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Lista 6 - Autovalores e Autovetores

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1 
 
 
Autovalores e autovetores 
 
Definição: 
 v (v) T 
que tal
, 0 v, V vum existe se T, de autovalor um é que se-Diz
linear.operador um V V : T Seja






 
Neste caso dizemos que v é um autovetor associado ao autovalor 

 
 
Em outras palavras, em um operador linear, T: V – V, estaremos interessados em saber quais 
vetores são levados em um múltipli de si mesmo. Neste caso T(v) será um vetor na mesma 
direção de v. 
 
Exemplos: 
 
 













00
00
 
 
nula) ação(Transform , 0 
: º.1



T
VvvT
VVT
 
 Qualquer vetor v 

0 é autovetor associado ao autovalor 

 = 0 
 
2º. T : V

 V 
 T (v) = 2 v 

 

 = 2 é Autovalor 
 Qualquer (x,y) ≠ (0,0) é Autovetor 
 
 
 
 
 
 
T 
v 
T(v) = 2v 
 2 
    2y- x,x y, xT 
 :T º.3 22


 
 Vamos verificar se existe 

 
 
   
   
 
 












02x
0-1
 
y.y2x
x.x
.y , x.2y- x,x 
 y, x. y, xT
 
 Para que não haja apenas a solução trivial, isto é, para que 
0
 
 temos que ter det A = 0 
 
 
 
  
  
2- 1 
 02.-1- 0 A det
2.-1- A det Adet
21
01
 I.TA 












 
 Estes escalares dão-nos a solução não trivial - São os Autovalores 
 
  1 a associado autovetor é y,3y tipo do vetor Qualquer
 
3yx 03y-x
00
 1 Para
 








 
 Por ex: T (15 , 5) = 1. (15 , 5) 
 
 
  -2 a associado autovetor é y, 0 tipo do vetor Qualquer
 
0x 0x
03x
 -2 Para







 
 Por ex: T (0 , 2) = -2. (0 , 2) = (0 , -4) 
 
 NOTA: Pode-se verificar esses valores por substituição na Transformação dada. 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
Importância do estudo de Autovalores e Autovetores 
 
 
  diagonal Matriz T v. )T(v
v. )T(v
v. )T(v
 Vde base v,,v,v 
sautovetore de base uma Com
n V dim ,V V: T 
linear operador um Tendo
n x n n
2
1
nnn
222
111
n21





















 




 
Autovalores e Autovetores de Matrizes Quadradas 
 
homogêneo Sistema 0 v . .I) - A ( 
0 v . I . v . A 0 v . v . A 
v . v . A 
x
x
x
 . 
x
x
x
 . 
aa
aa
 
é isto
 autovalor ao associado
 Ade autovetor um é v que dizemos caso Neste
v . v . A 
que tal
v coluna matriz uma existe se 
 Ade autovalor um é que Dizemos
n x n matriz uma A Seja
m
2
1
m
2
1
nmn1
1m11
1 x n













































 
 
 4 
Este sistema só tem solução não trivial se e somente se 
 det ( A – I v ) = 0 
 
Para achar det ( A – I v ) = 0, teremos um polinômio de grau n 
 
 
 Ade ticoCaracterís Polinômio 
 
) .I - A ( det )(pA


 
 
NOTA: As raízes deste polinômio são os autovalores procurados 
 
Exemplo: 




























-21
4-1-
 
10
01
 - 
21
41
.I -A 
21
41
A
    
 AMatriz da sautovalore os São 
2- 3 0)(p
6 
4 2- 2- 
4-2 -1- 
-21
4-1-
 det )(p
:ticocaracterís Polinômio O
A
2
2
A













 
 
Calculando os autovetores: 
 
oa , 
a
a
 v 
3 a associados vetores y x 
yx 
0y-x
04y4x-
 
0
0
y
x
 . 
-21
4-1-
 3



































 
 5 
0a , 
a
4a-
 v 
-2 a associados sautovetore 4y - x 
-4yx 
04yx
04yx
 
0
0
 
y
x
 . 
41
41
 -2 

































 
 
Exemplo 2 
 
0 )- (-5 .) - (1 0 .I) -(A det
500
310
201
I.A
5-00
310
201
 A
2 

























 
 
 5- e 1 es Autovalor 
 )- (-5 .) - (1 )(p 2A


 
 
Autovetores: 
0a com 
0
b
a
v 
0z 
06z-
03z
02z
 
0
0
0
 
z
y
x
 . 
6-00
300
200
 1






















































 
0a com 
6a
3a
2a
v ou 6a) , 3a , (2a v 
z
2
1
y
z
3
1
 - x 
 
03z6y 
02z6x 
 
0
0
0
 
z
y
x
 . 
0-00
360
206
 -5



























































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