Lista 3 - conicas

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3a Lista de Exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica - MTM 131 - turmas 81 e 88
1. Determine:
(a) a reta tangente a` para´bola y = −x2 e paralela a y = 6x.
(b) a reta tangente a` curva xy = 1 no ponto (3, 1/3).
(c) os ptos da para´bola y = x2 + 1 equidistantes de (0, 1) e (−1, 2).
(d) a reta tangente a y = x2 que passa pelo ponto de abscissa 3.
R.: a)y = 6x+ 9, b)y = −x/9 + 2/3, c)
(
1±√5
2 ,
±2√5+10
4
)
, d)y − 9 = 6(x− 3)
2. Determine as equac¸o˜es das para´bolas que possuem:
(a) diretriz r : −2x+ y − 8 = 0 e foco F (3, 2). resp.: x2 + 4y2 + 4xy − 62x+ 4y + 1 = 0
(b) diretriz r : −x+ y − 3 = 0 e foco F (−1, 2).
(c) diretriz r : −x− y − 3 = 0 e foco F (−1, 2).
3. Calcular as medidas dos semi-eixos e a excentricidade da elipse de equac¸a˜o 4x2 + 2y2 = 1.
Resp.: maior:
√
2; menor: 1; e= 22 .
4. Calcule os focos, os ve´rtices, as medidas dos semi-eixos e a excentricidade da elipse 5x2 + 9y2 = 180.
Resp.: Ve´rtices: (6, 0), (−6, 0); focos: (4, 0), (−4, 0); e = 23
5. Os focos F e F ′ de uma elipse esta˜o no eixo x′x e sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a` origem. Determine, em cada
um dos casos abaixo, a equac¸a˜o da elipse:
(a) supo˜e-se que o eixo maior e´ 2a = 8 e que o eixo menor e´ 2b = 4. Resp.: x
2
16 +
y2
4 = 1
(b) supo˜e-se que eixo menor e´ 2b = 6 e que a excentricidade e´ 2/5. Resp.: 775x
2 + y
2
9 = 1
6. Os focos de uma elipse sa˜o F = (0, c) e F ′ = (0,−c). Determine sua equac¸a˜o em cada um dos casos abaixo:
(a) supo˜e-se que a elipse passa pelo ponto A = (1, 10
√
2/3) e que sua distaˆncia focal e´ 8. Resp.: x
2
9 +
y2
25 = 1
(b) supo˜e-se que a elipse passa por A = (
√
15, 2) e B = (−2√3, 4). Resp.: x216 + y
2
64 = 1
7. Determine a equac¸a˜o da elipse cujos focos sa˜o F = (0, 0) e F ′ = (4, 4) e cujo eixo maior e´ 2a = 8. Fac¸a um
esboc¸o da curva. Resp.: 3x2 + 3y2 − 2xy − 8x− 8y − 16 = 0
8. Determine a elipse de vertices em A′ = (−2, 0) e A = (2, 0) que passa por P = (−1,√3/2). Resp.: x24 +y2 = 1
9. Em cada um dos casos a seguir determine a equac¸a˜o da hipe´rbole que satisfaz as condic¸o˜es:
(a) Os focos sa˜o F = (3, 0) e F = (−3, 0) e um ve´rtice e´ A = (1, 0). Resp.: x2 − y28 = 1
(b) Os focos sa˜o F=(0,6) e F ′ = (0,−6) e a excentricidade e´ 3/2. Resp.: y216 − x
2
20 = 1
10. Uma hipe´rbole possui os mesmos focos que a elipse 51x2+100y2 = 5100 e sua excentricidade e´ 7/4. Determine
sua equac¸a˜o. Resp.: x
2
16 − y
2
33 = 1
11. Determinar a equac¸a˜o da hipe´rbole cujos focos sa˜o F = (−1, 1) e F ′ = (3,−3) e que possui um ve´rtice no
ponto A′ = (2,−2). Determine o ve´rtice A e determine a excentricidade dessa hipe´rbole. Resp.: x2 + y2 −
4xy − 6x+ 6y = 0
12. Para cada valor na˜o-nulo de p a equac¸a˜o y2 = 4px representa uma para´bola. Pede-se:
(a) a equac¸a˜o da para´bola dessa famı´lia que passa por M = (2,
√
5).
(b) a equac¸a˜o da para´bola dessa famı´lia cujo foco e´ F = (−3, 0).
(c) a para´bola dessa famı´lia cuja diretriz e´ a reta y + 7 = 0.
