fisica1 capitulo6

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Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
1 
 
 Introdução: 
 Em algumas situações em física, não há a 
possibilidade de estudar o movimento como se a 
partícula fosse um ponto material. Citamos o 
movimento de um CD/DVD, o movimento de uma serra 
elétrica ou de uma roda gigante. Cada um deles envolve 
um corpo que gira em torno de um eixo que permanece 
estacionário em relação a algum sistema de referência 
inercial. A rotação ocorre em todas as escalas, desde o 
movimento de elétrons em torno de átomos até o 
movimento de galáxias inteiras. 
 Desenvolveremos métodos especiais que 
analisam o movimento de corpos que giram. 
 No mundo real, as forças que atuam nos corpos 
podem ainda deformá-los, esticando-os, torcendo ou 
comprimindo-os. Desprezaremos essas deformações, 
supondo que o corpo mantenha sua forma definida e 
imutável, cujo modelo denominamos de corpo rígido. 
 
 Velocidade angular e aceleração angular 
 Designamos por eixo fixo aquele que 
permanece em repouso em relação a algum referencial 
inercial e que não muda de direção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ângulo θ: 
s
s r
r
    
 
 Unidades: 
Radiano: 
Grau: 
Grado:100 gr – 90° 
 
180
rad
   

 
 Velocidade angular: 
 Velocidade angular média: 
t





 
2 1
2 1t t
 




 
 Unidade: Radiano por segundo: rad/s. 
 Velocidade angular instantânea: 
0
lim
t t


 



 
d
dt

 
 
 
 Aceleração angular: 
 
 Aceleração angular média: 
t





 
2 1
2 1t t
 




 
 Unidade: Radiano por segundo ao 
quadrado: rad/s². 
 Aceleração angular instantânea: 
0
lim
t t


 



 
d
dt

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observações: No MCU: 
2
2 f
T
      
 
 f: Freqüência. Unidade: Hertz (Hz) 
 1 Hz = 1/s ou rpm=(1/60)Hz 
 T: período. 
r  
 
 Exemplo 1 – A figura mostra o volante de um 
carro que está sendo testado. A posição angular dessa 
roda é: 
 332 radst  
 
 O diâmetro do volante é igual a 0.36m. Ache: 
 (a) o ângulo θ, em radianos e em graus, nos 
instantes t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s. 
 (b) Ache a distância percorrida por uma 
partícula na periferia do volante nesse intervalo de 
tempo. 
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
2 
 (c) Calcule a velocidade angular média, em 
rad/s e em rev/min (rpm) entre t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s. 
 (d) Ache a velocidade angular instantânea para 
t = 3.0 s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 (a) 
3 3
1 1 1 12 2 2 16t rad        
 
  180
180
rad
    

     

 
1
16
180 920 
    
 
3 3
2 2 2 22 2 5 250t rad         
180



  
 
2
250
180 14000 
    
 
 (b) 
 0.18 250 16s r s     
 
42s m
 
 (c) 
2 1
2 1
250 16
5 2t t
     
 
 
78 78 60 740
min
rad rad rev
s s
        
 (d) 
26
d
t
dt
    
 
26 3 54rad s     
 
 
 
 
 
 Exemplo 2 – Calcule a aceleração angular do 
instantânea e a aceleração angular média entre os 
instantes t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s do exemplo anterior: 
 332 radst  
 
 Solução: 
2
2
d d d d
dt dt dt dt
        
 
2
12
rad
t
s
  
 
2 1
2 1t t
 




 
2
150 24
42
5 2
rad
s
   

 
 Rotação com aceleração angular constante: 
0 t      
 
2
0 0
2
t t
      
 
 2 20 02        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 3 – Rotação com velocidade 
angular constante. Uma roda de bicicleta está sendo 
testada em uma oficina de reparos. A velocidade 
angular da roda é 4.00 rad/s no instante t = 0s e sua 
aceleração angular é constante e igual a 1.20 rad/s
2
. Um 
raio OP da roda coincide com o eixo Ox no instante t = 
0s. (a) Qual a velocidade angular da roda no instante t = 
3.00 s? (b) Qual é o ângulo formado pelo raio OP e o 
eixo +Ox nesse instante? 
 
