Física I UFRJ Coletânia de Provas Antigas (2009.2 2015.1)

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Coletânea 
Provas Antigas 
 
P1 - P2 - PF
P1
P2
PF
Física I 
 
 
 
P1 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2015/1
PRIMEIRA PROVA – 08/05/2015
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que: todos os fios e molas sa˜o ideais; os fios permanecem
esticados durante todo o tempo; a resisteˆncia do ar e´ desprez´ıvel; a gravidade tem mo´dulo g conhecido.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Uma part´ıcula descreve um movimento retil´ıneo. No
gra´fico, esta´ representada a componente da velocidade
desta part´ıcula ao longo da trajeto´ria como func¸a˜o do
tempo. No instante t = 0 s, a part´ıcula esta´ na posic¸a˜o
x = 0 cm. Assinale a afirmativa correta:
(a) A velocidade da part´ıcula no instante t = 0 s vale
vx = 0 cm/s;
(b) A acelerac¸a˜o da part´ıcula no instante t = 2, 5 s
vale ax = −1 cm/s
2;
(c) O deslocamento da part´ıcula no intervalo entre
t = 0 e t = 2 s vale ∆x = 2 cm;
(d) A posic¸a˜o da part´ıcula no instante t = 2 s e´
x = 0 cm;
(e) Nenhuma das respostas anteriores e´ correta.
2. Afirma-se sobre forc¸as conservativas: I) O trabalho rea-
lizado por forc¸as conservativas sobre uma part´ıcula ao
desloca´-la de uma posic¸a˜o inicial a uma posic¸a˜o final
e´ independente da trajeto´ria seguida. II) Uma forc¸a e´
conservativa se o trabalho desta forc¸a ao longo de uma
trajeto´ria fechada qualquer e´ nulo. III) A energia poten-
cial associada a uma forc¸a constante e diferente de zero
tambe´m e´ uma constante. Sa˜o corretas as afirmativas
(a) I), II) e III);
(b) I) e III);
(c) II) e III);
(d) I) e II) ;
(e) Nenhuma das afirmativas esta´ correta.
1
3. A figura mostra a trajeto´ria no plano horizontal de uma
part´ıcula que se desloca da posic¸a˜o A para a posic¸a˜o fi-
nal B. Dentre as setas marcadas nos pontos 1 a 5 da
figura, as que podem representar o vetor acelerac¸a˜o da
part´ıcula no ponto considerado sa˜o
(a) ~a1 e ~a4
(b) ~a1, ~a2 e ~a4
(c) ~a2 e ~a5
(d) ~a3 e ~a4
(e) ~a2 e ~a3
4. A figura mostra a energia potencial U(x) de uma
part´ıcula que move-se ao longo do eixo x sob a ac¸a˜o da
forc¸a resultante ~F = Fxıˆ associada a U(x). A alternativa
FALSA e´
(a) Na posic¸a˜o x4, tem-se a condic¸a˜o de equil´ıbrio
esta´vel;
(b) No deslocamento da part´ıcula da posic¸a˜o x2
para a posic¸a˜o x4, o trabalho realizado sobre a
part´ıcula e´ positivo;
(c) O sentido da forc¸a na posic¸a˜o x6 e´ positivo;
(d) Na posic¸a˜o x3, a forc¸a sobre a part´ıcula e´ nula;
(e) No deslocamento da part´ıcula da posic¸a˜o x3 para
a posic¸a˜o x2, a variac¸a˜o da energia cine´tica e´ po-
sitiva.
5. Um bloco move-se com velocidade de mo´dulo constante
sobre uma superf´ıcie plana e horizontal. Sobre ele atuam
a forc¸a peso, as forc¸as normal e de atrito devidas ao
contato do bloco com a superf´ıcie e uma forc¸a que o em-
purra. O trabalho realizado pela forc¸a resultante sobre
o bloco apo´s ele realizar um deslocamento no plano e´
(a) positivo;
(b) negativo;
(c) na˜o e´ poss´ıvel determina´-lo sem conhecer o
mo´dulo da forc¸a de atrito;
(d) na˜o e´ poss´ıvel determina´-lo sem conhecer a sua
trajeto´ria;
(e) nulo;
6. A figura mostra dois blocos, 1 e 2, de massas m1 e m2
respectivamente, em contato sobre uma mesa horizontal
sem atrito. O movimento e´ unidimensional. Se ~F e´ a
forc¸a com que o bloco de massa m2 e´ empurrado, e ~F1
e´ a forc¸a com que o bloco 2 empurra o bloco 1, a raza˜o
entre os mo´dulos F/F1 e´
(a) (m1 +m2)/m2
(b) m2/m1
(c) 1
(d) m2/(m1 +m2)
(e) (m1 +m2)/m1
12
~F
2
7. Um bloco de massa m e dimenso˜es desprez´ıveis e´ solto
do repouso de uma altura h, e desliza em contato com
uma superf´ıcie de atrito desprez´ıvel, como mostra a fi-
gura. O deslocamento do bloco e o trabalho realizado
pela mola desde o instante de contato entre a mola e o
bloco ate´ o instante de ma´xima compressa˜o da mola sa˜o,
respectivamente,
(a)
√
2mgh/k e −mgh;
(b)
√
2mgh/k e mgh;
(c) mg/k e −mgh;
(d) mg/k e mgh;
(e) Nenhuma das respostas anteriores e´ correta.
h k
8. Uma forc¸a horizontal ~F , de mo´dulo 40 N, empurra um
bloco de peso 30 N contra uma parede vertical. O coe-
ficiente de atrito esta´tico entre a parede e bloco e´ 0,80 e
o de atrito cine´tico e´ 0,60. Suponha que inicialmente o
bloco esteja em repouso. A sentenc¸a correta e´
(a) O bloco comec¸ara´ a se mover e o mo´dulo da forc¸a
resultante exercida pela parede sobre o bloco vale
32 N;
(b) O bloco comec¸ara´ a se mover e o mo´dulo da forc¸a
resultante exercida pela parede sobre o bloco vale
51,2 N;
(c) O bloco na˜o se movera´ e o mo´dulo da forc¸a re-
sultante exercida pela parede sobre o bloco vale
70 N;
(d) O bloco na˜o se movera´ e o mo´dulo da forc¸a re-
sultante exercida pela parede sobre o bloco vale
50 N;
(e) O bloco na˜o se movera´ e o mo´dulo da forc¸a re-
sultante exercida pela parede sobre o bloco vale
30 N;
F
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas ( 2×2,6 = 5,2 pontos)
Na˜o sera˜o consideradas respostas sem justificativa; expresse-as somente em func¸a˜o dos dados fornecidos.
1. Uma part´ıcula de massa m esta´ presa a um fio ideal de comprimento ℓ cuja outra extremidade esta´ fixada a um ponto
A no teto.
A part´ıcula e´ largada do repouso quando o fio faz um aˆngulo β com a vertical. Ao passar pelo ponto mais baixo de sua
trajeto´ria, o fio se rompe. Utilize o sistema de coordenadas indicado na figura e despreze todas as resisteˆncias.
a) Fac¸a um diagrama das forc¸as que atuam sobre a part´ıcula no momento
imediatamente anterior ao rompimento do fio.
b) Calcule o vetor velocidade da part´ıcula neste momento, justificando
seus ca´lculos.
c) Calcule o mo´dulo da tensa˜o no fio no instante imediatamente anterior
ao seu rompimento.
d) Sendo h a altura que a part´ıcula se encontra no momento do rom-
pimento do fio, medida a partir do cha˜o, obtenha a distaˆncia ho-
rizontal percorrida por ele desde o instante do rompimento do fio
ate´ o instante em que ele atinge o cha˜o.
2. Uma cunha, formada pela junc¸a˜o de duas rampas inclinadas de aˆngulos α e β, esta´ fixa ao solo. Os blocos de massas m1
e m2 esta˜o ligados por um fio ideal que passa por uma polia ideal fixa no ve´rtice da cunha. Os blocos esta˜o inicialmente
em repouso e cada um deles encontra-se em uma das rampas, como mostra a figura. Desprezando o atrito entre os
corpos e as superf´ıcies das rampas
a) desenhe o diagrama de forc¸as para cada um dos blocos, separada-
mente;
b) supondo que as massas sejam tais que o bloco de massa m1 desc¸a a
rampa a` esquerda, determine o mo´dulo da acelerac¸a˜o a;
c) obtenha a raza˜o m1/m2 para que o sistema permanec¸a em repouso;
d) de acordo com o item (c), qual o valor da trac¸a˜o no fio?
α β
m2m1
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Uma part´ıcula descreve um movimento retil´ıneo. No
gra´fico, esta´ representada a componente da velocidade
desta part´ıcula ao longo da trajeto´ria como func¸a˜o do
tempo. No instante t = 0 s, a part´ıcula esta´ na posic¸a˜o
x = 0 cm. Assinale a afirmativa correta:
(a) A velocidade da part´ıcula no instante t = 0 s vale
vx = 0 cm/s;
(b) A acelerac¸a˜o da part´ıcula no instante t = 2, 5 s
vale ax = −1 cm/s
2;
(c) O deslocamento da part´ıcula no intervalo entre
t = 0 e t = 2 s vale ∆x = 2 cm;
(d) A posic¸a˜o da part´ıcula no instante t = 2 s e´
x = 0 cm;
(e) Nenhuma das respostas anteriores e´ correta.