Resp.: 2y2 = 5x; y2 = −12x; y2 = 28x.
13. Determine, para cada uma das para´bolas abaixo, as coordenadas do foco, a equac¸a˜o da diretriz e o compri-
mento da corda que passa pelo foco e e´ perpendicular ao eixo de simetria.
(a) x2 = 4y Resp.: F (0, 1); d : y = −1; comprimento: 4
(b) x2 + y = 0 Resp.: F (0,−1/4); d : y = 1/4; comprimento: 2
(c) y2 = −8x Resp.: F (−2, 0); d : x = 2; comprimento: 8
1
14. Uma antena parabo´lica tem uma profundidade de 24cm no centro e o diaˆmetro na borda da para´bola e´ 1,6m.
Determine a distaˆncia do ve´rtice ao foco. Resp.: 200/3 cm
15. Determine equac¸a˜o da para´bola com ve´rtice em (−4, 2), eixo y = 2 e que passa pelo ponto (0, 6). Resp.:
(y − 2)2 = 4(x+ 4)
16. Considere a reta r : 2x − y + 9 = 0. Determine o sime´trico (Q) do ponto P = (1, 3) em relac¸a˜o a` reta r.
Obtenha a equac¸a˜o das para´bolas que possuem focos em P e em Q e que possuem r como diretriz. Resp.:
x2 + 4xy + 4y2 − 46x− 12y − 36 = 0, x2 − 26x+ 4y2 − 12y + 4xy − 31 = 0
17. Os semi-eixos de uma elipse sa˜o a = 5 e b = 2. O centro da curva e´ o ponto C = (5, 2) e eixo maior e´ paralelo
ao eixo xx. Determine a equac¸a˜o dessa elipse. Resp.: (x−5)
2
25 +
(y−2)2
4 = 1
18. Determine a equac¸a˜o da elipse que possui centro C = (4,−2), um ve´rtice em V = (9,−2) e um foco em
F = (0,−2). Resp.: (x−4)225 + (y+2)
2
9 = 1
19. Determine a hipe´rbole com ve´rtices em (−2, 0) e (2, 0) e com um eixo de comprimento 6. Resp.: 9x2−4y2 = 36
20. Uma hipe´rbole possui ve´rtices (−3,−1) e (−1,−1) e a distaˆncia entre os focos e´ 2√5. Determine a hipe´rbole
e tambe´m suas ass´ıntotas. Resp.: (x− 1)2 − (y + 1)2/4 = 1; 2x− y + 3 = 0 e 2x+ y + 5 = 0
21. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole cujos focos sa˜o os ve´rtices da elipse 7x2 + 11y2 = 77 e cujos ve´rtices sa˜o
os focos dessa elipse. Resp. 7x2 − 4y2 = 28
22. Uma para´bola tem por diretriz a reta d : 2x−y+2 = 0 e por foco o ponto F = (1, 5). Determine sua equac¸a˜o
e esboce tal curva. Resp.: x2 + 4xy + 4y2 − 18x− 46y + 126 = 0.
23. Prove que em uma hipe´rbole equila´tera a distaˆncia de um ponto qualquer ao centro e´ a me´dia geome´trica (a
me´dia geome´trica entre a e b e´
√
ab) entre as distaˆncias dPF e dPF ′ (isto e´, entre as medidas dos raios vetores
do ponto P).
24. Determine os focos da elipse de equac¸a˜o 4x2 + y2 = 36. Resp.: focos (0,±3√3).
25. Determine os ve´rtices e a a´rea de um quadrado com lados paralelos aos eixos coordenados inscrito na elipse
9x2 + 16y2 = 100. Resp.: V = (±2, 2), (±2,−2), a´rea 16.
observac¸a˜o 1 De um modo geral as coˆnicas (na˜o so´ as para´bolas) possuem uma diretriz.
Pensemos em uma elipse (hipe´rbole) em que o eixo maior esta´ contido no eixo x e o centro e´ a origem. A
reta d : x = ae ou seja d : x =
a2
c e´ chamada diretriz da elipse (hipe´rbole). Caso o centro seja em (x0, y0)
arbitra´rio devemos deslocar para d : x− x0 = ae = a
2
c .
Dessa forma, a elipse (hipe´rbole) pode ser tambe´m definida como sendo o lugar geome´trico dos pontos P(x,y)
cuja raza˜o entre a distaˆncia a um ponto dado (o foco direito) e a distaˆncia a uma reta fixa chamada diretriz
e´ uma constante menor do que um (maior que um). A reta fixa nesse caso chama-se diretriz direita e e´
representada por d. Tal distaˆncia constante e´ a excentricidade.
