o seguinte teste é proposto: Obtenha uma observação de , digamos , e rejeite se . Obtenha uma expressão para a função CO deste teste, digamos , e trace seu gráfico. Qual será a amplitude deste teste se ? Em uma malha de 165 células, o número de grãos de grafita em cada célula foi contado. Os dados da Tab. 15.2 foram obtidos. Teste a hipótese de que o número de grãos em cada célula seja uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson. (Sugestão: Reúna as observações e, também, aquelas .) Tab. 15.2 Número de grãos de grafita em uma célula Observados Número de grãos de grafita em uma célula Observados 0 1 7 17 1 1 8 22 2 5 9 21 3 7 10 4 4 20 11 2 5 34 12 1 6 30 Observados 0 0,002 0 1 1 0,013 2 1 2 0,039 7 5 3 0,081 13 7 4 0,126 21 20 5 0,156 26 34 6 0,160 26 30 7 0,141 23 17 8 0,109 18 22 9 0,075 12 21 10 0,046 8 4 11 0,026 4 2 12 0,013 2 1 A hipótese é verdadeira
Compartilhar