Lista 1

Prévia do material em texto

1a Lista de Exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica - MTM 131
1. Determine as equac¸o˜es das retas a`s quais pertencem os pares de pontos abaixo e classifique-as em crescentes
ou decrescentes.
a) (-2,1) e (-5,8) b)(3,5) e origem c) (-1,-1) e (5,3)
2. Determine os pontos que dividem o segmento AB, em que A = (3,−5) e B = (4, 15), em cinco partes de
mesma medida.
3. Determine o ponto C que divide o segmento AB em que A = (3, 3) e B = (11,−4) em dois segmentos
proporcionais a quatro e treˆs e sendo AC maior que BC.
4. Determine p de modo que sejam perpendiculares a retas px− y − 1 = 0 e (p− 1)x+ py + 10 = 0. R: p=0 ou
p=2.
5. Determine a equac¸a˜o da reta s que e´ perpendicular a` reta r e passa por P0 , nos casos:
(a) P0 = (3,−1), r : 3x+ 2y = 6;
(b) P0 = (0, 3), r : 2x+ y − 10 = 0;
(c) P0 = (1,−2) , r reta por (−1, 2) e (0, 1).
6. Refac¸a o exerc´ıcio anterior considerando s paralela a r.
7. Determine o sime´trico do ponto P em relac¸a˜o a` reta r, nos casos:
(a) P = (1, 0), r : x = y; R.: (0,1)
(b) P = (2, 7), r : y − x− 1 = 0; R.: (6,3)
(c) P = (0, 0),
{
x = 3 + t
y = 2t
. R.: ( 245 ,− 125 )
8. Mostre o triaˆngulo de ve´rtices (2, 4), (5, 1), e (6, 5) e´ iso´sceles. Calcule, a seguir, seu per´ımetro. R.: 2p =
2
√
17 + 3
√
2
9. Determine um ponto do eixo das abscissas, equ¨idistantes de (1, 2) e (0,−5). R.: (-10,0)
10. Qual a condic¸a˜o para que P = (x, y) seja equ¨idistantes de A = (2, 3) e B = (5,−1)? R.: 6x− 8y − 13 = 0
11. Determine os comprimentos das medianas do triaˆngulo de ve´rtices A=(1,3), B=(3,1), C=(2,4). R.: ma =√
10/2, mb =
√
6 e mc = 2.
12. Os pontos (0,1), (3,4) e (5,-4) sa˜o ve´rtices de um retaˆngulo. Determine as coordenadas do quarto ve´rtice do
retaˆngulo. R.:(8,-1)
13. Qual a equac¸a˜o reduzida da reta a` qual pertencem os pontos (2,6) e (11,6)?
14. Determine o aˆngulo formado entre as retas:
(a) r : 3x− y = 10 e s : 2x+ y = 6; R.: pi/4
(b) r : 2x+ 15 = 0 e s : x+ 1 = y. R.: pi/4
15. O ponto P dista 4 do eixo x, e a reta y = 2x− 6 passa por P . Determine as coordenadas de P . R.: (5,4) ou
(1,-4).
16. Determine p para que a reta de equac¸a˜o 2x+3y−p = 0 intercepte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada
5. R.: p = 15
17. Determine os ve´rtices do triaˆngulo cujos ve´rtices esta˜o contidos nas retas 3x − 2y − 4 = 0, y = 20 − 4x e
5x+ 4y − 14 = 0. R.: A=(4,4), B=(2,1), C=(6,-4)
18. Demonstre a seguinte propriedades: o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares na˜o
paralelas aos eixos coordenados e´ -1.
19. Prove que duas medianas de um triaˆngulo iso´sceles teˆm a mesma medida. Sugesta˜o: considere o triaˆngulo
com um dos lados sobre o eixo x e com um dos ve´rtices sobre o eixo y.