2. Afirma-se sobre forc¸as conservativas: I) O trabalho rea-
lizado por forc¸as conservativas sobre uma part´ıcula ao
desloca´-la de uma posic¸a˜o inicial a uma posic¸a˜o final
e´ independente da trajeto´ria seguida. II) Uma forc¸a e´
conservativa se o trabalho desta forc¸a ao longo de uma
trajeto´ria fechada qualquere´ nulo. III) A energia poten-
cial associada a uma forc¸a constante e diferente de zero
tambe´m e´ uma constante. Sa˜o corretas as afirmativas
(a) I), II) e III);
(b) I) e III);
(c) II) e III);
(d) I) e II) ;
(e) Nenhuma das afirmativas esta´ correta.
3. A figura mostra a trajeto´ria no plano horizontal de uma
part´ıcula que se desloca da posic¸a˜o A para a posic¸a˜o fi-
nal B. Dentre as setas marcadas nos pontos 1 a 5 da
figura, as que podem representar o vetor acelerac¸a˜o da
part´ıcula no ponto considerado sa˜o
(a) ~a1 e ~a4
(b) ~a1, ~a2 e ~a4
(c) ~a2 e ~a5
(d) ~a3 e ~a4
(e) ~a2 e ~a3
4. A figura mostra a energia potencial U(x) de uma
part´ıcula que move-se ao longo do eixo x sob a ac¸a˜o da
forc¸a resultante ~F = Fxıˆ associada a U(x). A alternativa
FALSA e´
(a) Na posic¸a˜o x4, tem-se a condic¸a˜o de equil´ıbrio
esta´vel;
(b) No deslocamento da part´ıcula da posic¸a˜o x2
para a posic¸a˜o x4, o trabalho realizado sobre a
part´ıcula e´ positivo;
(c) O sentido da forc¸a na posic¸a˜o x6 e´ positivo;
(d) Na posic¸a˜o x3, a forc¸a sobre a part´ıcula e´ nula;
(e) No deslocamento da part´ıcula da posic¸a˜o x3 para
a posic¸a˜o x2, a variac¸a˜o da energia cine´tica e´ po-
sitiva.
1
5. Um bloco move-se com velocidade de mo´dulo constante
sobre uma superf´ıcie plana e horizontal. Sobre ele atuam
a forc¸a peso, as forc¸as normal e de atrito devidas ao
contato do bloco com a superf´ıcie e uma forc¸a que o em-
purra. O trabalho realizado pela forc¸a resultante sobre
o bloco apo´s ele realizar um deslocamento no plano e´
(a) positivo;
(b) negativo;
(c) na˜o e´ poss´ıvel determina´-lo sem conhecer o
mo´dulo da forc¸a de atrito;
(d) na˜o e´ poss´ıvel determina´-lo sem conhecer a sua
trajeto´ria;
(e) nulo;
6. A figura mostra dois blocos, 1 e 2, de massas m1 e m2
respectivamente, em contato sobre uma mesa horizontal
sem atrito. O movimento e´ unidimensional. Se ~F e´ a
forc¸a com que o bloco de massa m2 e´ empurrado, e ~F1
e´ a forc¸a com que o bloco 2 empurra o bloco 1, a raza˜o
entre os mo´dulos F/F1 e´
(a) (m1 +m2)/m2
(b) m2/m1
(c) 1
(d) m2/(m1 +m2)
(e) (m1 +m2)/m1
12
~F
7. Um bloco de massa m e dimenso˜es desprez´ıveis e´ solto
do repouso de uma altura h, e desliza em contato com
uma superf´ıcie de atrito desprez´ıvel, como mostra a fi-
gura. O deslocamento do bloco e o trabalho realizado
pela mola desde o instante de contato entre a mola e o
bloco ate´ o instante de ma´xima compressa˜o da mola sa˜o,
respectivamente,
(a)
√
2mgh/k e −mgh;
(b)
√
2mgh/k e mgh;
(c) mg/k e −mgh;
(d) mg/k e mgh;
(e) Nenhuma das respostas anteriores e´ correta.
h k
8. Uma forc¸a horizontal ~F , de mo´dulo 40 N, empurra um
bloco de peso 30 N contra uma parede vertical. O coe-
ficiente de atrito esta´tico entre a parede e bloco e´ 0,80 e
o de atrito cine´tico e´ 0,60. Suponha que inicialmente o
bloco esteja em repouso. A sentenc¸a correta e´
(a) O bloco comec¸ara´ a se mover e o mo´dulo da forc¸a
resultante exercida pela parede sobre o bloco vale
32 N;
(b) O bloco comec¸ara´ a se mover e o mo´dulo da forc¸a
resultante exercida pela parede sobre o bloco vale
51,2 N;
(c) O bloco na˜o se movera´ e o mo´dulo da forc¸a re-
sultante exercida pela parede sobre o bloco vale
70 N;
(d) O bloco na˜o se movera´ e o mo´dulo da forc¸a re-
sultante exercida pela parede sobre o bloco vale
50 N;
(e) O bloco na˜o se movera´ e o mo´dulo da forc¸a re-
sultante exercida pela parede sobre o bloco vale
30 N;
F
2
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas ( 2×2,6 = 5,2 pontos)
Na˜o sera˜o consideradas respostas sem justificativa; expresse-as somente em func¸a˜o dos dados fornecidos.
1. Uma part´ıcula de massa m esta´ presa a um fio ideal de comprimento ℓ cuja outra extremidade esta´ fixada a um ponto
A no teto.
A part´ıcula e´ largada do repouso quando o fio faz um aˆngulo β com a vertical. Ao passar pelo ponto mais baixo de sua
trajeto´ria, o fio se rompe. Utilize o sistema de coordenadas indicado na figura e despreze todas as resisteˆncias.
a) Fac¸a um diagrama das forc¸as que atuam sobre a part´ıcula no momento
imediatamente anterior ao rompimento do fio.
b) Calcule o vetor velocidade da part´ıcula neste momento, justificando
seus ca´lculos.
c) Calcule o mo´dulo da tensa˜o no fio no instante imediatamente anterior
ao seu rompimento.
d) Sendo h a altura que a part´ıcula se encontra no momento do rom-
pimento do fio, medida a partir do cha˜o, obtenha a distaˆncia ho-
rizontal percorrida por ele desde o instante do rompimento do fio
ate´ o instante em que ele atinge o cha˜o.
Resoluc¸a˜o:
a) valor = 0,4 ponto
O diagrama das forc¸as e´ dado pela figura.
b)valor = 0,8 ponto Como o peso e´ uma forc¸a conservativa e o Trabalho da Tensa˜o e´ nulo, podemos aplicar o
princ´ıpio de conservac¸a˜o da energia mecaˆnica. Considerando Ug = 0 no ponto B temos de acordo com a figura:
mgℓ(1− cos β) =
1
2
mv2
B
Como ∆E = 0 → vB =
√
2gℓ(1− cos β). Assim de acordo com a direc¸a˜o do movimento da part´ıcula em B e
pelo sistema de coordenadas,
~vB =
√
2gℓ(1− cos β)ˆı
c) valor = 0,7 ponto Pela segunda Lei de Newton ~T + ~P = m~a. De acordo com o sistema de coordenadas podemos
escrever esta relac¸a˜o como, T−mg = ma. Como imediatamente antes do fio se romper o movimento e´ circular |~a| = v2
B
/ℓ.
Portanto em B
T =
m
ℓ
v2
B
+mg =
m
ℓ
(2gℓ(1− cos β)) +mg
∴ T = mg(3− 2cos β)
3
d) valor = 0,7 ponto
Quando o fio se rompe a trac¸a˜o no fio se anula neste instante, portanto da segunda Lei de Newton neste instante
ma ′ = −mg, o que corresponde a uma queda livre com acelerac¸a˜o de mo´dulo g.
No sistema de coordenadas adotado, a partir do rompimento do fio, a part´ıcula executa o movimento de um proje´til
lanc¸ado de uma altura h e com velocidade inicial horizontal de mo´dulo vB. Temos assim:



rx(t) = vBt
ry(t) = h−
1
2
gt2
Quando a part´ıcula toca o solo t = tq, rx(tq) = A e ry(tq) = 0. Desta u´ltima relac¸a˜o, 0 = h−
1
2
gt2
q
, portanto tq =
√
2h/g.
Substituindo este resultado em rx(tq), obtemos,
A = vB × tq
Com o resultado obtido de vB
A =
√
2gℓ(1− cos β)×
√
2h/g → A = 2
√
hℓ(1− cos β)
�
2. Uma cunha, formada pela junc¸a˜o de duas rampas inclinadas de aˆngulos α e β, esta´ fixa ao solo. Os blocos de massas m1
e m2 esta˜o ligados por um fio ideal que passa por uma polia ideal fixa no ve´rtice da cunha. Os blocos esta˜o inicialmente
em repouso e cada um deles encontra-se em uma das rampas, como mostra a figura. Desprezando o atrito entre os
corpos e as superf´ıcies das rampas
a) desenhe o diagrama de forc¸as para cada um dos blocos, separada-
mente;
b) supondo que as massas sejam tais que o bloco de massa m1 desc¸a a
rampa a` esquerda, determine o mo´dulo da acelerac¸a˜o a;
c) obtenha a raza˜o m1/m2 para que o sistema permanec¸a em repouso;
d) de acordo com o item (c), qual o valor da trac¸a˜o no fio?
α β
m2m1
Resoluc¸a˜o:
a) valor = (0,6 ponto) O diagrama das forc¸as e´ dado pela figura.
As forc¸as pedidas sa˜o representadas na figura abaixo, onde ~P1 e ~P2 sa˜o os pesos dos dois blocos, ~N1 e ~N2 sa˜o as forc¸as
normais que a superf´ıcie exerce sobre os blocos, ~T1 e ~T2 as trac¸o˜es do fio em cada bloco.