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3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 (a) 
0 t    
 
4 1.2 3 0.40
rad
s
     
 
 (b) 
2
0 0
2
t t
      
 
  21.200 4 3 3 6.6
2
rad       
 
 Aceleração tangencial, centrípeta e resultante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aceleração tangencial: 
Ta r 
 
 Aceleração centrípeta ou normal: 
2
2
cp cp
v
a a r
r
   
 
 Aceleração resultante: 
2 2
cp Ta a a 
 
 Exemplo 4 – Movimento de um disco. O 
lançador de um disco gira com aceleração angular  = 
50 rad/s², fazendo o disco se mover ao longo de uma 
circunferência de raio 0.8m. Vamos supor que o braço 
do lançador possa ser tratado como um corpo rígido, 
logo, r é constante. Determine o componente vertical e 
o componente horizontal da aceleração no instante em 
que a velocidade angular é 10 rad/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
2
50 0.8 40T T T
m
a r a a
s
      
 
2 2
2
10 0.8 80cp cp cp
m
a r a a
s
       
2 2
cp Ta a a  
2 280 40a   
2
89
m
a
s
 
 Exemplo 5 – Projeto de uma hélice. Você foi 
solicitado para projetar a hélice de um avião que deve 
girar a 2400 rpm. A velocidade do avião deve ser de 
75.0 m/s (270 km/h), e a velocidade da extremidade da 
lâmina da hélice não pode superar 270 m/s. (Isso é cerca 
de 0.8 vezes a velocidade do som no ar. Se as 
extremidades das lâminas se deslocassem com a 
velocidade do som, elas poderiam produzir uma enorme 
quantidade de ruído. Mantendo a velocidade menor que 
a velocidade do som obtém-se um nível de ruído 
aceitável.) 
(a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter? 
(b) Com esse raio, qual é a aceleração da 
extremidade da hélice? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
2400
2400
60
f rpm f Hz   
40f Hz 
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
4 
2 2 40 251.3
rad
f
s
          
 (a) Velocidade tangencial de um ponto P na 
extremidade da hélice:: 
Pv r  
 Velocidade do avião em relação ao ar: vA. 
 Velocidade total: 
2 2 2 2 2
A P Av v v v v r      
2 2 2 2
2
2 2
270 75
251
Av vr r
 
   
1.03r m 
 (b) A velocidade angular da hélice é constante: 
2 2251 1.03cp cpa r a     
4
2
6.5 10cp
m
a
s
  
 Força que a hélice exerce: 
46.5 10cp
F N
F m a
m kg
     
 As hélices são fabricadas de materiais leves e 
duros, como ligas de alumínio. 
 
 Exemplo 6 – Engrenagem de uma bicicleta. 
Como relacionar as velocidades angulares das duas 
rodas dentadas de uma bicicleta com o número de 
dentes de cada roda? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
1 2 1 1 2 2v v r r      
2 1
1 2
r
r


 
 A condição de que o espaçamento entre os 
dentes é o mesmo nas duasrodas dentadas é dado por: 
 
 
1 2 1 1
1 2 2 2
2 2r r r N
N N r N
  
   
2 1
1 2
N
N


 
 A velocidade angular de cada roda dentada é 
inversamente proporcional ao número de dentes. Em 
uma bicicleta com várias marchas, você obtém a 
velocidade angular mais elevada 2 da roda traseira 
pedalando com uma taxa 1 quando a razão N1/N2 é 
máxima; isso significa que você deve usar a roda 
dentada dianteira com maior raio (maior valor de N1) e a 
roda traseira com menor raio (menor valor de N2). 
 
