Capitulo4 EnergiadeDeformacao

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CAPÍTULO 4:
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia Civil
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 – Energia de Deformação
P
δ
P
P1
δ0 dδ δ1
PL
δ
Trabalho realizado pela força P durante o alongamento dδ:
dU=P.dδ → elemento de área
Trabalho total → →∫ ⋅=
1
0
δ δdPU Área sob o 
diagrama força-
deformação entre 
0 e δ1.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 – Energia de Deformação
O trabalho da força P é transformado total ou 
parcialmente em energia de deformação.
Unidade : N.M = J (Joule)
Para um material elástico linear:
P
δ
P
δ
2
.δPU = → Área do triângulo hachurado
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 – Densidade de Energia de Deformação
� Para que a análise não fique presa as dimensões da 
barra e possa ser dirigida para as propriedades do 
material, vamos considerar o trabalho de deformação 
por unidade de volume:
∫
∫
⋅=
⋅
⋅
=
1
1
0
0
x
x
L
dx
A
P
LA
dxP
V
U
∫=
1
0
.
ε
εσ xx du→
Unidade : J/m³
� Observa-se que a densidade de energia é igual a 
área sob a curva tensão x deformação específica.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 – Densidade de Energia de Deformação
Se o material for descarregado quando o nível de 
tensão for maior que o escoamento, a tensão retorna 
a zero, mas há uma deformação permanente (εp), e 
somente parte da densidade de energia é
recuperada (correspondente a área do triângulo), o 
restante é dissipada na forma de calor.
ε1εp
ε
σ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 – Densidade de Energia de Deformação
Módulo de Tenacidade : é a área total sob a curva 
tensão x deformação específica (ε=εp) e representa a 
energia por unidade de volume necessária para fazer 
o material entrar em ruptura.
A tenacidade está relacionada com ductilidade e 
resistência do material.
εR
ε
σ
Ruptura
Módulo de tenacidade
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 – Densidade de Energia de Deformação
� Para material elástico linear:
22
0
22
1