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Primeira Prova de F´ısica IA - 31/03/2014
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5,0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,5 ponto
A vizinhanc¸a da part´ıcula e´ constitu´ıda pela Terra, que exerce
a forc¸a peso ~P , e pela mola, que exerce uma forc¸a ~F orientada da
part´ıcula para o ponto de suspensa˜o P da mola, conforme a figura
ao lado, num tempo t arbitra´rio.
b) valor=1,0 ponto
Pela segunda lei de Newton ~F + ~P = m~a, onde ~a e´ a acelerac¸a˜o
centr´ıpeta da part´ıcula. Projetando os vetores dessa equac¸a˜o em
um eixo horizontal na direc¸a˜o e sentido da acelerac¸a˜o centr´ıpeta e
em um eixo vertical para cima, obtemos
F sin θ = m
v2
R
e F cos θ −mg = 0 . (1)
Da segunda dessas equac¸o˜es obtemos para a forc¸a da mola F = mg/ cos θ, que corresponde a
uma elongac¸a˜o ∆` = F/k, isto e´,
∆` = mg/(k cos θ)
.
c) valor=1,0 ponto
Eliminando F entre as duas equac¸o˜es em (1), obtemos (mg/ cos θ) sin θ = m(v2/R), isto e´,
g tan θ = v2/R, donde
v =
√
gR tan θ
.
2
Questa˜o 2 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,6 pontos
Vamos usar um sistema de eixos no plano da calha com OX horizontal para a direita e
OY vertical para cima. A forc¸a normal a` superf´ıcie da calha e´ perpendicular ao desloca-
mento infinitesimal em cada ponto da trajeto´ria do bloco e, portanto, seu trabalho e´ sem-
pre nulo, WN (A → B) = 0, WN(B → C) = 0 e WN (C → D) = 0. O peso e´ uma forc¸a
constante vertical e, portanto, seu trabalho em qualquer deslocamento de y1 a y2 e´ igual a
−mg(y2 − y1) . Portanto, Wgrav(A → B) = −mg(yB − yA), Wgrav(B → C) = −mg(yC − yB)
e Wgrav(C → D) = −mg(yD − yC), ou seja, Wgrav(A → B) = mgh0, Wgrav(B → C) = 0 e
Wgrav(C → D) = −mgh0 .
b) valor=0,7 pontos
No trecho BC o movimento do bloco e´ horizontal e, portanto, sua acelerac¸a˜o vertical e´ nula.
Consequentemente, o mo´duloN da forc¸a normal da calha sobre o bloco e´ igual ao peso do bloco,
N = mg. Da´ı obtemos para o mo´dulo da forc¸a de atrito cine´tico nesse trecho: f = µN = µmg.
Como a forc¸a de atrito tem sentido oposto ao movimento e e´ constante no trecho BC , obtemos
que seu trabalho nesse trecho e´ Watr(B → C) = −f(xC − xB) = −µmg(2h0) , isto e´,
Watr(B → C) = −2µmgh0
c) valor=1,2 pontos
Pelo teorema do trabalho energia, a variac¸a˜o da energia cine´tica e´ igual ao trabalho total
realizado pelas forc¸as Normal (N), Peso (grav) e atrito (atr), que atuam sobre o bloco ao longo
do seu deslocamento na calha de A para D,
∆KA−D = WTotal(A→ D) = WN (A→ D) +Wgrav(A→ D) +Watr(A→ D)
De acordo com os resultados obtidos no item (a), WN (A → D) = 0 e Wgrav(A→ D) =
−mg(yD − yA) = 0 pois yA = yD = h0.
A forc¸a de atrito atua somente no trecho B −C portanto Watr(A→ D) = Watr(B → C) =
−2µmgh0 , de acordo com o item (b). Logo,
∆KA−D = −2µmgh0.
Consequentemente, (1/2)mv2D − (1/2)mv2A = −2mµgh0, donde
vD =
√
v2A − 4µgh0
Observac¸a˜o: No item (c) podemos obter a variac¸a˜o da energia cine´tica entre A e D e o
mo´dulo da velocidade em D usando o princ´ıpio de conservac¸a˜o da energia mecaˆnica, ∆EA−D =
Watr. Onde ∆EA−D = ∆KA−D+∆UA−D; U e´ a energia potencial gravitacional. Como yA = yD,
UA = UD e ∆UA−D = 0, assim
∆KA−D = −2µmgh0
e, (1/2)mv2D − (1/2)mv2A = −2mµgh0, → vD =
√
v2A − 4µgh0
3
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Primeira Prova de F´ısica IA - 07/10/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5,0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,5 ponto
A part´ıcula esta´ em movimento horizontal circular uniforme de raio ` cos θ em torno da haste,
com acelerac¸a˜o centr´ıpeta de mo´dulo v2/(` cos θ). Pela segunda lei de Newton, a forc¸a resul-
tante ~FR e´ horizontal, orientada da esfera para a haste e de mo´dulo |~FR| = mv
2/(`cos θ).
b) valor=1,5 pontos
Pela segunda lei de Newton ~T1+ ~T2+m~g = m~arad, onde ~arad e´ a acelerac¸a˜o centr´ıpeta. Usando
em um instante qualquer um eixo OX horizontal apontando da part´ıcula para a haste e um
eixo OY vertical apontando para cima, a segunda lei de Newton nos fornece as projec¸o˜es
T1 cos θ + T2 cos θ = marad e T1 sen θ − T2 sen θ −mg = 0, isto e´,
(T1 + T2) cos θ = m
v2
` cos θ
, (1)
(T1 − T2) sen θ = mg , (2)
ou seja, 

T1 + T2 =
ma
cos θ
T1 − T2 =
mg
sen θ
A resoluc¸a˜o desse sistema de equac¸o˜es permite obter, respectivamente,
T1 =
1
2
(
mv2
` cos2 θ
+
mg
sen θ
)
, T2 =
1
2
(
mv2
` cos2 θ
−
mg
sen θ
)
. (3)
c) valor=0,5 ponto
O fio fica esticado se, e somente se, T2 > 0, de modo que no limite mı´nimo T2 = 0. Grac¸as a
segunda equac¸a˜o em (3), essa condic¸a˜o e´ equivalente a mv2min/(` cos
2 θ) = mg/ sen θ, isto e´,
vmin =
√
g` cos2 θ
sen θ
. (4)
2
Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,5 ponto
O trilho e´ liso, logo a forc¸a total ~N que o trilho exerce sobre o anel e´ vertical, ~N = Nyˆ. Como
na˜o ha´ movimento vertical do anel, pela segunda lei de Newton Ny + F sin θ−mg = may = 0,
isto e´, Ny = mg − F sin θ. Portanto,
~N = (mg − F sin θ)ˆ. (1)
b) valor=0,5 ponto
A forc¸a ela´stica em um deslocamento x e´ Fel = −k1x − k2x, isto e´, Fel = −(k1 + k2)x. Na
nova posic¸a˜o de equil´ıbrio x0, as forc¸as horizontais se anulam, Fel + F cos θ = 0, isto e´, −(k1 +
k2)x0 + F cos θ = 0. Portanto,
x0 = F cos θ/(k1 + k2). (2)
c) valor=0,5 ponto
Tendo em vista a expressa˜o da forc¸a ela´stica, a energia potencial ela´stica e´ a mesma de uma
u´nica mola de constante ela´stica k1 + k2. Usando o zero dessa energia potencial em x = 0, ela
e´ dada por,
Uel(x) = (1/2)(k1 + k2)x
2. (3)
d) valor=0,5 ponto
Para a forc¸a constante ~F , a energia potencial em x, com o zero dessa energia em x = 0,
corresponde ao trabalho que a forc¸a constante realizaria se a part´ıcula fosse de x a x = 0, isto
e´, UF (x) = Fx(0− x) . Portanto,
UF (x) = −(F cos θ)x. (4)
e) valor=0,5 ponto
Como as forc¸as que realizam trabalho sa˜o conservativas, ha´ conservac¸a˜o da energia mecaˆnica,
dada por E = (1/2)mv2+(1/2)(k1+ k2)x
2− (F cos θ)x. Igualando o valor dessa energia ao seu
valor em x = 0, em que v = 0, obtemos (1/2)mv2 + (1/2)(k1 + k2)x
2 − (F cos θ)x = 0, ou seja,
(1/2)mv2 = (F cos θ)x− (1/2)(k1 + k2)x
2. Portanto,
v =
[
2
m
(
(F cos θ)x−
1
2
(k1 + k2)x
2
)]1/2
. (5)
3
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2012/2
PRIMEIRA PROVA – 22/05/2013
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Uma massa m esta´ suspensa no campo gravitacional
por uma mola de contante ela´stica k presa ao teto.
Efeitos de atrito sa˜o desprez´ıveis e observa-se que o
sistema oscila verticalmente em torno de sua posic¸a˜o
de equil´ıibrio. A opc¸a˜o correta e´:
(a) A energia mecaˆnica do sistema na˜o se conserva,
pois ale´m da forc¸a gravitacional sobre a massa
ha´, adicionalmente, a forc¸a ela´stica exercida
pela mola.
(b) A energia mecaˆnica do sistema se conserva, se
considerarmos que esta e´ a soma das energias
cine´tica e energia potencial gravitacional da
massa.
(c) A energia mecaˆnica do sistema se conserva, se
considerarmos que esta e´ a soma das energias
cine´tica e energia potencial ela´stica da mola.
(d) A energia potencial total, dada como a soma
das contribuic¸o˜es de energia potencial gravi-
tacional e energia potencial elastica, e´ conser-
vada.
(e) A energia mecaˆnica do sistema se conserva, se
considerarmos queesta e´ a soma das energias
cine´tica e das energias potencial gravitacional
e potencial ela´stica da mola.
