Simetria e indices de Miller [Modo de Compatibilidade]

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29/3/2010
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Simetria, índices, 
estrutura de minerais 
GM 861 – Mineralogia
23/3/2010
Jacinta Enzweiler
Cela unitária: unidade fundamental do 
retículo espacial 
a
b
c
γ
αβ
z
x
y
- A proporção relativa dos elementos = fórmula do mineral
- As relações geométricas entre os íons são constantes
- Nós de uma cela unitária (vértices, arestas, faces ou seu interior)= ânions ou 
grupos aniônicos (Cl- O2- ,CO32-, SiO44-, PO43-), cátions (Ca2+, Mg2+, Fe2+), átomos 
(Cu, Au) ou H2O. A distribuição é idêntica para todas as celas de uma estrutura 
cristalina.
A repetição das celas unitárias em 3-D resulta na estrutura 
cristalina de um mineral
O arranjo final das celas unitárias produz 
diferentes formas externas (hábitos)
Retículo espacial
(padrão de 
repetição da cela 
unitária)
Celas unitárias 
dos 6 sistemas 
cristalinos :14 
retículos de 
Bravais
Como descrever os retículos dos cristais?
• Equivale a dar um endereço: como um dado ponto do retículo está 
posicionado em relação aos demais que estão abaixo, acima, aos 
lados?
• Será que este ponto se repete em alguma posição a frente dele? 
Ao girar ou inverter o cristal? Ou seja, que simetria está associada 
com a repetição dos pontos? Elemento de simetria:plano
operação de simetria: reflexão
(retículo, estrutura e faces do mineral)
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Elemento de simetria:eixo
operação de simetria: rotação
Elemento de simetria:centro
operação de simetria: inversão
Simetria
Permite descrever aspectos semelhantes de 
estruturas diferentes, de forma que eles se 
tornam aspectos unificadores 
Simetria
Elementos Operações
Plano (P, m) reflexão
Eixo (E, A, 2,3,4,6) rotação
centro (C, i) inversão
Combinação dos elementos de 
simetria para os diferentes 
sistemas cristalinos:
32 classes cristalinas ou grupos 
pontuais
Sistema cristalino Classe cristalina (forma do cristal) simetria
Hexoctaedro ( diamante) i, 3A4, 4A3, 6A2, 9m
giróide 3A4, 4A3, 6A2
hextetraedro 3A2, 4A3, 6m
diplóide i, 3A2, 4A3, 3m
tetartóide 3A2, 4A3
Isométrico
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Sistema cristalino Classe cristalina (forma do cristal) simetria 
Bipirâmide hexagonal i, 1A6, 6A2, 7m 
 1A6, 6A2 
 1A6, 6m 
 1R6, 3A2, 3m 
 i, 1A6, 1m 
 1A6 
Hexagonal 
(divisão hexagonal) 
 1R6 
Escalenoedro hexagonal i, 1A3, 3A2, 3m 
 1A3, 3A2 
 1A3, 3m 
 i, 1A3 
Hexagonal 
(divisão trigonal) 
 1A3 
Bipirâmide tetragonal i, 1A4, 4A2, 5m 
 1A4, 4A2 
 1A4, 4m 
 1R4, 2A2, 2m 
 i, 1A4, 1m 
 1A4 
Tetragonal 
 1R4 
Pirâmide rômbica i, 3A2, 3m 
 3A2 
Ortorrômbico 
 1A2, 2m 
Prisma i, 1A2, 1m 
 1A2 
Moniclínico 
 1m 
Paraleloedro i Tríclinico 
 nenhuma 
 
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Proporção relativa dos minerais conhecidos, nos 
diferentes sistemas cristalinos
Sistema Cristalino 
Abundância de 
Minerais (%) 
Triclínico 7,4% 
Monoclínico 31,7% 
Ortorrômbico 22,3% 
Tetragonal 9,8% 
Hexagonal 16,6% 
Isométrico 12,2% 
 