⋅=
⋅
=
⋅⋅=∴⋅= ∫
E
EE
u
dEuE
xx
xxxx
σε
εεεσ
ε
E
u x
⋅
=
2
2σ
Para σx=σE
E
u EE
⋅
=
2
2σ
εE
ε
σ
σE
Módulo de Resiliência
Módulo de Resiliência
Módulo de Resiliência : representa a energia por unidade de 
volume que o material pode absorver sem escoar.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.3 – Energia de Deformação Elástica para 
Tensões Normais
� Para distribuição de tensões não uniformes, “u”
pode ser definido considerando-se a energia de 
deformação de um pequeno elemento:
V
U
u
V ∆
∆
=
→∆ 0
lim
dV
dU
u =e
Onde: ∫ ⋅=
1
0
ε
εσ xx du E
uE xxx
⋅
=→⋅=
2
2σ
εσ
∫ ⋅=∴⋅=
Vol
dVuUdVudU
Assim: ∫ ⋅=
V
x dV
E
U
2
2σ
e
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.3.1 – Para Carga Axial
P
dV=A(x).dx
L
)(xA
P
x =σ
∫∫ ⋅⋅
⋅
=⋅
⋅⋅
=
L
xV x
dxxA
AE
PdV
AE
PU
0
2
)(
2
)(
)(
2
²
2
²
∫ ⋅
⋅⋅
=
L
dx
xAE
PU
0
2
)(2
se A=const. →
AE
LPU
⋅⋅
⋅
=
2
2
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.3.1 – Para Carga Axial
� Exemplos:
A1, E1 A2, E2
L1 L2
P
A2, E2, L2, F2
A1,
 E1,
 L1
,
 F1
22
2
2
11
1
2
21
22 EA
LP
EA
LPU
UUU
⋅⋅
⋅
+
⋅⋅
⋅
=
+=
22
2
2
2
11
1
2
1
21
22 EA
LF
EA
LFU
UUU
⋅⋅
⋅
+
⋅⋅
⋅
=
+=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
A B
x
C
q
P
q
4.3.2 – Para Flexão
σxσx
dA
dx
z
x I
yM .
=σ
• Desprezando as tensões de cisalhamento
• Momento em C = M
⇒⋅⋅⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅⋅
⋅
=⋅
⋅⋅
⋅
=⋅=
∫ ∫
∫ ∫ ∫
L
AZ
V V A ZZ
x
dxdAy
IE
MU
dV
EI
yMdV
EI
yMdV
E
U
0
2
2
2
2
2
222
)²(
2
2
²
22
σ
∫ ⋅
⋅⋅
=
L
z
dx
IE
MU
0
2
2
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.3.2 – Para Flexão
� Exemplo:
Px
L
EI
06
³²
2
²²
0
L
IE
xPdx
IE
xPU
xPM
z
L
z ⋅⋅
⋅
=⋅
⋅⋅
⋅
=
⋅−=
∫
zIE
LPU
⋅⋅
⋅
=
6
32
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.4 – Energia de Deformação Elástica para 
Tensão de Cisalhamento
τ
τ
τ
τ
∫=
γ
γτ
0
.du onde: γτ .G=
G
GGGdGu
⋅
=
⋅
=
⋅
=⋅⋅= ∫ 2
²
2
)²(
2
²
0
ττγγγ
γ
∫=∴=⇒=
V
dVuUdVudU
dV
dU
u . .
∫ ⋅
⋅
=
V
dV
G
U
2
²τ
2
.γτ
=u
τ
γ
τ
τ
γ
τ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.4.1 – Para Torção
T
L
TT
dA.dx
dA
U
T
φ
φ: ângulo de torção
J
T
JG
LT
ρ
τ
φ
⋅
=
⋅
⋅
=
⇒⋅⋅⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅
⋅
=⋅
⋅
=
∫∫
∫∫
dxdA
JG
TU
dxdA
JG
TdV
G
U
A
L
x
x
)²(
2
²
2
²²
2
²
0
2
)(
2
)(
ρ
ρτ
∫ ⋅
⋅⋅
=
L
x
dx
JG
TU
0 )(2
²
JG
LTU
⋅⋅
⋅
=
2
2
Eixo da seção uniforme ⇒
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.4.1 – Para Torção
� Exemplo:
φ=n.d φ=d
T
L/2 L/2
2
2
2
1
1
2
21
22 JG
LT
JG
LTU
UUU
⋅⋅
⋅
+
⋅⋅
⋅
=
+=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.4.2 – Para Carregamento Transversal
Considerar as tensões normais e de cisalhamento.
P
L
yτ
dA
τσ UUU +=
Energia de deformação devido a tensão normal Uσ:
z
L
z IE
LPdx
IE
MU
PxM
⋅⋅
⋅
=⋅
⋅⋅
=
⋅−=
∫ 62
32
0
2
σ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.4.2 – Para Carregamento Transversal
Energia de deformação devido a tensão de cisalhamento Uτ:
∫ ∫
∫∫
⋅







⋅⋅
⋅
=
⋅





⋅
⋅
=⋅=
→
⋅
⋅
=
L
A
s
z
V z
s
V
z
s
xy
dxdA
b
M
IG
VU
dAdx
Ib
MV
G
dV
G
U
Ib
MV
0
2
2
2
²2
²
2
1
2
²
τ
τ
τ
τ Atua no volume dx.dA
A integral ∫ ⋅
A
s dA
b
M
²
2
é calculada na área da seção.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.4.2 – Para Carregamento Transversal
Fator de forma para cisalhamento (fc):
∫ ⋅=
A
s
z
C dAb
M
I
Af 2
2
2
Então:
A
IfdA
b
M zC
A
s
2
2
2
⋅
=∫
Logo: ∫ ⋅
⋅
⋅
⋅
=
L
zC
z
dx
A
If
IG
VU
0
2
22
²
τ
∫ ⋅
⋅
⋅
=
L C dx
AG
VfU
0 2
²
τ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.4.2 – Para Carregamento Transversal
� Exemplo de cálculo do fator de forma:
- Seção Retangular:
)( 2 yh − Ai
y
dy
b
2
h
2
h
)
4
(
2
)()
2
)((
12
2
2
2
2
3
yhbM
ybyyAyM
hbI
hbA
S
h
h
iiS
z
−⋅=
−⋅⋅
−
+=⋅=
⋅
=
⋅=
dybdA .=
∫
−
=⋅⋅−⋅
⋅
⋅