2. Um pequeno bloco de massa m sobre uma mesa ho-
rizontal comprime uma mola de constante ela´stica k
de uma distaˆncia d, a partir da posic¸a˜o relaxada da
mola em O, como mostra a figura. Liberado a partir
do repouso, ele realiza um movimento retil´ıneo hori-
zontal para a direita percorrendo depois da posic¸a˜o O
uma distaˆncia d ′, quando atinge o repouso; ha´ uma
forc¸a de atrito constante da superf´ıcie da mesa sobre
o bloco em toda a extensa˜o do movimento. O coefici-
ente de atrito cine´tico µc entre a superf´ıcie e o bloco
e´:
(a)
k
2mg
(d− d ′);
(b)
k
2mg
(d+ d ′);
(c)
k
mg
(d+ d ′);
(d)
k
mg
(d ′);
(e)
k
2mg
(d ′).
1
3. Forc¸as conservativas sa˜o tais que:
(a) Na˜o produzem variac¸a˜o de energia cine´tica.
(b) Na˜o produzem variac¸a˜ode energia potencial.
(c) Na˜o produzem trabalho jamais.
(d) Produzem trabalho em trajeto´rias fechadas
(e) Na˜o produzem trabalho em trajeto´rias fecha-
das.
4. Um proje´til e´ lanc¸ado do solo com uma velocidade que
faz um aˆngulo θ0 com a horizontal (0 < θ0 < π/2).
Ignorando efeitos de resisteˆncia do ar e considerando
o intervalo de tempo decorrido entre o instante do
lanc¸amento e o instante em que o proje´til atinge a
altura ma´xima, pode-se afirmar que o aˆngulo entre
o vetor velocidade me´dia e o vetor acelerac¸a˜o me´dia
e´:
(a) igual a θ0
(b) igual a θ0/2
(c) maior do que π + θ0/2
(d) menor do que π/2 + θ0
(e) igual a π/2− θ0
5. Dois carros A e B (considerados como part´ıculas) par-
tem da mesma posic¸a˜o no instante t = 0 e percorrem
estradas perpendiculares, seguindo para o norte e o
leste, respectivamente, com velocidades constantes ~vA
e ~vB. A distaˆncia d entre os dois carros no instante t
satisfaz a` relac¸a˜o
(a) |~vA| t < d < |~vB| t;
(b) |~vB| t < d < |~vA| t;
(c) d =
√
|~vA|2 + |~vB|2 t ;
(d) d =
√
|~vA|2 − |~vB|2 t;
(e) d = |~vA| t− |~vB| t.
6. A figura mostra um trilho no plano horizontal no qual
uma part´ıcula desloca-se da posic¸a˜o A para a posic¸a˜o
B. Dentre os vetores ~a1, ~a2 e ~a3 indicados na fi-
gura, na˜o pode(m) representar uma acelerac¸a˜o da
part´ıcula, nas respectivas posic¸o˜es 1, 2, e 3,
(a) ~a1;
(b) ~a2;
(c) ~a3;
(d) ~a1 e ~a2;
(e) ~a2 e ~a3;
7. Uma part´ıcula desloca-se ao longo do eixo x sob a
ac¸a˜o de uma forc¸a conservativa ~F , correspondente a
um potencial U(x), dado pela figura abaixo. Para este
potencial entre as opc¸o˜es abaixo a u´nica incorreta e´:
(a) na posic¸a˜o xB a forc¸a sobre a part´ıcula e´ nula;
(b) na posic¸a˜o xD, tem-se a condic¸a˜o de equil´ıbrio
insta´vel;
(c) no deslocamento do corpo de xA para xB o tra-
balho realizado pela forc¸a ~F e´ negativo;
(d) o sentido da forc¸a ~F na posic¸a˜o xE e´ positivo;
(e) na posic¸a˜o xC a forc¸a ~F na˜o e´ nula.
2
8. Um bloco encontra-se em equil´ıbrio suspenso por
uma mola de constante ela´stica k, presa ao teto e com
alongamento d. O bloco e´ levantado ate´ a posic¸a˜o
em que o alongamento e´ nulo e abandonado a partir
do repouso. Ao descer uma altura d/2 o bloco ganha
uma energia cine´tica,
(a) (1/2)kd2 ;
(b) (1/4)kd2;
(c) (3/4)kd2;
(d) (3/8)kd2;
(e) 2kd2.
9. Uma part´ıcula de massa m esta´ dentro de um funil de
vidro e percorre a sua superf´ıcie interior com um mo-
vimento circular uniforme horizontal. Na˜o ha´ atrito
entre a parede do funil e a part´ıcula. O aˆngulo que a
parede do funil faz com o seu eixo de simetria e´ igual
a θ, como mostra a figura. Desprezando a presenc¸a do
ar, o mo´dulo da forc¸a da superf´ıcie sobre a part´ıcula
e o mo´dulo da acelerac¸a˜o centr´ıpeta da part´ıcula sa˜o,
respectivamente,
(a) mg/cosθ e g/tanθ
(b) mg/senθ e g/cotθ
(c) mg/cosθ e g/cotθ
(d) mg/senθ e g/senθ
(e) mg/senθ e g/tanθ
10. Em um lago tranquilo treˆs barcos A, B e C teˆm veloci-
dades respectivas ~vA=vıˆ−vˆ, ~vB=vıˆ e ~vC=−vıˆ+vˆ
(v uma constante dada), todas relativas ao referen-
cial constitu´ıdo por um oˆnibus estacionado na margem
com um sistema de eixos OXY Z, sendo OXY na ho-
rizontal, conforme a figura. Considere o barco A como
um referencial com sistema de eixos OAXAYAZA, cada
um deles com mesma direc¸a˜o e sentido dos respectivos
eixos de OXY Z. Em relac¸a˜o ao referencial do barco
A as velocidades do oˆnibus, do barco B e do barco C
sa˜o, respectivamente,
O X
Y
vA
OA XA
YA
vB
vC
(a) ~v ′
O
=−vıˆ+ vˆ, ~v ′
B
=vˆ e ~v ′
C
=−2vıˆ+ 2vˆ.
(b) ~v ′
O
=vıˆ+ vˆ, ~v ′
B
=vˆ e ~v ′
C
=2vıˆ+ 2vˆ
(c) ~v ′
O
=−vıˆ+ vˆ, ~v ′
B
=vˆ e ~v ′
C
=−2vıˆ− 2vˆ
(d) ~v ′
O
=vıˆ− vˆ, ~v ′
B
=vˆ e ~v ′
C
=2vıˆ+ 2vˆ
(e) nenhuma das respostas anteriores.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. A figura seguinte representa um sistema formado por duas cunhas A e B, ambas com massa igual a m, sobre uma
superf´ıcie horizontal perfeitamente lisa; na˜o ha´ contato entre a cunha A e essa superf´ıcie horizontal. O coeficiente
de atrito esta´tico entre as superf´ıcies das cunhas e´ igual a µe. Sob a ac¸a˜o de uma forc¸a ~F horizontal constante,
aplicada em B, como mostra a figura, o sistema se move em movimento retil´ıneo uniformemente acelerado, sem
que a cunha A deslize sobre a cunha B. O mo´dulo de ~F e demais condic¸o˜es sa˜o tais que o atrito entre as cunhas
tem que impedir a cunha A de deslizar para cima sobre a B. Considere como dados m, µe, ~F , o aˆngulo θ indicado
na figura e a acelerac¸a˜o da gravidade ~g.
a) Determine a forc¸a resultante sobre a cunha A.
b) Calcule o mo´dulo da forc¸a total que a cunha B exerce sobre a cunha A.
c) Represente em um diagrama todas as forc¸as que agem sobre cada uma das cunhas.
d) Calcule o mo´dulo da forc¸a de atrito entre as cunhas.
e) Determine a ma´xima intensidade da forc¸a aplicada ~F , de modo que a cunha A ainda na˜o suba deslizando sobre
a cunha B.
2. Um objeto de massa m e dimenso˜es desprez´ıveis parte do repouso e de uma altura 4R, deslizando por uma rampa
suave ate´ encontrar uma superf´ıcie horizontal, por onde segue ate´ encontrar uma rampa circular de raio R, sobre a
qual continua seu movimento (veja a figura). Na˜o ha´ atrito em todo o percurso do objeto, que se da´ em um mesmo
plano vertical (da figura). Expressando suas respostas em termos dos unita´rios horizontal ıˆ e vertical ˆ indicados
na figura, determine
a) o vetor velocidade, ~v, nos pontos A, B e C;
b) o vetor de forc¸a normal, ~N , nos pontos A, B e C.
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Primeira Prova de F´ısica IA - 22/05/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5.0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Observac¸a˜o: a questa˜o 2 da prova A foi anulada e demais correspondentes das provas B,
C e D; tarja preta. O texto na˜o cita que o bloco esta´ permanentemente preso a` mola e o
desenho na˜o mostra esta condic¸a˜o, embora a u´nica opc¸a˜o compat´ıvel seja a resposta (a)
da questa˜o, admtindo que o bloco esta´ preso a` mola.
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2.5 pontos)
a) valor=0.5 ponto
Pela segunda lei de Newton, o sistema de massa 2m se move com uma acelerac¸a˜o dada por
~a = ~F/(2m). A cunha A se move com a mesma acelerac¸a˜o ~a do conjunto. A resultante
das forc¸as que atuam na cunha A corresponde a` soma vetorial das forc¸as ~NA, ~P e ~fe.