20. Determine as regio˜es do plano:
a)
{
(x, y) ∈ R2/x = y} b){(x, y) ∈ R2/x = 2} c){(x, y) ∈ R2/x+ y > 2}
d)
{
(x, y) ∈ R2/xy = 0} e){(x, y) ∈ R2/xy ≤ 0} f){(x, y) ∈ R2/− x > y + 3}
21. Considere as retas concorrentes r : ax+ by + c = 0 e s : dx+ ey + f = 0. Demonstre que suas bissetrizes sa˜o
perpendiculares.
1
22. Determine se os pontos abaixo formam triaˆngulos ou se esta˜o alinhados no plano. No primeiro caso determine
a a´rea dos triaˆngulos formados.
(a) (3,2), (4,3), (1, -1)
(b) (-3,0), (1,4), (-10,-7)
(c) (2,5), (1/4,1/2), (0,0)
23. Sabe-se que a reta s e´ perpendicular a` reta bissetriz dos quadrantes ı´mpares e passa pelo ponto (2,3). Deter-
mine o ponto de s que forma um triaˆngulo de a´rea 5 com os pontos (3,1) e (4,-3). Resp.: (6,-1), (-2/3,17/3)
24. Determine o ponto P do plano sabendo-se que tal ponto pertence a` reta que conte´m os pontos (1,2) e (3,-1)
e que sua distaˆncia ao ponto (4,1) e´
√
10. Resp.: (1,2), (49/13,-28/13)
25. Determine os pontos do eixo das ordenadas tais que sua distaˆncia a` reta s : y = −2x− 1 seja igual a 2. resp.:
Q=(0,2
√
5-1) e Q=(0,-2
√
5-1)
26. Obtenha a(s) reta(s) a`(s) qual(is) pertence(m) o ponto P (0, 1) e que faz(em) com a reta r : y = 3x − 2 um
aˆngulo cuja tangente e´ 1/8. R.: s : y − 5x+ 1 = 0 e r : 11y − 23x− 11 = 0
27. As equac¸o˜es de duas retas do plano cartesiano sa˜o x− y + 2 = 0 e x+ ky + k − 1 = 0. Sabe-se que r e s sa˜o
paralelas. Determine a distaˆncia entre elas. Resp.: 2
√
2
28. Classifique quanto aos lados o triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o dados pelos pontos A(1,1), B(1,8) e C(8,1) . resp.:
iso´sceles
29. Determine a equac¸a˜o da mediatriz do segmento AB sendo A(−2, 2) e B(4,−4). Resp.: x− y − 2 = 0
30. No sistema xOy de coordenadas cartesianas, o que representa geometricamente a equac¸a˜o (x+3)(y−7) = 0?
31. Encontre a posic¸a˜o relativa das duas retas a seguir, indicando, se for o caso, o ponto de intersec¸a˜o:
(a) x+ 2y − 4 = 0 e 2x− y − 3 = 0;
(b) y = 30, x = 40;
(c) x−√10y + 4 = 0 e √30x = √300y;
(d) x = 2y − 4 e 4y − 2x = 8.
32. Discuta a posic¸a˜o relativa das duas retas a seguir em func¸a˜o do valor de k: r : x+2y−k = 0 e kx−2y−6 = 0.
resp.: se k = −1 sa˜o paralelas, do contra´rio sa˜o concorrentes, na˜o havendo possibilidade de serem coincidentes.
33. Determine a equac¸a˜o da bissetriz dos aˆngulos entre as seguintes retas:
(a) r : 3x+ 4y − 12 e s : 8x+ 6y − 5 = 0. resp.: 14x+14y-29=0 e 2x-2y+19=0;
(b) r : x+ 7y − 9 = 0 e s : 7x− y − 1 = 0. resp.: 4x+3y-5=0 e -3x+4y-4=0.