 Energia do movimento de rotação 
 
 Um corpo girando constitui-se de massas em 
movimento. Podemos escrever a energia dese 
movimento em termos da velocidade angular do corpo: 
 A energia cinética total do corpo é a soma das 
energias cinéticas de todas as partículas do corpo: 
 
22
1 1
1 1
2 2
N N
i i i i
i i
K m v K m r
 
       
2 2
1
1
2
N
i i
i
K m r 

 
   
 
 
 Momento de Inércia 
 Definimos como momento de inércia, o 
produto pela massa com o quadrado de sua distância ao 
eixo de rotação. A palavra momento dá a idéia de que I 
depende da maneira como que a massa do corpo é 
distribuída no espaço. 
2
1
N
i i
i
I m r

  
 Unidade: kg.m2. 
21
2
K I   
 Exemplos associados a momento de inércia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
5 
 
 Exemplo 7 – Momento de inércia em relação 
a diferentes eixos de rotação. Um engenheiro está 
projetando uma parte de uma certa máquina que 
consiste em três conectores pesados ligados por suportes 
leves,. Os conectores podem ser considerados como 
partículas pesadas conectadas por hastes com massas 
desprezíveis. 
(a) Qual é o momento de inércia desse corpo em 
relação a um eixo perpendicular ao plano do desenho 
passando no ponto A? 
(b) Qual é o momento de inércia desse em torno de 
um eixo que coincide com a haste BC? 
(c) Se o corpo gira em torno de um eixo 
perpendicular ao plano do desenho e passa por A, com 
velocidade angular  = 4.0 rad/s, qual é a sua energia 
cinética? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 (a) A partícula no ponto A está sobre o eixo. 
Sua distância r é 0. Assim: 
2
1
N
i i
i
I m r

 
 
2 20.1 0.5 0.2 0.4I    
 
20.057I kg m 
 
 (b) As partículas em B e em C estão sobre o 
eixo. Para elas, r = 0. Assim: 
2
1
N
i i
i
I m r

 
 
20.3 0.4I  
 
20.048I kg m 
 
 (c)
 
2 21 1 0.057 4 0.46
2 2
K I K K J      
 
 Observação: O momento de inércia de um 
corpo depende da localização e da orientação do eixo. 
 
 
 
 
 
 
 Momento de inércia de figuras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Teorema dos eixos paralelos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
P CMI I M d  
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
6 
 
 Exemplo 9 – Desenrolando um cabo. Um 
cabo leve, flexível e não deformável, é enrolado várias 
vezes em torno da periferia de um tambor, um cilindro 
sólido com um diâmetro de 0.120m e massa igual a 50 
kg, que pode girar em torno de um eixo estacionário 
horizontal mantido por mancais sem atrito. A 
extremidade livre do cabo é puxada por uma força 
constante de módulo igual a 9.0 N deslocando-se uma 
distância de 2.0 m. Ele se desenrola sem deslizar 
fazendo o cilindro girar. Se o cilindro inicialmente está 
em repouso, calcule sua velocidade angular e a 
velocidade escalar final do cabo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 Existe atrito entre o cabo e o cilindro: é isso 
que faz o cilindro girar assim que puxamos o cabo. 
Porém, como o cabo não desliza, não existe nenhuma 
velocidade relativa de deslizamento entre o cabo e o 
cilindro, e nenhuma energia mecânica é perdida em 
virtude do atrito. A variação de energia cinética do 
cilindro é igual ao trabalho W = F s realizado pela força 
F = 9.0 N que atua em um deslocamento s = 2.0 m; 
portanto, W = 9.2 = 18J. De acordo com a tabela de 
momentos de inércia: 
21
2
I M R 
 
 2 2
1
50 0.6 0.090
2
I I kg m    
 
 Como o cilindro está inicialmente em repouso, 
pelo teorema trabalho-energia: 
2 2
2 1 0
1 1
2 2
W K K W I I      
 
 Como o corpo está em repouso: 
0 0 
 
2 2 18
0.090
W
I
    
 
20rad s 
 
20 0.06v r v     
1.2
m
v
s

 
 
 Exemplo 10 – Desenrolando um cabo II. Em 
uma experiência de laboratório para testar a 
conservação da energia mecânica de rotação, enrolamos 
um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço 
de massa M e raio R. O cilindro gira com atrito 
desprezível em torno do eixo horizontal estacionário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Amarramos a extremidade livre do cabo a um 
objeto de massa m e libertamos o objeto sem velocidade 
inicial a uma distância h acima do solo. À medida que o 
objeto cai, o cabo se desenrola sem deslizar nem se 
esticar, fazendo o cilindro girar. Calcule a velocidade do 
objeto que cai e a velocidade angular do cilindro no 
instante que o objeto atinge o solo. 
 