Usando a segunda lei de Newton para a cunha A,
~NA + ~P+ ~fe = m~a = m ~F/(2m) = ~F/2,
ou diretamente neste caso:
~FA = m~a → ~FA = ~F/2
b) valor=0.5 ponto
A forc¸a total exercida pela cunha B na cunha A e´ dada pela soma ~NA+ ~fe. Pela equac¸a˜o
acima,
| ~NA + ~fe| = |~F/2− ~P | =
√
(F/2)2 + (−P )2 =
√
F 2/4 + (mg)2
c) valor=0.5 ponto
O diagrama de forc¸as das cunhas A e B sa˜o mostrados na figura abaixo, onde os vetores
indicados por (′) correspondem a`s reac¸o˜es das forc¸as correspondentes.
d) valor=0,5 ponto
Projetando as forc¸as nas direc¸o˜es dos eixos x e y, e aplicando a
segunda lei de Newton,


NAsenθ+ fe cos θ = max = F/2
NA cos θ − fesenθ = may = 0
Resolvendo esse sistema de equac¸o˜es lineares nas inco´gnitas NA e
fe, obtemos o mo´dulo fe da forc¸a de atrito entre as cunhas:
fe = (1/2)Fcosθ −mg senθ
2
e) valor=0,5 ponto
A intensidade ma´xima Fmax da forc¸a aplicada corresponde a` situac¸a˜o em que a cunha A
esta´ na imineˆncia de deslizar sobre a cunha B. Nesse caso o mo´dulo da forc¸a de atrito
esta´tico atinge o seu valor ma´ximo µeN . Usando os resultados do item (d), obtemos o
mo´dulo da forc¸a normal N.
NA = (1/2)Fsenθ +mg cosθ
Com a condic¸a˜o de que o atrito ma´ximo dado por |~fe| = µeNA, temos:
(1/2)Fmax cosθ −mg senθ = µe [(1/2)Fmax senθ +mg cosθ]
∴ Fmax=2mg
(
senθ + µe cosθ
cosθ − µe senθ
)
3
Questa˜o discursiva 2 (valor=2.5 pontos)
a) valor=1,3 pontos
Usando a lei de conservac¸a˜o da energia mecaˆnica podemos calcular os mo´dulos das veloci-
dades em A, B e C. Os sentidos e direc¸o˜es dos vetores velocidade sa˜o dados em func¸a˜o do
movimento se dar de A→ B → C e de que o vetor velocidade e´ tangente a` trajeto´ria.
Em A: 4mgR = 1
2
mv2A. Assim, vA = 2
√
2gR → ~vA = 2
√
2gRıˆ.
Em B: 4mgR = mgR + 1
2
mv2B. Assim, vB =
√
6gR → ~vB =
√
6gRˆ.
Em C: 4mgR = 2mgR + 1
2
mv2C. Assim, vC = 2
√
gR → ~vC = −2
√
gRıˆ.
b) valor=1,2 pontos
No trecho circular do movimento ascendente, a projec¸a˜o da resultante na direc¸a˜o radial e´
identificada a` forca centr´ıpeta. Com os valores das velocidade obtidos do item anterior,
temos,
Em A: NA −mg = mv
2
A
R
= 8mg. Assim, NA = 9mg → ~NA = 9mgˆ.
Em B: NB =
mv2B
R
= 6mg. Assim, NB = 6mg → ~NB = −6mgıˆ.
Em C: NC +mg =
mv2C
R
= 4mg. Assim, NC = 3mg → ~NC = −3mgˆ.
4
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2.
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S
.
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Primeira Prova de F´ısica IA - 7/12/2012
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5.0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2.5 pontos)
a) valor=0.5 ponto
Escolhendo o zero do potencial gravitacional no solo, a energia mecaˆnica do ponto C sera´:
EC = KC + UgC + UelC =
k (∆x)2
2
. (1)
Ja´ a energia mecaˆnica no ponto A sera´:
EA = KA + UgA =
mv2A
2
. (2)
A energia mecaˆnica conserva-se, pois na˜o ha´ forc¸as dissipativas atuando no sistema,
enta˜o:
EA = EC =⇒
mv2A
2
=
k (∆x)2
2
⇒ vA =
√
k
m
∆x. (3)
b) valor=0.5 ponto
A energia mecaˆnica no ponto B sera´:
EB = KB + UgB =
mv2B
2
+ 2mgR. (4)
A energia mecaˆnica conserva-se, enta˜o:
EB = EC =⇒
mv2B
2
+ 2mgR =
k (∆x)
2
2
=⇒ vB =
√
k
m
(∆x)2 − 4gR. (5)
c) valor=1.0 ponto
O diagrama de forc¸as no ponto B e´ dado pela figura abaixo onde uˆr = rˆ.
As forc¸as presentes no ponto B, sa˜o a normal, ~N = −| ~N|rˆ e o peso, ~P = −mgrˆ.
Na direc¸a˜o radial, a forc¸a resultante e´ a forc¸a radial dirigida para o centro (forc¸a
“centr´ıpeta”), ~Fc = − (mv
2
B/R) rˆ.
2
Assim na direc¸a˜o radial:
| ~N |+mg =
mv2B
R
=⇒ | ~N | =
mv2B
R
−mg. (6)
O resultado final de | ~N | em func¸a˜o dos dados do problema e´ obtido, substituindo a Eq.
(5) na Eq. (6), encontra-se assim:
| ~N | =
k
R
(∆x)2 − 5mg. (7)
d) valor=0,5 ponto
O carrinho completa o “loop” quando na˜o perde o contato com o mesmo (| ~N | 6= 0). O
caso limite ocorre quando o carrinho esta´ na imineˆncia de perder o contato no ponto B,
ou seja, | ~NB| = 0.
Maneira 1:
Nesta situac¸a˜o a vB e´ mı´nima (pois acima do valor mı´nimo de vb, o carrinho consegue
completar o “loop”) e o lanc¸ador deve ser comprimido de ∆Xmin. Usando que no ponto
B, | ~N | = 0 na Eq. (7), temos
0 =
k
R
(∆Xmin)
2 − 5mg =⇒ ∆Xmin =
√
5mgR
k
. (8)
Maneira 2:
Nesta situac¸a˜o a vB e´ mı´nima (pois acima disto, o carrinho consegue completar o “loop”),
cujo valor pode ser encontrado atrave´s da Eq. (6), na condic¸a˜o cr´ıtica, | ~N | = 0:
0 =
mv2B min
R
−mg =⇒ vB min =
√
gR. (9)
Substituindo a Eq. (9) na Eq. (5), onde a compressa˜o ∆x e´ mı´nima:
√
gR =
√
k
m
(∆Xmin)
2
− 4gR =⇒ ∆Xmin =
√
5mgR
k
. (10)
3
Questa˜o discursiva 2 (valor=2.5 pontos)
a) valor=1,0 ponto
O proje´til executa um movimento com acelerac¸a˜o constante, pois ~a = ~g. Assim a posic¸a˜o
e a velocidade do proje´til apo´s o lanamento sa˜o dadas pelas expresso˜es:
~r(t) = ~r0 + ~v0t+
~at2
2
, (11)
~v(t) = ~v0 + ~at. (12)
Usando o sistema de coordenadas indicado na figura:
~r0 = hˆ (13)
~v0 = |~v0| cosαıˆ + |~v0|sen αˆ = v0 cosαıˆ + v0sen αˆ (14)
~a = ~g = −gˆ (15)
O vetor posic¸a˜o do proje´til, ~r, e´ obtido substituindo-se as Eqs. (13), (14) e (15) na
Eq. (11):
~r(t) = ~r0 + ~v0t+
~at2
2
hˆ+ (v0 cos αˆı + v0sen αˆ)t−
gt2
2
ˆ (16)
~r(t) = v0 cosαtıˆ+
(
h+ v0sen αt−
gt2
2
)
ˆ (17)
O vetor velocidade do proje´til, ~v, e´ obtido substituindo-se as Eqs. (14) e (15) na Eq.
(12):
~v(t) = ~v0 + ~at = v0 cosαıˆ + v0sen αˆ− gtˆ = v0 cosαıˆ + (v0sen α − gt) ˆ (18)
b) valor=0,5 ponto
Na altura ma´xima, a componente vertical da velocidade do proje´til anula-se. Seja tH,
o tempo necessa´rio para que o proje´til atinja o ponto mais alto da trajeto´ria. Fazendo
vy(tH) = 0 na Eq. (18), temos que:
v0sen α − gtH = 0 =⇒ tH =
v0sen α
g
. (19)
c) valor=0,5 ponto
O tempo de voo, tS, e´ o tempo que o proje´til leva ate´ atingir o solo. Isto ocorre, no
sistema de coordenadas da figura, quando ry(tS) = 0. Usando esta condic¸a˜o na Eq. (17),
encontramos:
h+ v0sen αtS −
gt2S
2
= 0 =⇒ tS =
1
g
[v0sen α +
√
v2
0
sen2α + 2gh
]
, (20)
onde desprezamos a soluc¸a˜o tS < 0.
4
d) valor=0,5 ponto
O mo´dulo da velocidade ao atingir o solo, vS = |~v(tS)|, pode ser obtido de va´rias maneiras:
Maneira 1:
Como a acelerac¸a˜o e´ constante podemos utilizar a equac¸a˜o de Torricelli:
v2(tS) = v
2
0
+ 2~a ·∆~r =⇒ v2S = v
2
0
+ 2(−gˆ) · (∆xıˆ− hˆ) (21)
∴ v2S = v
2
0
+ 2gh =⇒ vS =
√
v2
0
+ 2gh. (22)
Maneira 2:
Pela definic¸a˜o, temos que o mo´dulo de vS e´ vS = |~v(tS)| =
√
v2x(tS) + v
2
y(tS), usando as
Eqs. (18) e (20):
vS =
√
v2
0
cos2 α+ (v0sen α− gtS)
2
=
√
v2
0
cos2 α+
(
v0sen α− v0sen α+
√
v2
0
sen2α+ 2gh
)
2
=
√
v2
0
cos2 α+
(√
v2
0
sen2α + 2gh
)2
=
√
v2
0
cos2 α+ v2
0
sen2α+ 2gh =
√
v2
0
+ 2gh (23)
Maneira 3:
Por considerac¸o˜es de conservac¸a˜o de energia mecaˆnica temos:
E0 = mgh+
1
2
mv2
0
e Esolo =
1
2
mv2S
Como ∆E = 0,
E0 = Esolo ⇒ |~vS| = vS =
√
v2
0
+ 2gh
Maneira 4:
Aplicando o Teorema-Trabalho Energia, ∆K = W TOTAL, logo:
1
2
mv2S −
1
2
mv2
0
= WPeso = −∆U = mgh
∴ |~vS| = vS =
√
v2
0
+ 2gh
5
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2012/1
PROMEIRA PROVA (P1) – 27/04/2012
VERSA˜O: A
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha CORRETA, LEGI´VEL E TOTALMENTE os campos em branco do cabec¸alho do caderno
de resoluc¸a˜o, fornecido em separado.