Pensando no foco esquerdo, podemos definir outra diretriz da elipse (hipe´rbole) como sendo a reta x = −d.
Caso os eixos xx e yy invertam-se as adaptac¸o˜es sa˜o as de costume.
26. Os focos de uma elipse sa˜o F = (4, 0) e F ′ = (−4, 0). A reta x = 9 e´ uma das diretrizes. Determinar a
equac¸a˜o de tal elipse. Resp.:5x2 + 9y2 = 180
27. Uma coˆnica tem por diretrizes as retas x−y = 0, x−y−8 = 0 e o ponto F = (7, 0) e´ um dos focos. Classifique
tal coˆnica e determine sua equac¸a˜o. Resp.: elipse de equac¸a˜o 5x2 + 6xy + 5y2 − 64x− 48y + 200 = 0.
28. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole equila´tera que possui o ponto (2, 2) como um dos focos com diretriz
correspondente a reta x + y − 2 = 0. Resp.: xy = 2 (note que as ass´ıntotas desse tipo de hipe´rbole sa˜o os
eixos).
29. Um ponto M se move de maneira que sua distaˆncia ao ponto A = (6, 0) e´ sempre igual a duas vezes sua
distaˆncia a` reta r : 2x − 3 = 0. Determinar e identificar a curva descrita pelo ponto M . Resp.: hipe´rbole
3x2 − y2 = 27
30. Determine a equac¸a˜o da para´bola cujo ve´rtice e foco sa˜o respectivamente os pontos (−4, 3) e (−1, 3). Resp.:
y2 − 6y − 39 = 12x
31. Considere uma elipse com distaˆncia focal 2c e medida do eixo maior 2a. Suponha ainda que tal elipse possua
centro na origem e que seu eixo maior esteja sobre o eixo x. Utilize a observac¸a˜o 1 para demonstrar que de
fato a diretriz e´ dada por d : x = a
2
c .
2
32. O cabo de uma ponte suspensa tem a forma de uma para´bola quando a carga e´ uniformemente distribu´ıda
na horizontal. A distaˆncia entre duas colunas e´ 150m, os pontosde suporte do cabo nas duas colunas esta˜o
22m acima da pista e o ponto mais baixo do cabo esta´ a 7m acima da pista. Determine a distaˆncia vertical
do cabo a um ponto na pista a 15m do pe´ de uma coluna. Resp.: 16, 6m.
33. Determine o gra´fico da equac¸a˜o 9x2 − 4y2 − 18x − 16y + 29 = 0 Resp.: hipe´rbole com eixo real paralelo ao
eixo y e cujo centro esta´ em (1,−2).
34. Considere a equac¸a˜o Ax2 +Bxy + Cy2 +DX + Ey + F = 0. Determine as curvas obtidas se:
(a) A = C = 1 e os demais coeficientes nulos.
(b) A = C = F = 1 e os demais coeficientes nulos.
(c) A = C = 1, B = 2 e os demais coeficientes nulos.
(d) A = C = D = E = 1, B = 2 e F = 0.
(e) A = 1, B = −1 e os demais coeficientes nulos.
35. Determinar a equac¸a˜o da coˆnica com excentricidade e = 2, cujo foco esta´ na origem e cuja diretriz e´ a reta
x = −3. Resp: (x+4)24 − y
2
12 = 1
36. Esboce a regia˜o delimitada pelas curvas, se poss´ıvel:
(a) y = x2, y = x− 8.
(b) x2 + 4y2 = 1, (x− 1)2 + (y − 1/2)2 = 1.
(c) xy = 1, y = −6/5x+ 6
37. (a) Determine a excentricidade nos casos x2 + 4y2 = 1 e 4x2 + y2 = 1.
(b) Deˆ uma justificativa para o fato de a excentricidade de uma elipse ser sempre um nu´mero pertencente
ao intervalo (0, 1).
(c) Determine a equac¸a˜o de uma elipse com eixo maior medindo 20 e excentricidade 3/5.
(d) Fixado a, o que ocorre com a elipse x
2
a2 +
y2
b2 = 1 se e se aproxima de 0? E de 1?
(e) Tendo em vista os itens anteriores, deˆ uma ide´ia do que mede a excentricidade de uma elipse.
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