 Solução: 
 Inicialmente, o sistema não possui nenhuma 
energia cinética (K1 = 0). Consideramos a energia 
potencial igual a zero quando o objeto está no nível do 
solo. Logo, U1 = m.g.h e U2=0. (Podemos ignorar a 
energia potencial gravitacional do cilindro, visto que sua 
altura não varia). Assim, o atrito não realiza trabalho, 
logo: 
 2 2 1 1 0FW U K U K    
 
 O cabo não realiza trabalho total, porque em 
uma extremidade a força e o deslocamento estão no 
mesmo sentido, e na outra extremidade a força possui 
sentido contrário ao do deslocamento. Logo, o trabalho 
total do cabo é igual a zero. Imediatamente antes de o 
objeto colidir com o solo, tanto o objeto quanto o 
cilindro possuem energia cinética. A energia cinética 
total K2 nesse instante é: 
2 2
2
1 1
2 2
K m v I    
 
 2
1
cilindro
2
I M R 
 
v R 
 
 A velocidade da massa que cai deve ser igual à 
velocidade tangencial de um corpo na periferia do 
cilindro. Usando essas relações e igualando a energia 
total inicial com a energia total final, teremos: 
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
7 
2 2 1 1U K U K  
 
2
2 21 1 10
2 2 2
v
m g h m v M R
R
  
        
  
 
21 1
2 2
m g h m M v
 
    
 
 
2
1
2
g h
v
M
m



 
 Velocidade angular final: 
v
R
 
 
 Observe que: 
0M m v 
 
2M m v g h  
 
 Veja que v não depende do raio do cilindro! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 11 – Uso do teorema dos eixos 
paralelos. Uma das partes de uma articulação mecânica 
possui massa igual a 3.6 kg. Medimos seu momento de 
inércia em relação a um eixo situado a uma distância de 
0.15 m do seu centro de massa e encontramos o valor IP 
= 0.132 kg.m
2
. Qual o momento de inércia em relação a 
um eixoque passa pelo seu centro de massa Icm? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
2
P cmI I M d  
 
2
cm PI I M d  
 
20.132 3.6 0.15cmI   
 
 20.051cmI kg m 
 
 Cálculos de momento de inércia. 
 
 Quando um corpo rígido não pode ser 
representado por massas puntiformes, podemos escrever 
a relação integral: 
2
corpo
I r dm 
 
 Dependendo de como a massa está distribuída, 
podemos definir as densidades: 
Densidade Símbolo Definição Unidade 
 
Linear 
 
 M
L
 
 
kg
m
 
 
Superficial 
 
 M
A
 
 
2
kg
m
 
 
Volumétrica 
 
 M
V
 
 
3
kg
m
 
 
 Para o caso unidimensional, podemos definir: 
dm
dm dl
dl
    
 
2
corpo
I r dl 
 
 
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8 
 
 
 Para corpos bi e tridimensionais, veja a tabela a 
seguir. 
 Tabela - Definições de Momentos, Momentos de 
inércia e centro de massa. 
 Corpos 
Bidimensionais 
(Figuras Planas) 
Corpos tridimensionais 
Centro de 
Massa 
),( mm yx
 
),,( mmm zyx
 
R
m
R
x dA
x
dA






 
R
m
R
x dV
x
dV






 
R
m
R
y dA
y
dA






 
R
m
R
y dV
y
dV






R
m
R
z dV
z
dV






 
 
 
 