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. Acima da tabela de respostas das questo˜es objetivas, na primeira pa´gina do caderno de resoluc¸a˜o, INDI-
QUE CLARAMENTE A VERSA˜O DA PROVA (A, B,. . . ).
4. O item considerado correto, em cada uma das questo˜es objetivas, deve ser assinalado, A CANETA (de
tinta azul ou preta), na tabela de respostas correspondente do caderno de resoluc¸a˜o
5. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
6. Seja organizado e claro.
Formula´rio
sen2θ + cos2θ = 1, sen2θ = 2senθcosθ
sen(α± θ) = senαcosθ ± cosαsenθ, cos(α± θ) = cosαcosθ ∓ senαsenθ
d
dx
xn = nxn−1
∫
xndx =
xn+1
n+ 1
(n 6= −1)
d
dx
senax = acosax,
d
dx
cosax = −asenax
Lei dos senos:
a
senα
=
b
senβ
=
c
senγ
Lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 − 2bc cosα
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Um carro sobe uma ladeira em linha reta com
velocidade constante em relac¸a˜o a um referencial
fixo ao cha˜o da ladeira; considere a Terra como um
referencial inercial. Uma pessoa num helico´ptero
observa que a velocidade do carro em relac¸a˜o a
ele e´ zero. Qual destas afirmac¸o˜es em relac¸a˜o ao
referencial do helico´ptero e´ verdadeira?
(a) A acelerac¸a˜o do helico´ptero em relac¸a˜o ao
referencial fixo do cha˜o e´ diferente de zero
(b) O referencial do helico´ptero e´ inercial
(c) As leis de Newton na˜o sa˜o aplica´veis nesse
referencial
(d) Como a velocidade do helico´ptero na˜o e´
dada na˜o e´ poss´ıvel saber se o referencial
do helico´petero e´ inercial ou na˜o.
(e) Nenhuma das respostas anteriores
2. Um corpo de massa m ao ser largado de uma al-
tura H, a partir do repouso, num plano inclinado
de um aˆngulo θ em relac¸a˜o a horizontal, atinge
uma velocidade de mo´dulo v ao chegar na base do
plano. Ha´ atrito entre o corpo e a superf´ıcie do
plano sendo o coeficiente de atrito cine´tico igual a
µ. O mesmo corpo quando largado sob as mesmas
condic¸o˜es em outro plano de mesma inclinac¸a˜o,
mas sem atrito, atinge a base do plano com uma
velocidade cujo mo´dulo e´ o dobro da situac¸a˜o an-
terior. O valor de µ e´ igual a:
(a) 2
3
tan θ
(b) 1
2
tan θ
(c) 3
4
tan θ
(d) tan θ
(e) 1
2
cos θ
3. Ao ser disparado verticalmente um proje´til atinge
uma altura ma´xima h. Se o mesmo proje´til e´
disparado numa direc¸a˜o que faz um aˆngulo θ
(θ < π/2) com a horizontal, a altura ma´xima atin-
gida e´ igual a:
(a) h cos θ
(b) (h/2) tan θ
(c) (h/2) sen θ
(d) h sen 2θ
(e) h sen2θ
4. Uma part´ıcula descreve um movimento circular,
com velocidade de mo´dulo constante e igual a V .
Num intervalo de tempo em que percorre 1/4 da
circunfereˆncia, o mo´dulo de seu vetor velocidade
me´dia e´ igual a
(a) 2
√
2
pi
V
(b) 1
4
V
(c) 2V
(d) pi
2
V
(e)
√
2
2
V
5. O vetor posic¸a˜o de um corpo em func¸a˜o do tempo,
t, e´ ~r(t) = ~r0 + ~v0t +
1
2
~at2, onde ~r0(posic¸a˜o ini-
cial), ~v0(velocidade inicial) e ~a(acelerac¸a˜o) sa˜o ve-
tores constantes. Afirma-se que: I) se ~v0 e ~a tem
a mesma direc¸a˜o o movimento e´ retil´ıneo. II) a
trajeto´ria e´ um arco de para´bola para qualquer ~a.
III) esta equac¸a˜o descreve um movimento circular
uniforme. IV) se ~a = 0 o movimento e´ retil´ıneo e
uniforme. A resposta correta e´:
(a) I e II esta˜o corretas
(b) I e III esta˜o corretas
(c) II e III esta˜o corretas
(d) I e IV esta˜o corretas
(e) nenhuma delas esta correta
6. Sobre um corpo atuam duas forc¸as bidimensio-
nais ~F1 e ~F2 e a acelerac¸a˜o do corpo e´ nula. Qual
afirmac¸a˜o e´ verdadeira?
(a) ~F1 e ~F2 constituem o par ac¸a˜o e reac¸a˜o
(b) A forc¸a ~F1 e´ igual a` forc¸a ~F2
(c) Se em relac¸a˜o a um sistema de refereˆncia
a componente de ~F1 em relac¸a˜o a ıˆ e´ posi-
tiva e a componente de ~F1 em relac¸a˜o a ˆ
e´ negativa enta˜o nesse mesmo referencial
a componente de ~F2 em relac¸a˜o a ıˆ e´ ne-
gativa e a componente de ~F2 em relac¸a˜o
a ˆ e´ positiva
(d) A forc¸a ~F1 tem o mesmo mo´dulo que a
forc¸a ~F2 pois as componentes de ~F1 e
~F2 sa˜o iguais em qualquer sistema de re-
fereˆncia
(e) A forc¸a ~F1 tem o mesmo mo´dulo que a
forc¸a ~F2 mas na˜o existe nehuma relac¸a˜o
entre as componentes destas forc¸as pois
estas dependem do sistema de refereˆncia
escolhido
2
7. Uma u´nica forc¸a conservativa atua em uma
part´ıcula paralela ao eixo horixontal OX de um
sistema de coordenadas. A energia potencial
desta forc¸a e´ dada pela figura abaixo. Qual opc¸a˜o
representa corretamente os vetores(direc¸a˜o, inten-
sidade e sentido) das forc¸as que atuam sobre a
part´ıcula nos pontos A e B respectivamente.
A
B
3)1) 2) 5)4)
(a) diagrama 4
(b) diagrama 1
(c) diagrama 5
(d) diagrama 2
(e) diagrama 3
8. Um corpo de massa m e´ visto descendo um plano
com velocidade constante; so´ ha´ o plano e o corpo.
Sabendo-se que o aˆngulo de inclinac¸a˜o do plano
em relac¸a˜o a` horizontal e´ igual a θ, pode-se afir-
mar que a resultante das forc¸as que o plano incli-
nado exerce sobre o corpo tem mo´dulo igual a
(a) mg senθ
(b) mg
(c) mg cosθ
(d) mg (1− senθ)
(e) mg (1 + cosθ)
9. Considere um peˆndulo constituido de um fio de
massa desprez´ıvel de comprimento L e um corpo
de massa m. Preso ao teto o fio e´ esticado hori-
zontalmente e o peˆndulo abandonado a partir do
repouso. Para que o peˆndulo movimente-se sem
o fio arrebentar, a intensidade de trac¸a˜o mı´nima
que o fio deve suportar e´:
(a) mg
(b)
√
2mg
(c) 3
2
mg
(d) 3mg
(e) 4mg
10. Um observador parado no solo veˆ um pacote
caindo de um avia˜o, com uma velocidade de
mo´dulo igual a v1, mas que faz um certo aˆngulo
com a vertical; considere a Terra um refereˆncial
inercial. Simultaneamente o piloto do avia˜o, que
voa na horizontal com velocidade constante, veˆ o
mesmo pacote caindo na vertical, com velocidade
de mo´dulo igual a v2. O mo´dulo da velocidade do
avia˜oem relac¸a˜o ao observador no solo e´
(a)
√
v21 − v
2
2
(b)
√
v21 + v
2
2
(c) v2 + v1
(d) v2 − v1
(e) v1 − v2
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Um bloco de massa M esta´ sob a ac¸a˜o de uma forc¸a horizontal
~F constante sobre uma superf´ıcie horizontal sem atrito. Sobre
ele ha´ um bloco de massa m, preso a` esquerda por um fio ideal.
Este fio passa por uma roldana ideal que encontra-se fixa a
uma parede vertical, e o conecta ao bloco de massa M . Os
segmentos do fio sa˜o paralelos ao plano horizontal; vide a figura
ao lado. Suponha que haja atrito entre os blocos em contato
entre si. Considere como conhecidos os valores dos coeficientes
de atrito esta´tico µe e cine´tico µc, as massas m e M e o mo´dulo
da acelerac¸a˜o da gravidade g.
a) Isole os blocos e represente por meio de um diagrama
de corpo livre todas as forc¸as que atuam em cada um deles.
b) Suponha inicialmente que os blocos estejam em repouso.
Determine o valor ma´ximo do mo´dulo de ~F , Fmax para que o
sistema permanec¸a em repouso.
c) Considere agora que ~F , cujo mo´dulo e´ igual a F ′, seja capaz
de colocar os blocos em movimento com acelerac¸a˜o constante.