34. Determine, utilizando os conceitos de geometria anal´ıtica, a a´rea dos triaˆngulos cujos ve´rtices sa˜o dados por:
(a) (1,0), (2,4), (0,5) resp.: 9/2
(b) (1,2), (-3,5), (4,3) resp.: 13/2
35. Considere o triaˆngulo 4ABC de ve´rtices (2,4), (6,8) e (12,2).
(a) Determine a a´rea de 4ABC;
(b) O ponto do triaˆngulo em que se interceptam as treˆs medianas (segmentos ligando um ve´rtice ao ponto
me´dio de seu lado oposto) e´ chamado baricentro. Determine as coordenadas do baricentro de 4ABC;
(c) O ponto do triaˆngulo em que se interceptam as treˆs alturas (segmentos de reta perpendicular a` reta
suporte de um lado do triaˆngulo com extremidades nesta reta e no ve´rtice oposto ao lado considerado)
e´ chamado ortocentro. Determine as coordenadas do ortocentro de 4ABC. Classifique o triaˆngulo
mediante sua resposta nesse item;
(d) O ponto do triaˆngulo em que se interceptam as treˆs mediatrizes (segmento perpendicular a um lado e
ao qual pertence seu ponto me´dio) e´ chamado circuncentro. Determine as coordenadas do circuncentro
de 4ABC.
resp.: 24, (78/11,52/11), (6,8), (7,11).
Uma observac¸a˜o sobre os pontos acima e´ que o baricentro e´ o centro de gravidade do triaˆngulo e o circuncento
e´ equidistante dos ve´rtices.
36. Na figura, A = (2, 3) e BC =
√
10 . Obtenha a equac¸a˜o da reta AB. resp.: x+ 4y − 14 = 0
37. Na figura, a reta t e´ paralela a` reta r e perpendicular a` reta s. Determine a equac¸a˜o da t. resp.: 2y−3x+9 = 0
2
38. Os pontos P e Q pertencem a` reta de equac¸a˜o y = mx, teˆm abscissas a e a+1, respectivamente. A distaˆncia
entre P e Q e´
√
10 e a ordenada do ponto dessa reta que tem abscissa 5 e´ negativa. Determine o valor de m.
R.: m = -3
39. Na figura M(a, a) e´ o ponto me´dio do segmento AC, A = (2, 6), B = (0, a) e C = (c, 0). Determine a equac¸a˜o
da reta BC. R.:3x+ 4y − 12 = 0
40. Treˆs pontos de coordenadas respectivamente (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b > 0 sa˜o ve´rtices de um retaˆngulo.
Obtenha as coordenadas do quarto ve´rtice. R.:(4b,−2b)
41. Dados os pontos A = (0, 8), B = (−4, 0) e C = (4, 0), sejam r e s as retas tais que A,B ∈ r e B,C ∈ s.
Considere P1 e P2 os pe´s das retas perpendiculares trac¸adas de P (5, 3) a`s retas r e S, respectivamente.
Obtenha a equac¸a˜o da reta a` qual pertencem P1 eP2. R.: r : y + x− 5 = 0
42. Consideremos a reta y = −2x+ 2. Determine o ponto P0 = (x0, y0) dessa reta mais pro´ximo da origem dos
eixos coordenados. resp.: (4/5, 2/5).
43. Determine a projec¸a˜o ortogonal do ponto (3, 5) sobre a reta x+ y − 2 = 0. R.: (0,2)
44. Determine o valor de m para que a reta que passa por A = (m − 1, 2)e B = (3, 2m) forme com o eixo de
abscissas, no sentido negativo, um aˆngulo de 45◦. resp.: m = −2.
45. A reta r passa pelo ponto (1, 2) e tem uma inclinac¸a˜o α = 135o. Determine uma equac¸a˜o da reta s que passa
pelo ponto (2, 1) e forma um aˆngulo de 45o com a reta r. resp.: y − 1 = 0
46. Na figura, as treˆs circunfereˆncias sa˜o tangentes duas a duas e o raio da circunfereˆncia α e´ 2. Determine a
equac¸a˜o de tal circunfereˆncia. R.: x2 + y2 − 2x− 4√2y + 5 = 0
47. A reta r conte´m os pontos (−1, 0) e (0, 1) e intercepta a circunfereˆncia cujo centro e´ a origem e o raio e´ √5
nos pontos de coordenadas A = (a,m) e B = (b, n). Determine o valor de a+ b. resp.:-1
3