Momentos 
Lâmina Sólido 
mxM y 
 
mzM xy 
 
myM x 
 
myMxz 
 
 
mxM yz 
 
Momentos de 
Inércia 
Figuras Planas Corpos Tridimensionais 
 
Ix 
2
R
y dA
 
 
2 2( )
R
y z dV
 
 
Iy 
2
R
x dA
 
 
2 2( )
R
x z dV
 
 
Io, Iz 2 2( )
R
x y dA
 
 
2 2( )
R
y x dV
 
 
 Exemplo 12 – Barra delgada uniforme, eixo 
ortogonal ao seu comprimento. A figura mostra uma 
barra ou vara delgada uniforme de massa M e 
comprimento L. Determine seu momento de inércia em 
relação a um eixo passando pelo ponto O, a uma 
distância arbitrária h de uma de suas extremidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 Escolhendo um elemento de massa de uma 
seção reta da barra com comprimento dx situado a uma 
distância x do ponto O. Assim, se a densidade linear é 
uniforme: 
dm M M
dm dx
dx L L
     
 
2
corpo
I r dm 
 
2 2
L h L h
h h
M M
I x dx I x dx
L L
 
 
     
 
3
3
x L h
x h
M x
I
L
 

 
 
 2 2
1
3 3
3
I M L L h h   
 
o Se o eixo passar pela extremidade esquerda: h = 0: 
21
3
I M L 
 
o Se o eixo passar pela extremidade direita: h = L: 
21
3
I M L 
 
o Se o eixo passar pelo centro: h=L/2: 
21
12
I M L 
 
 
 Exemplo 13 – Cilindro maciço ou oco 
girando em torno de seu eixo. A figura mostra um 
cilindro oco e uniforme com comprimento L, raio 
interno R1 e externo R2 e massa M. Calcule o momento 
de inércia em relação ao eixo de simetria do cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 2dm dV dm r L dr        
2
corpo
I r dm 
 
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
9 
 
2
1
2 2
R
R
I r r L dr    
 
2
1
32
R
R
I L r dr  
 
 4 42 1
4
L
I R R
 
 
 
 
 
 Exemplo 14 – Esfera homogênea de raio R e 
eixo passando pelo centro. A esfera abaixo poderia ser 
uma bola de bilhar. Determine seu momento de inércia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
2 2r R x 
 
 2dm dV dm r dx      
 
2
corpo
I r dm 
 
 2 2dm R x dx     
 
Para um disco: 
21
2
dI r dm
 
   
2
2 2 2 21
2
dI R x R x dx      
 
 
2
2 2
2
dI R x dx
 
   
 
 
2
2 2
0
2
2
R
I R x dx
  
    
 

 
58
15
I R


 
34
3
M M
V
R
 

  
 
3
3
4
M
R



 
58
15
I R

 
 
 
5
3
8 3
15 4
M
I R
R


 
 
22
5
I M R 
 
 
 
 Exemplo 15 – Movimento de um CD/DVD. 
Em um compact disc ou digital video disc, as 
informações são gravadas digitalmente em uma série de 
pits (“buracos”) e flats (regiões de áreas planas) sobre a 
superfície do disco, representando uma série de binários 
0 ou 1, que serão lidos pelo compact disc player e 
convertidos em ondas sonoras. Os pits e as flat areas 
são detetados por um sistema de um laser e lentes. O 
comprimento de um certo número de zeros e uns 
gravados é o mesmo ao longo de todo o disco, próxima 
a borda ou próximo ao seu centro. Para que o 
comprimento da região gravada de “0s” e “1s” sempre 
passe pelo sistema de leitura lentes e laser no mesmo 
período, a velocidade linear da superfície do disco na 
região de leitura deve ser constante. Em um aparelho de 
CD típico, a velocidade de leitura é da ordem de 1.3 
m/s. Encontre a velocidade angular do disco quando a 
informação está sendo lida do interior (first track) em r 
= 23 mm e no exterior (final track) r = 58 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
10 
 
2
2
1.3
56.5
2.3 10
1.3
22.4
5.8 10
i i
i
i
e e
rad
v s
radr
s
 

 



   
  
   
 
 
56.5
8.99
2
22.42
3.565
2
i i
i
i
e e
f f Hz
f
f f Hz
 



  
  
   

 
( ) ( ) 60if rpm f Hz 
 
539.4
213.9
i
e
f rpm
f rpm