Para o intervalo de tempo no qual os blocos permanecem em
contato entre si, determine os vetores acelerac¸a˜o de cada bloco,
em func¸a˜o de F ′, µc, m, M e g.
d) Determine o mo´dulo da trac¸a˜o do fio, para o caso do item
anterior c).
2. Um bloco de massa m e dimenso˜es desprez´ıveis encontra-se
sobre um plano horizontal. Ele comprime uma mola de cons-
tante ela´stica k no ponto A de uma distaˆncia d em relac¸a˜o a`
posic¸a˜o O; conforme mostra a figura. Liberado neste ponto
a partir do repouso ele percorre o trajeto A-O-B perdendo
contato com a mola no ponto O, onde a mola esta´ relaxada.
Somente entre os pontos O e B, separados de uma distaˆncia
desconhecida ha´ atrito. O coeficiente de atrito cine´tico en-
tre as superf´ıcies do bloco e do plano e´ µc na regia˜o O-B.
Apo´s o ponto B ha´ uma rampa sem atrito. A partir do
ponto C, final da rampa, a superf´ıcie e´ horizontal e tem uma
alturaH em relac¸a˜o a` horizontal do trechoA-O-B; vide a figura.
a) Determine a velocidade do bloco no ponto O;
b) Determine a distaˆncia D entre os pontos O e B, supondo
que a velocidade do bloco em B e´ nula;
c) Determine a compressa˜o mı´nima, xmin, da mola necessa´ria
para que o bloco atinja o ponto C no topo da rampa.
A BO
C
H
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Primeira Prova de F´ısica IA - 27/04/2012
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1
a) valor=1.0 pontos
Diagrama de forc¸as:
As forc¸as ~Pm e ~PM sa˜o as forc¸as peso, ~T a trac¸a˜o do fio, ~Nm e ~NM as forc¸as normais, ~F
′
at
e´ a forc¸a de atrito que age sobre M e ~Fat a sua reac¸a˜o agindo sobre m, ~F a forc¸a aplicada
sobre M e ~N ′m a reac¸a˜o de
~Nm.
b) valor=0.5 pontos
Na situac¸a˜o esta´tica ~Fat ≡ ~Fe e na dinaˆmica ~Fat ≡ ~Fd. Os mo´dulos das tenso˜es nos
extremos da corda teˆm igual mo´dulo pois a corda e a roldana teˆm massas desprez´ıveis e sa˜o
consideradas ideais. Vamos considerar que estamos na imineˆncia do movimento dos blocos
nesse caso ~Fat = ~F
(max)
e = µeNm ıˆ. Nesta situac¸a˜o o mo´dulo da forc¸a aplicada |~F | = Fmax
e´ a forc¸a necessa´ria para estarmos no limiar do movimento (ainda a velocidade e´ nula
mas qualquer valor levemente superior a Fmax fara´ o sistema se movimentar). Portanto a
segunda lei de Newton para o bloco de massa m e´:
~Nm + ~F
(max)
at + ~T + ~Pm = m~a = ~0 (1)
que escrita em componentes fica,
ıˆ) F (max)e − T = 0 ⇒ T = F
(max)
e = µeNm (2)
e
ˆ) Nm − Pm = 0 ⇒ Nm = mg . (3)
A segunda lei de Newton para o bloco de massa M e´:
~NM + ~F
(max)′
at + ~T + ~PM + ~N
′
m +
~Fmax =M~a = ~0, (4)
2
que escrita em componentes fica,
ıˆ) Fmax − F
(max)′
e − T = 0 ⇒ Fmax = µemg + T = 2µemg , (5)
e
ˆ) NM −N
′
m − Pm = 0 ⇒ NM = (m+M)g , (6)
Note que ~Nm e ~N
′
m assim como
~F
(max)
at e
~~F
(max)′
at constituem os respectivos pares ac¸a˜o e
reac¸a˜o. Ao substituimos o valor de Nm achado na Eq. (3) na Eq. (2) obtemos o valor de
T . Finalmente da Eq. (5) obtemos o valor
Fmax = 2µemg
c) valor=0.5 pontos
Na situac¸a˜o dinaˆmica, para o bloco de massa m temos que ~Fat = Fc ıˆ = µcNm ıˆ = µcmg ıˆ.
Enta˜o a componente na direc¸a˜o ıˆ da segunda lei de Newton da Eq.(1) e´,
ıˆ) Fc − T = ma1 ,⇒ µcmg − T = ma1 . (7)
Na direc¸a˜o ˆ a equac¸a˜o e´ ana´loga a equac¸a˜o (3).
Para o bloco de massa M a componente ıˆ da segunda lei de Newton na Eq.(4) e´:
ıˆ) F ′ − Fc − T =Ma2 ⇒ , F
′ − µcmg − T =Ma2 . (8)
A componente ˆ e´ ana´loga a` equac¸a˜o (6).
Como o fio e´ inextens´ıvel ~a2 = a ıˆ = −~a1 (a > 0), ou seja, enquanto o bloco de massa
M acelera para a direita o bloco de massa m acelera para a esquerda. Assim, finalmente
temos o sistema de equac¸o˜es: 

µcmg − T = −ma
F ′ − µcmg − T =Ma
onde as inco´gnitas sa˜o T e a. Resolvendo o sistema temos que:
T = µdmg + (F
′ − 2µcmg)m/(m+M) (9)
e a = (F ′ − 2µcmg)/(m+M). Portanto:
~a1 = −(F
′ − 2µcmg)/(m+M) ıˆ , (10)
e a acelerac¸a˜o do bloco de massa M e´:
~a2 = (F
′ − 2µcmg)/(m+M) ıˆ . (11)
d) valor= 0.5 pontos
A valor da trac¸a˜o que atua no fio e´:
T =
m
m+M
(F ′ + µc(M −m)g). (12)
3
Questa˜o discursiva 2
a) valor=1.0 pontos
A energia mecaˆnica conserva-se no trecho A-O pois na˜o ha´ atrito, a forc¸a de reac¸a˜o
normal na˜o realiza trabalho e o peso e a forc¸a da mola sa˜o conservativas. Escolhendo
o trecho A-O-B como o “zero” da energia potencial gravitacional, temos que a energia
mecaˆnica no ponto A e´ dada unicamente pela energia potencial ela´stica, pois e´ solto do
repouso, assim: EA = kd
2/2, no ponto O, a energia mecaˆnica e´ dada unicamente pela
energia cine´tica, pois a mola encontra-se relaxada, logo EO = mv
2
0/2. Pela conservac¸a˜o
da energia mecaˆnica encontramos a velocidade no ponto O
EA = EO ⇒
kd2
2
=
mv2O
2
→ vO =
√
k
m
d.
b) valor=1.0 pontos
Temos duas maneiras de resolver o problema, e em ambas, e´ necessa´rio calcular o
trabalho da forc¸a de atrito no trecho O-B:
W~Fat =
~Fat · ~OB = |~Fat|| ~OB| cos pi = −|~Fat|| ~OB| = −µcND = −µcmgD.
Maneira 1: Usemos que a variac¸a˜o da energia mecaˆnica e´ igual ao trabalho das forc¸as
na˜o-conservativas, enta˜o
∆K =
=0︷︸︸︷
KB − KO︸︷︷︸
mv2
O
2
=
−µcmgD︷︸︸︷
W~Fat
∴ −
mv2O
2
= −µcmgD ⇒ D =
v2O
2µcg
→ D =
kd2
2µcmg
,
onde usamos o resultado da al´ınea (a) na u´ltima passagem.
Maneira 2: Neste caso utilizemos diretamente o teorema do trabalho energia cine´tica
∆K =
=0︷︸︸︷
KB − KO︸︷︷︸
mv2
O
2
=
−µcmgD︷︸︸︷
W~Fat ⇒ −
mv2O
2
= −µcmgD
∴ D =
v2O
2µcg
→ D =
kd2
2µcmg
,
aqui, o resultado da al´ınea (a) na u´ltima passagem tambe´m foi usado.
4
c) valor=0.5 pontos
A compressa˜o mı´nima da mola, xmin e´ tal que o bloco atinge o ponto C com velocidade
nula. Usando que a variac¸a˜o da energia mecaˆnica e´ igual ao trabalho das forc¸as na˜o-
conservativas temos:
∆E = EC︸︷︷︸
mgH
−
kx
2
min
2︷︸︸︷
EA =
−µcmgD︷︸︸︷
W~Fat
∴ mgH −
kx2min
2
= −µcmgD
kx2min
2
= mgH + µcmg
(
kd2
2µcmg
)
xmin =
√
2mgH
k
+ d2.
5
 
Instituto de F´ısica - UFRJ
Primeira Prova de F´ısica IA - 2011/2
Obs: em todas as questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade
Questa˜o 1) Um ı´on penetra na regia˜o entre duas placas planas e paralelas, uma em x = 0 e
a outra em x = D. No instante t = 0, ao passar pela origem com velocidade ~v0 = v0 ıˆ, como
representado na figura, o ı´on sofre a ac¸a˜o de forc¸as ele´tricas, que imprimem ao mesmo uma
acelerac¸a˜o da forma ~a = a1 ıˆ + a2 ˆ, onde a1 e a2 sa˜o constantes positivas. Considerando o
movimento do ı´on ate´ que este atinja a placa em x = D, e desprezando o peso do ı´on:
a) obtenha os vetores posic¸a˜o ~r(t) e velocidade ~v(t) do ı´on em func¸a˜o do tempo;
b) determine a coordenada yc do ponto de impacto do ı´on com a placa.
c) Em algum instante o vetor velocidade do ı´on e´ (i) perpendicular ou (ii) paralelo ao vetor
acelerac¸a˜o? Justifique a sua resposta.
