Lista de Exercícios Produto Escalar

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COORDENADORIA DE MATEMÁTICA 
Curso: Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Álgebra Vetorial e Geometria Analítica 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE PRODUTO ESCALAR 
 
1. Sendo 
u
 = ( 2,3,1) e 
v
 = ( 1,4, 5) . Calcular: 
 a) (3
u
 – 2
v
 )2 b) (2
u
 -3
v
 )•(
u
 +2
v
 ) 
2. Sendo 
a
 =(2,–1,1), 
b
 =(1,–2,–2) e 
c
 =(1,1,–1). Calcular um vetor 
v
 =(x,y,z), tal que 
v
 • 
a

= 4, 
v
 • 
b
 = –9 e 
v
 • 
c
 = 5. 
3. Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) 
e C(a+1,–2,3). 
4. Os vetores 
u
 e 
v
 formam um ângulo de 600. Sabe-se que 
u
 =8 e 

v
 =5, calcule: a)
u
 +
v
  b) 
u
 –
v
  
 
5. Determinar o valor de x para que os vetores 
1v
 = x i –2
j
 +3k e 
2v
 =2 i –
j
 +2k , sejam 
ortogonais. 
 
6. Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 
a
 =(2,6,–1) e 
b
 =(0,–2,1). 
 
7. Seja �⃗� = (3,1). Determine as coordenadas de um vetor �⃗⃗⃗�, de módulo 2, que faz com o 
vetor �⃗� um ângulo de 30º. 
8.Mostre que A (3,0,2), B(4,3,0) e C (8,1,-1) sao vértices de um triângulo retângulo. Em qual 
vértice está o ângulo reto? 
9. Determine o módulo da projeção do vetor �⃗� = (−1,2, −4)sobre o vetor �⃗⃗⃗� = (2, −1,2). 
10. Um vetor unitário 
v
 forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os outros 
dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de 
v
 . 
 
11. O vetor 
 2,1,1v 
 forma um ângulo de 600 com o vetor 
BA
 , onde A (0,3,4) e 
B(m,1,2). Calcular o valor de m. 
 
12. Os vetores �⃗� 𝑒 �⃗⃗� formam um ângulo 𝛽 = 30º. Calcule o ângulo 𝛼 entre os vetores �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗�, 
se �⃗� = �⃗� + �⃗⃗� e �⃗⃗⃗� = �⃗� − �⃗⃗�, sabendo que |𝑎|⃗⃗⃗⃗ = √3, e |𝑏⃗⃗⃗⃗ | = 1. 
 
13. Dados 
u
 =(2,–3,–6) e v =3 i –4
j
 –4k , determine: 
 a) a projeção algébrica de 
v
 sobre 
u
 ( norma do vetor projeção de 
v
 sobre 
u
 ); 
 b) 0 vetor projeção de 
v
 sobre 
u
 . 
 
14.Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as coordenadas do 
vetor 
HM
 , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. 
2 
 
 
GABARITO 
1. RESP: a) 66 b) –205 
2. RESP: 
v
 =(3,4,2) 
3. RESP: –1 ou 
5
13
 
4. RESP: a)
129
 b)7 
5. RESP: x= – 4 
6. RESP: 







3
2
,
3
1
,
3
2
c 

 
7. RESP: �⃗⃗⃗⃗� = (
𝟑√𝟑𝟎+√𝟏𝟎
𝟏𝟎
,
√𝟑𝟎−𝟑√𝟏𝟎
𝟏𝟎
) 𝒐𝒖 (
𝟑√𝟑𝟎−√𝟏𝟎
𝟏𝟎
,
√𝟑𝟎+𝟑√𝟏𝟎
𝟏𝟎
) 
8. RESP: B 
9. RESP: 4 u.c 
10. RESP: 









4
6
,
4
6
,
2
1
v
 ou 









4
6
,
4
6
,
2
1
 
11. RESP: m=–34 ou m=2 
12. RESP: 𝛼 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
𝟐
√𝟕
≅ 𝟒𝟎, 𝟗º 
13. RESP: a)6 b)
 6,3,2
7
6

 
14. RESP: 
HM
 = (2,2,1)