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1 Autovalores e autovetores Definição: v (v) T que tal , 0 v, V vum existe se T, de autovalor um é que se-Diz linear.operador um V V : T Seja Neste caso dizemos que v é um autovetor associado ao autovalor Em outras palavras, em um operador linear, T: V – V, estaremos interessados em saber quais vetores são levados em um múltipli de si mesmo. Neste caso T(v) será um vetor na mesma direção de v. Exemplos: 00 00 nula) ação(Transform , 0 : º.1 T VvvT VVT Qualquer vetor v 0 é autovetor associado ao autovalor = 0 2º. T : V V T (v) = 2 v = 2 é Autovalor Qualquer (x,y) ≠ (0,0) é Autovetor T v T(v) = 2v 2 2y- x,x y, xT :T º.3 22 Vamos verificar se existe 02x 0-1 y.y2x x.x .y , x.2y- x,x y, x. y, xT Para que não haja apenas a solução trivial, isto é, para que 0 temos que ter det A = 0 2- 1 02.-1- 0 A det 2.-1- A det Adet 21 01 I.TA Estes escalares dão-nos a solução não trivial - São os Autovalores 1 a associado autovetor é y,3y tipo do vetor Qualquer 3yx 03y-x 00 1 Para Por ex: T (15 , 5) = 1. (15 , 5) -2 a associado autovetor é y, 0 tipo do vetor Qualquer 0x 0x 03x -2 Para Por ex: T (0 , 2) = -2. (0 , 2) = (0 , -4) NOTA: Pode-se verificar esses valores por substituição na Transformação dada. 3 Importância do estudo de Autovalores e Autovetores diagonal Matriz T v. )T(v v. )T(v v. )T(v Vde base v,,v,v sautovetore de base uma Com n V dim ,V V: T linear operador um Tendo n x n n 2 1 nnn 222 111 n21 Autovalores e Autovetores de Matrizes Quadradas homogêneo Sistema 0 v . .I) - A ( 0 v . I . v . A 0 v . v . A v . v . A x x x . x x x . aa aa é isto autovalor ao associado Ade autovetor um é v que dizemos caso Neste v . v . A que tal v coluna matriz uma existe se Ade autovalor um é que Dizemos n x n matriz uma A Seja m 2 1 m 2 1 nmn1 1m11 1 x n 4 Este sistema só tem solução não trivial se e somente se det ( A – I v ) = 0 Para achar det ( A – I v ) = 0, teremos um polinômio de grau n Ade ticoCaracterís Polinômio ) .I - A ( det )(pA NOTA: As raízes deste polinômio são os autovalores procurados Exemplo: -21 4-1- 10 01 - 21 41 .I -A 21 41 A AMatriz da sautovalore os São 2- 3 0)(p 6 4 2- 2- 4-2 -1- -21 4-1- det )(p :ticocaracterís Polinômio O A 2 2 A Calculando os autovetores: oa , a a v 3 a associados vetores y x yx 0y-x 04y4x- 0 0 y x . -21 4-1- 3 5 0a , a 4a- v -2 a associados sautovetore 4y - x -4yx 04yx 04yx 0 0 y x . 41 41 -2 Exemplo 2 0 )- (-5 .) - (1 0 .I) -(A det 500 310 201 I.A 5-00 310 201 A 2 5- e 1 es Autovalor )- (-5 .) - (1 )(p 2A Autovetores: 0a com 0 b a v 0z 06z- 03z 02z 0 0 0 z y x . 6-00 300 200 1 0a com 6a 3a 2a v ou 6a) , 3a , (2a v z 2 1 y z 3 1 - x 03z6y 02z6x 0 0 0 z y x . 0-00 360 206 -5
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