Questa˜o 2) Os dois blocos mostrados na figura esta˜o ligados por uma
corda uniforme, inextens´ıvel e pesada de massa M . Um agente ex-
terno aplica uma forc¸a vertical ~F contra´ria ao campo de gravitac¸a˜o
constante ~g, sobre o bloco superior, conforme indicado na figura ao
lado. O bloco superior tem massa m1 e o inferior m2. Consideramos
como dados: as massas dos treˆs corpos, a forc¸a externa F e a acele-
rac¸a˜o da gravidade terrestre g.
a) Para cada bloco e para a corda, desenhe o diagrama de corpo
livre identificando cada forc¸a que atua no respectivo corpo.
b) Escreva as equac¸o˜es de Newton para cada bloco e para a corda.
c) Determine a acelerac¸a˜o com que cada bloco e a corda se movi-
mentam.
d) Determine as tenso˜es no topo e no fundo da corda.
e) Qual e´ o valor da tensa˜o no meio da corda?
Questa˜o 3) Um bloco de massam e´ solto a partir do repouso do alto de um plano cuja inclinac¸a˜o
e´ θ em relac¸a˜o ao plano horizontal. Este plano e´ feito de um material tal que o coeficiente de
atrito cine´tico na˜o e´ constante. Depois de percorrer uma distaˆncia d ao longo do plano, o bloco
colide com uma mola de constante ela´stica k, e de massa desprez´ıvel, que se encontra relaxada.
Apo´s o impacto a mola sofre uma compressa˜o s e a massa para momentaneamente. Determine:
a) energia dissipada pela forc¸a de atrito, em func¸a˜o dos dados (m, g, k, s, d e θ);
b) o menor valor do coeficiente de atrito esta´tico µe, para que o bloco permanec¸a em repouso
na situac¸a˜o de compressa˜o ma´xima da mola.
Questa˜o 4) Uma crianc¸a de massa m encontra-se no topo de um domo esfe´rico de raio R
(representado pelo ponto A na figura). Inicialmente em repouso, ela comec¸a a escorregar com
velocidade inicial desprez´ıvel, devido a uma pequena perturbac¸a˜o, sem atrito, pelo domo esfe´rico
passando pelo ponto B, onde ainda mante´m contato com a superf´ıcie, conforme indicado na
figura.
a) A energia mecaˆnica conserva-se? Por queˆ? Qual e´ o mo´dulo da velocidade da crianc¸a no
ponto B? Considere que o zero da energia potencial gravitacional como sendo o solo.
b) No ponto B, cuja direc¸a˜o OB faz o aˆngulo θ com a vertical, fac¸a o diagrama de forc¸as que
atua na crianc¸a e escreva a 2a Lei de Newton correspondente a esta direc¸a˜o.
c) Calcule a altura, h, na qual a crianc¸a perde o contato com a superf´ıcie do domo.
A
B
O
R
θ
Questa˜o 1
a) valor = (1,0 pontos)
Como a acelerac¸a˜o ~a e´ constante,
~v(t) = ~v(0) + ~at = v0ıˆ + (a1ıˆ + a2ˆ)t
~v(t) = (v0 + a1t)ˆı+ a2tˆ
~r(t) = ~r(0) + ~v(0)t+ (1/2)~at2 = v0t ıˆ+ (1/2)(a1 ıˆ+ a2ˆ)t
2
~r(t) = [v0t+ (1/2)a1t
2]ˆı + (1/2)a2t
2ˆ
b) valor = (1,0 pontos)
Se tc e´ o instante da colisa˜o do ı´on com a placa em x = D, enta˜o x(tc) = D, e assim
v0tc + (1/2)a1t
2
c = D =⇒ (1/2)a1t2c + v0tc −D = 0
Ignorando a raiz negativa da equac¸a˜o quadra´tica,
tc =
√
v20 + 2a1D − v0
a1
yc = y(tc) = (1/2) a2 t
2
c =
a2(
√
v20 + 2a1D − v0)2
2a21
c) valor = (0,5 pontos)
No intervalo 0 ≤ t ≤ tc o vetor velocidade nunca fica perpendicular ou paralelo ao
vetor acelerac¸a˜o.
(i) Para que o vetor velocidade seja perpendicular ao vetor acelerac¸a˜o, e´ necessa´rio
que ~v ◦ ~a = 0:
~v ◦ ~a = vxax + vyay = (v0 + a1t)a1 + a22t = v0a1 + (a21 + a22)t
Como v0 e a1 sa˜o positivos, a equac¸a˜o ~v ◦ ~a = 0 na˜o possui soluc¸a˜o para t > 0.
(ii) Se o vetor velocidade for paralelo ao vetor acelerac¸a˜o, o produto vetorial ~v × ~a se
anula. Ate´ o instante t = tc,
~v × ~a = [(v0 + a1t)ˆı + a2tˆ]× (a1ıˆ + a2ˆ) = (v0 + a1t)a2kˆ − a1a2tkˆ
~v × ~a = v0a2kˆ .
Portanto, o produto vetorial ~v×~a permanece constante e diferente de zero para 0 ≤ t ≤ tc.
1
Questa˜o 2
a) valor = (0,8 pontos)
No bloco superior agem treˆs forc¸as :
(1) o peso, ~P1 = −m1 g ~k, exercida pela Terra;
(2) a forc¸a externa, F ~k, exercida pelo agente externo;
(3) a tensa˜o no topo da corda, −T ~k, exercida pela corda.
Na corda temos tambe´m treˆs forc¸as :
(4) o peso : ~PC = −M g~k, exercida pela Terra;
(5) a tensa˜o no topo da corda, +T ~k, exercida pelo bloco superior;
(6) a tensa˜o no fundo da corda, −T ′ ~k, exercida pelo bloco inferior.
Finalmente sobre o bloco inferior agem duas forc¸as :
(7) o peso : ~P2 = −m2 g ~k, exercida pela Terra;
(8) a tensa˜o no fundo da corda, +T ′ ~k, exercida pela corda.
b) valor = (0,6 pontos)
As equac¸o˜es de Newton sa˜o :
m1 a1 = −m1 g − T + F
m2 a2 = −m2 g + T ′
M aC = −Mg + T − T ′
2
c) valor = (0,3 pontos)
Denotamos a acelerac¸a˜o commum aos treˆs corpos por a =a1=a2= aC. Com a massa
total Mtot = m1 +m2 +M , obtemos :
a = −g + F
Mtot
d) valor = (0,4 pontos) As tenso˜es sa˜o obtidas como :
T =
m2 +M
Mtot
F ; T ′ =
m2
Mtot
F
e) valor = (0,4 pontos)
A tensa˜o no meio da corda T(1/2) pode ser calculada ao considerar o bloco inferior mais
a metade da corda como um corpo so´ de massa m′2 := m2 +M/2. Com a acelerac¸a˜o a
calculada acima, escrevemos a equac¸a˜o de Newton para esse bloco ”engordado” : m′2 a =
−m′2 g + T(1/2), donde :
T(1/2) =
m′2
Mtot
F
Como a corda e´ homogeˆnea, podemos admitir que a tensa˜o varia linearmente entre o topo
e o fundo da corda de modo que no meio temos
T(1/2) =
T + T ′
2
=
m′2
Mtot
F
3
Questa˜o 3
a) valor = (1,5 pontos)
A forc¸a de atrito e´ uma forc¸a na˜o-conservativa onde a energia dissipada e´ dada por
∆E = Wfat. Como o coeficiente de atrito cine´tico na˜o e´ constante, a forc¸a de atrito
cine´tico tambe´m na˜o o e´ ao longo do deslocamento da massa m. Portanto, Wfat 6= ~fat◦∆~S.
De fato, poder´ıamos a princ´ıpio obter o trabalho por W~fat =
d+s
∫
0
~fat ◦ d~s mas na˜o sabemos
a priori a dependeˆncia do coeficiente de atrito µc com a posic¸a˜o do bloco. No entanto, o
teorema do trabalho-energia cine´tica nos diz que:
∆K = Wtotal → ∆K = WFel +WPeso +WN +Wfat
Como as forc¸as Normal e Peso sa˜o constantes e atuam durante todo o deslocamento o
trabalho de cada uma delas e´ dado por:
WN = ~N ◦∆~S = 0, ja´ que o deslocamento e´ perpendicular a` forc¸a Normal.
WP = ~P ◦∆~S = mg(d + s)senθ
A forc¸a ela´stica da mola na˜o e´ constante durante o deslocamento s em que atua, e o seu
trabalho e´ dado por: WFel = −1/2ks2.
De acordo com os resultados de WN , WPeso e WFel, e como ∆K = 0:
−Wfat = WPeso +WFel = mg(d+ s)sen θ −
1
2
ks2
Como ∆E = WNC = Wfat < 0,
∆E =
1
2
ks2 −mg(d + s)sen θ < 0
b) valor = (1,0 pontos)
Como o bloco se encontra em equil´ıbrio nesta situac¸a˜o, a segunda lei de Newton para
o eixo que passa ao longo do plano inclinado(veja o referencial indicado na figura), com a
tendeˆncia do bloco deslizar para cima, nos diz que: |~Felmax| − |~fat,e| −mgsen θ = 0
ks− µemgcos θ −mgsen θ = 0
µe =
ks−mgsen θ
mgcos θ
ks > mgsen θ pois µe > 0
4
Questa˜o 4
a) valor = (1,0 pontos)
A energia mecaˆnica conserva-se pois na˜o ha´ forc¸as dissipativas agindo sobre a crianc¸a:
a normal ~N na˜o realiza trabalho e a forc¸a-peso ~P e´ uma forc¸a conservativa. (0,3