Lista 1 - Vetores

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UNIFACS – Universidade Salvador 
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Curso: Engenharias 
Professor: Lourena Cruz 
 
 
1
a
 Lista de Exercícios – Vetores 
 
 
1ª Questão: Sabendo que A = (0,0,0), B = (2,1,-2) e C = (0,0,5) são vértices de um 
triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BÂC. 
 
2ª Questão: Nos exercícios 2 e 3 considere os vetores u = 2i – j + 2k , v = 5i + 5j – 2k e 
w = 3i + 6j. 
 a) 2u – v + 3w 
 b) As coordenadas do ponto B, onde A = (1,0,-2) e AB = u . 
 c) As coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b. 
 
3ª Questão: Determine: 
a) u . v e u . w b) | u | e u 
o 
c) (u , v) e (u , w)
 
 
d) Um vetor não nulo ortogonal a v. 
e) A projeção de u na direção de v. 
f) A projeção de u na direção de w. 
g) A medida algébrica da projeção de v na direção de u. 
h) O versor de b, onde b é paralelo a u. 
i) Um vetor paralelo a u e de módulo 9. 
j) v x w l) Um vetor unitário ortogonal aos vetores u e v. 
m) O vetor d, tal que d x u = 0 e d . v = -2 
n)A área do triângulo ABC, onde AB = u e AC = v 
 
4ª Questão: Considerando |u|=2, |v|=a, o ângulo entre os vetores u e v igual a 45º e o 
produto u.v=3
2
, determine: 
a) O módulo do vetor v; 
b) u.u 
c) u.(3v-u); 
d) |
v
uojPr
| 
 
 
 
 
 
 
5ª Questão: Sejam os vetores u=(-3,0,3), v=(0,1,2) e w=2i+2j-k. Determine: 
a) O módulo de w; 
b) O versor de v; 
c) O ângulo entre os vetores u e v; 
d) O vetor de mesmo sentido que v e de módulo igual 
53
; 
e) O vetor a tal que (a,u)=180º e |a|=
22
; 
f) Um vetor ortogonal a u; 
g) A projeção do vetor v na direção do vetor u. 
 
6ª Questão: Considere os vetores u=(-1,0,3), v=(0,1,3) e w=2i-6k e determine: 
a) Um vetor ortogonal aos vetores u e v; 
b) A área do triângulo ABC, onde AB=2v e BC=-u; 
c) A área do paralelogramo ABCD; 
d) w.(u v). 
 
7ª Questão: Sejam u=(1,0,-2), v=(0,1,1) e w=(-1,1,1). Faça o que se pede: 
a) Seja A(0,2,3), determine as coordenadas do ponto B, tal que AB=-2w. 
b) Calcule as coordenadas do vetor y=4u-v+2w. 
c) Determine as coordenadas de um vetor não nulo e ortogonal a v. 
d) Um vetor h, onde h tenha a direção da bissetriz do ângulo (u,w). 
 
8ª Questão: Considere os vetores u=(1,-1,2) e v=(0,-2,3): 
a) Calcule as coordenadas do vetor 
v
uojPr
; 
b) Calcule o valor de h e k para que o vetor x=(2,h+1,3k) seja paralelo ao vetor u-v. 
 
9ª Questão: Calcule o valor de z para que o vetor v=(z, 
5
2
, 
5
4
) seja unitário. 
10ª Questão: Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0,1,2), B(-1,0,-1) e 
C(2,-1,0). 
11ª Questão: Qual o valor de a para que os vetores b=ai+5j-4k e 
c =(a+1)i+2j+4k sejam ortogonais. 
12ª Questão: Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1), determinar 
o ângulo interno ao vértice B. 
 
 
 
 
 
 
13ª Questão: Determinar o valor de m para que o vetor w=(1,2,m) seja 
simultaneamente ortogonal aos vetores v=(2,-1,0) e w=(1,-3,-1). 
14ª Questão: Determine a resultante das forças em cada item a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) | F1| = 80 kgf b) | F1| = 120 kgf 
 | F2| = 150 kgf | F2| = 100 kgf 
 | F3| = 180 kgf | F3| = 120 kgf 
15ª Questão: De um triângulo ABC sabemos que | AB | = 2, | AC | = 3 e AB . AC = 
3√3 . Determine a área desse triângulo. 
16ª Questão: Determinar os valores de m para que o vetor v = (m,2m,2m) seja um 
versor. 
17ª Questão: Determinar os valores de m para que o vetor v = mi + 6j tenha módulo igual a 
10. 
18ª Questão: Determinar um vetor paralelo ao vetor v = i + j + k e que tenha módulo igual a 5. 
19ª Questão: Determinar um vetor de módulo 10, paralelo ao vetor v = 4i + 2j – 5k. 
20ª Questão: Determinar m para que os vetores v1 e v2 sejam ortogonais nos seguintes 
casos: 
 a) v1 = ( m, -2 ,4) e v2 = (1, -2,-5) b) v1 = ( 2m - 1, 0 ,3) e v2 = (0, m+1,0) 
 c) v1 = ( 4m, 0 ,1) e v2 = (0, 2,5) 
21ª Questão: Determinar um vetor ortogonal aos vetores u = i+j e v = i–2j+k. 
22ª Questão: Determinar um vetor ortogonal aos vetores u = 3i-2 j+4k e v =-i+3j+k. 
 
 
 
 
23ª Questão: Dados A = (1,0,1), B = (-2,0,-3) e C = (1,5,1) 
 a) Mostre que AC AB. b) Verifique se o triângulo ABC é isósceles. 
 