Faces de cristal desenvolvem-se ao longo de planos definidos pelos 
pontos no retículo
As faces cristalinas mais comuns são paralelas aos planos 
reticulares que possuem elevada densidade de nós reticulares: Lei 
de Bravais
Faces comuns x densidade de nós reticulares
Planos A, B 
e C, 
paralelos 
às faces da 
cela 
unitária, 
tem 
elevada 
densidade 
de nós e 
tem 
elevada 
chance de 
serem 
faces 
cristalinas
plano T: 
idem a 
A,B,C 
Plano Q: baixa densidade de 
nós; face pouco provável
• Aparência externa (=hábito) reflete a ordem 
interna
• Cristais de uma mesma substância podem ter 
formas variáveis: uma faces crescem mais que 
outras
• Como podemos nos referir às diversas faces e 
planos? 
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Planos cristalinos e índices de Miller
• Cristais e faces de cristais podem ter tamanho e forma 
variável 
• Mas os ângulos entre as faces são constantes para um 
dado mineral
• O tamanho e a localização das faces é muito menos 
importante que a sua orientação relativa
• Orientação das faces pode ser usada para determinar o 
sistema cristalino e a simetria 
• Portanto, é útil ter um método simples de descrever a 
orientação das faces dos cristais
Índices de Miller
• (hkl)
• Representação vetorial 
simbólica da orientação de 
planos atômicos no retículo 
cristalino
• São o inverso dos interceptos 
fracionais que o plano faz com 
os eixos cristalográficos
Receita para obter os índices de Miller
• Determinar a fração de comprimento que o plano 
intercepta ao longo de cada eixo
• Inverter 
• Tirar as frações 
• Dividir por denominador comum (se necessário)
• Os números inteiros são colocados entre parêntesis 
(hkl) e simbolizam um plano cristalográfico no retículo
Intercepto
Inverso
Tira fração
Índice de 
Miller
c
-a
-c
-b b
a
1a,1b,1c
1a,1b,-1c
1a,-1b,1c
1a,-1b,-1c
c
- a
- c
- b b
a
1 1 1
1a
 1b 1c (111)
(1 1 1)
(111)
(111)
(111)
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Intercepto
Inverso
Tira fração
Índice de 
Miller
Intercepto
Inverso
Tira fração
Índice de Miller
Intercepto
Inverso
Tira fração
Índice de 
Miller
Intercepto
Inverso
Tira fração
Índice de 
Miller
Intercepto
Inverso
Tira fração
Índice de 
Miller
plano A plano B
Índices de Miller para os três retículos cúbicos
Primitivo
Face 
centrada
Corpo 
centrado
Planos 100 Planos 110
Planos 200
Planos 111
Planos 220
Planos 200 Planos 110
Planos 111
Planos 222
c
- a
- c
- b b
a
1a,1b,1/2c
1
1
1
2
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c
- a
- c
- b b
a
1 1 1
1a 1b 1c
2
(112)
(112)(112)
Índices de Miller
da face
(111)
(112)
Índices de Miller
das faces
Índices de Miller no sistema hexagonal
{111}
{112}
Índices de Miller
das formas (oito faces)
{ } Forma: conjunto de faces relacionadas por 
simetria 
octaedro
trapezoedro
O índice de Miller de uma linha que passa através 
do plano (hkl), é representado entre colchetes:
Ex.: para os planos (120) temos a linha [120]
Uma família de faces todas paralelas à mesma 
linha chama-se zona
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(hkl) = face do cristal ou 
família de planos do retículo 
cristalino 
[hkl] =zona: indica uma 
direção no retículo em 
relação a um ponto
{hkl}= forma; conjunto de 
faces ou planos que são 
equivalentes em termos de 
simetria
Ex: {100} inclui (100), (010), 
(001), (-100), (0-10), (00-1), no 
sistema isométrico
E somente (100) no triclínico
Algumas generalizações
• Se um índice de Miller é zero, o plano é paralelo ao seu 
eixo 
• Quanto menor o índice, mais próximo ele está de ser 
paralelo ao seu eixo 
• Quanto maior o índice de Miller, mais próximo ele está 
de ser perpendicular ao eixo. 
• Multiplicar ou dividir índices de Miller por uma constante 
não tem efeito na orientação do plano. 
• Índices de Miller tendem a ser pequenos 
Por que usar índices de Miller?
• É uma maneira elegante de lidar com ausência de 
interceptos (ou intercepto infinito). 
• Os índices de Miller podem ser deduzidos 
algebricamente incluindo considerações 
trigonométricas
• Especificando as dimensões da cela unitária, pode-
se usar o mesmo índice de Miller p/ qq face que 
tenha o mesmo padrão de repetição. Isto significa 
que uma face (111) sempre tem a mesma 
orientação, não importando o sistema cristalino. 
• Distâncias entre os planos de mesmo tipo: difração