Calculo 3 -2012.2- 1erEx

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CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3
PRIMEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR. 2do SEMESTRE DE 2012
23 de Janeiro de 2013
[1a Questa˜o:] Seja dada a curva ~r(t) =
(
cos[t] + t sin[t], sin[t]− t cos[t], 12 t2
)
, onde t ≥ 0.
(a) Para cada valor do paraˆmetro t encontre um vetor tangente e um vetor tangente unita´rio. (1,0 pt.)
(b) Encontre o comprimento do arco, s, quando o paraˆmetro varia entre t = 0 e t = τ . (1,0 pt.)
(c) Reparametrize a curva, agora com o comprimento do arco como novo paraˆmetro. (0,5 pt.)
Resposta:
(a) Aseguir: o vetor tangente, seu modulo e o vetor tangente unita´rio;
~rt(t) =
(− sin[t] + sin[t] + t cos[t], cos[t]− cos[t]− t sin[t], t) = (t cos[t], t sin[t], t);
|~rt(t)| =
√
t2 cos[t]2 + t2 sin[t]2 + t2 =
√
2 t;
~T (t) =
~rt(t)
|~rt(t)| =
(
t cos[t], t sin[t], t
)
√
2 t
=
1√
2
(
cos[t], sin[t], 1
)
.
(b) O comprimento de arco vem dado por
s(τ) =
∫
cτ
ds =
∫ τ
0
|~rt(t)| dt =
∫ τ
0
√
2 t dt =
τ2√
2
.
(c) Como s = τ2/
√
2 temos que τ = 4
√
2
√
s de aqui a reparametrizac¸a˜o
~r(s) =
(
cos
[
4
√
2
√
s
]
+
4
√
2
√
s sin
[
4
√
2
√
s
]
, sin
[
4
√
2
√
s
]− 4√2√s cos[ 4√2√s ], √22 s
)
.
[2a Questa˜o:] A curva dada por C =
{
(x, y, z) ∈ R3; z = x2 + y2, z = 4y}, representa o
formato de um arame.
(a) Encontre uma parametrizac¸a˜o da curva C. (1,0 pt.)
(b) Escreva duas integrais ordina´rias definidas no paraˆmetro que expressem respectivamente:
- a carga do arame, se a densidade de carga e´ dada por ρ(~r) = x (y − 2). (1,0 pt.)
- o trabalho que realiza o campo ~F (~r) = x (y − 2)~j ao longo do arame. (1,0 pt.)
Resposta:
(a) Temos um parabolo´ide cortado pelo plano z − 4y = 0. (Ajuda muito fazer o gra´fico.) Esta
curva projeta no plano “xy” a circunfereˆncia x2 + y2 = 4y, logo
x2+ y2− 4y+4 = 4 ⇒
(x
2
)2
+
(y − 2
2
)2
= 1 ⇒
{
x
2
= cos[θ],
y − 2
2
= sin[θ].
⇒


~r(t) =
(
2 cos[θ], 2 + 2 sin[θ], 8 + 8 sin[θ]
)
, 0 ≤ θ ≤ 2π,
~rt(t) =
(−2 sin[θ], 2 cos[θ], 8 cos[θ] ),
|~rt(t)| =
√
4 sin[θ]2 + 4cos[θ]2 + 64 cos[θ]2 = 2
√
1 + 64 cos[θ]2,
(b)
∫
C
ρ(~r) ds =
∫
C
x (y − 2) ds =
∫ 2pi
0
2 cos[θ] 2 sin[θ] 2
√
1 + 64 cos[θ]2 dθ.
(b)
∫
C
~F (~r) · d~r =
∫
C
0 dx+ x (y − 2) dy + 0 dz =
∫ 2pi
0
2 cos[θ] 2 sin[θ] 2 cos[θ] dθ.
[3a Questa˜o:] Seja dado em R3 o campo vetorial ~F =
(
a x y z+1, x2 z+b z, x2 y+y
)
, com a
e b constantes; sejam dados tambe´m a curva C =
{
(x, y, z) ∈ R3; z =
√
4− x2 − y2, x+y = 2}
e o segmento de reta Cr entre os extremos de C.
(a) Encontre os valores de a e b que fazem deste um campo conservativo. Encontre o potencial. (1,0 pt.)
(b) Calcule
∫
C
~F (~r)·d~r, - pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo.
- pela definic¸a˜o de integral de linha sobre o segmento de reta Cr.
(2,0 pt.)
Dicas: Observe que os extremos da curva C esta˜o sobre o plano “z = 0”. As respostas na˜o
precisam da parametrizac¸a˜o da curva C.
Resposta:
(a) Como o campo ~F e´ conservativo suas derivadas parciais cruzadas sa˜o iguais,
Py = a x z
?
= Qx = 2x z, Qz = x
2 + b
?
= Ry = x
2 + 1, Rx = 2x y
?
= Pz = a x y;
pelo qual a = 2 e b = 1. Logo existe uma func¸a˜o ϕ tal que ~F = ~∇ϕ. Vejamos
ϕx = 2x y z + 1, ⇒ ϕ? =x2 y z + x+ cte(y, z),
ϕy = x
2 z + z, ⇒ ϕ? =x2 y z + y z + cte(x, z), ⇒ ϕ(~r) = x2 y z + y z + x.
ϕz = x
2 y + y, ⇒ ϕ? =x2 y z + y z + cte(x, y),
(b) Os extremos da curva sa˜o tais que: 0 =
√
4− x2 − y2; x+ y = 2 ⇒
0 = 4− x2 − (2− x)2 = 4x− 2x2 ⇒ x = 0, ~ri = (0, 2, 0),
x = 2, ~rf = (2, 0, 0),
- Ja´ que ~F e´ conservativo, pelo Teorema fundamental do ca´lculo temos
∫
C
~F · d~r =
∫
C
~∇ϕ · d~r = (x2 y z + y z + x)
∣∣∣∣
(2,0,0)
(0,2,0)
= 2.
- Sendo ~F conservativo, a integral na˜o depende do caminho, logo podemos tomar a reta Cr
que une os pontos inicial e final; ~r(t) = (~rf − ~ri) t+ ~ri = (2 t, −2 t+ 2, 0), t = [0, 1];∫
Cr
~F · d~r =
∫ 1
0
[
2 (2t) (2 − 2t) 0 + 1] 2 dt+ [(2t)2 + 1]0(−2) dt + [(2t)2 + 1](2− 2t)0 dt = 2.
[4a Questa˜o:] Use o teorema de Green para encontrar a a´rea de uma elipse. (2,0 pt.)
Resposta: Uma elipse e´ uma curva suave no plano parametrizada por ~r = (a cos[θ], b sin[θ], 0).
Part´ındo da relac¸a˜o de Green,∫∫
D
(
Qx − Py
)
dx dy =
∮
C
P dx+Qdy
a integral dupla e´ a a´rea da regia˜o delimitada pela elipse se Q(x, y) = 12 x e P (x, y) = −12 y;
logo Qx − Py = 12 − (−12) = 1 e
A´rea =
∫∫
D
1 dx dy =
1
2
∮
C
x dy − y dx = 1
2
∫ 2pi
0
a b cos[θ]2 dθ + b a sin[θ]2 dθ = π a b.
Outras escolhas podem ser Q(x, y) = x e P (x, y) = 0 ou Q(x, y) = 0 e P (x, y) = −y.