24ª Questão: Determine o vetor v no R
3
 tal que v . (i – k) = 1 
 v x (1,-2,0) = 2i + j – 4k 
 
25ª Questão: Determine o vetor v no R
3
 tal que v . (i – j) = 2 
 v x (i + 3k) = (0,0,0) 
 
26ª Questão: Os pontos A = (2,3,0), B = (2,5,0) e C = (0,6,2) são vértices consecutivos 
de um paralelogramo. Determine o quarto vértice, a área desse paralelogramo e o 
sen (AB, AD). 
27ª Questão: Calcular a área do triângulo cujos vértices são os pontos P = (4,-3,1), Q = 
(6,-4,7), R = (1,2,2) e verifique se esse triângulo é eqüilátero. 
28ª Questão: Calculara área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3,2,1) e 
uma diagonal de extremidades P(1,1,-1) e Q(0,1,2). 
29ª Questão: Considere os pontos A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1,2,1), vértices 
de um tetraedro. Calcule o volume do tetraedro ABCD e a área da base ACD. 
30ª Questão: Qual o valor de x para que o volume do tetraedro de arestas AO=(x,3,4), 
OB=(0,4,2) e OC=(1,3,2) seja igual a 2 u. v. 
31ª Questão: Determine o centro e o raio da esfera com diâmetro nos pontos P = (1,1,0) e Q = 
(0,0,1) . 
32ª Questão: Nos itens abaixo, os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um 
quadrilátero. Verifique se esses pontos são vértices de um retângulo. 
a) A = (1,2,1) , B = (3,3,-1) , C = (4,6,0) , D = (2,5,2) . 
b) A = (3,-1,2) , B = (5,3,4) , C = (6,2,5) , D = (4,-2,3) . 
c) A = (-1,2,-1) , B = (1,6,5) , C = (3,3,2) , D = (2,1,-1) . 
33ª Questão: Nos itens abaixo os pontos A, B C e D são vértices consecutivos de um 
quadrilátero. Verifique se esses pontos são vértices de um paralelogramo. 
a) A = (3,2,2) , B = (5,6,3) , C = (6,5,5) , D = (4,1,4) . 
b) A = (3,2,2) , B = (5,6,3) , C = (6,9,2) , D = (4,5,1) . 
c) A = (2,-3,1) , B = (6,5,5) , C = (6,2,5) , D = (4,-2,3) . 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO: Considere os vetores u=(1,0,2), v=(0,2,2) e o tetraedro ABCD tal que: 
 
i) |AB|= 
52
 e (AB,u)=0º 
ii) AC v=0 e AC.u=12 
iii) AD.u=0 e AD.v=0 
 
Determine as coordenadas do vetor AD para que o volume desse tetraedro seja 
48unidades de volume. 
 
Respostas 
 
1) t (2/3,1/3,1/3) , t Є R* 
2) a) (8,11,6) b) (3,-1,0) c) (2, -1/2, -1) 
3) a) u . v = 1 e u . w = 0 b) | u | = 3 e u o = (2/3,-1/3,2/3) 
 c) (u , v) = arccos (√6/54) e (u , w) = 900 d) (x, y, (5x+5y) / 2 ) ; x,y Є R* 
 e) ( 5/54, 5/54, -1/27) f) (0,0,0) g) 1/3 h) (2/3, -1/3, 2/3) ou (-2/3, 1/3, -2/3) 
 i) (6, -3, 6) ou (-6, 3, -6) j) (12,-6,15) l) (-8√485 / 485, 14√485 / 485, 
15√485 / 485) ou (8√485 / 485, -14√485 / 485, -15√485 / 485) m) (-4,2,-4) 
 n)√485 / 2 u.a. 
4) . a) 3 b) 4 c) 9
2
-4 d) 
2
23
 
5) a) 3 b) (0, 
5
5 , 
5
52 ,) c) (u,v)=arccos
5
10 d) t=(0,3,6) e) s=(2,0,-6) f) 
r=(x,y,z), tal que -3x+3z=0 e 
y
. g) 
v
uojPr
=(-1,0,1) 
6) a) t=k(-3,3,-1)k
 b) 
.a.u19
 c) 
.a.u192
 d) 0 
7) a) B=(2,0,1) b) y=(2,1,-7) c) (
2
1
2
1
2
2
,,
) 
8) a) (
3
8
3
4
3
4
,,
) b) h=1 e k=
3
2
 
9) z=
5
5 ou z=
5
5 
10) 2(
311
) 
11) a=-3 ou a=2 
12) 45º 
13) m=-5 
14) a) R = ( 75√3 + 90√2 , -5-90√2) b) ( 60√3 -120 , -40) 15) 3/2 u.a. 
16) m = ± 1/3 17) m = ± 8 18) ( ±5√3 / 3, ± 5√3 / 3, ± 5√3 / 3) 
19) ( ±8√5 / 3, ± 4√5 / 3, -/+ 10√5 / 3) 
20) a) m = 16 b) qualquer m c) não existe m 21) (1,-1,-3) 22) (-2,-1,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
23) O triângulo é isósceles. 24) (2,0,1) 25) (2,0,6) 
26) D = (0,4,2) área = 4√2 u.a. e sen (AB, AD) = 2√2 / 3 
27) aproximadamente 18,8 u.a. 
28) 
74
u.a. 
29) V=
.v.u
3
10
 e S=2
.a.u3
 
30) x=11 ou x=-1 
 
31) centro: M = (1/2,1/2,1/2) raio = √3/2 
32) Apenas os pontos da letra b) são vértices de um retângulo 
33) Apenas os pontos das letras a) e b) são vértices de um paralelogramo 
DESAFIO: AD=(-8,-4,4) ou AD=(8,4,-4)