 ⋅
⋅
=
2
2
5
6)
4
(
4
12
2
2
2
2
23
h
h
dybyh
b
b
hb
hbfC
=⋅
⋅
⋅
= ∫
L
dx
AG
V
U
0
2
2
5
6
τ
AG
LV
⋅⋅
⋅⋅5
3 2
Logo: τσ UUU +=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.5 – Energia de Deformação devido a uma Força
∫ ⋅=
1
0
δ
dsPU
Para deformação elástica: δ⋅= PU
2
1
Exemplos:
1) Viga em balanço:
P
L
y
=





⋅⋅
⋅
=
⋅
=
zIE
LPPU
yPU
32
2
3
Sabendo que:
z
máx IE
LPy
⋅
⋅
=
3
³
zIE
LP
⋅⋅
⋅
6
32
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.5 – Energia de Deformação devido a uma Força
2) Viga engastada com momento na extremidade:
L
θ
M
z
máx IE
LM
MdMU
⋅
⋅
=
⋅
=⋅= ∫
θ
θθ
θ
20
=





⋅
⋅
⋅=
⋅
=
zIE
LMMMU
22
θ
zIE
LM
⋅⋅
⋅
2
2
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.5 – Energia de Deformação devido a uma Força
3) Eixo circular torcido:
JG
LT
TdTU
⋅
⋅
=
⋅
=⋅= ∫
φ
φφφ
0 2
=
⋅
⋅
⋅=
JG
LTTU
2
L
T
T
φ
JG
LT
⋅⋅
⋅
2
2
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.6 – Deformação devida a uma força
Sabemos agora que:
δ⋅= PU
2
1 θ⋅⋅= MU
2
1 φ⋅⋅= TU
2
1
Se o trabalho de deformação U for conhecido, pode-se 
obter as deformações δδδδ, θθθθ ou φφφφ.
Exemplo: Determine a flecha da viga abaixo 
considerando: a) somente as tensões normais;
b) as tensões normais e de cisalhamento
P
L
B
h
bL
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.6 – Deformação devida a uma força
a) Efeito das tensões normais:
z
L
z
L
o
z
IE
LPdx
IE
xPU
xPM
IE
MU
⋅⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅
=
⋅−=→
⋅⋅
=
∫
∫
62
2
32
0
22
2
σ
σ
→
⋅⋅
⋅
=
⋅
=
z
B
IE
LPyPU
62
32
σ
Como:
z
B IE
LPy
⋅⋅
⋅
=
3
3
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.6 – Deformação devida a uma força
b) Efeito das tensões normais e de cisalhamento:
=⋅
⋅⋅
⋅
=
⋅
⋅⋅
⋅
=
∫
∫
L
L C
dx
AG
P
U
dx
AG
VfU
0
2
0
2
2
5
6
2
τ
τ
Seção retangular:
5
6
=Cf
AG
LP
⋅⋅
⋅⋅
5
3 2
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.6 – Deformação devida a uma força
zIE
LPU
⋅⋅
⋅
=
6
32
σ






⋅⋅⋅
⋅⋅
+⋅
⋅⋅
⋅
=






⋅⋅⋅
⋅⋅
+⋅
⋅⋅
⋅
=
⋅
⋅⋅
⋅⋅
+
⋅⋅
⋅
=
⋅
=
⋅⋅
⋅⋅
+
⋅⋅
⋅
=+=
2
3
2
32
232
232
5
181
3
5
181
62
5
3
62
5
3
6
LGA
IE
IE
LPy
LGA
IE
IE
LPyP
AG
LP
IE
LPyPU
AG
LP
IE
LPUUU
z
z
B
z
z
B
z
B
Total
z
Total τσ
↑
Parcela relativa ao cisalhamento
(yB)Uτ → equivale a erro menor 
que 0,9% quando h/L<1/10
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
“Se o material de um corpo solicitado por forças 
é elástico linear e os deslocamentos são 
pequenos, a derivada parcial da energia de 
deformação em relação a qualquer força 
fornece o deslocamento correspondente a 
esta força.”
i
i P
U
∂
∂
=δ
i
i M
U
∂
∂
=θ
i
i T
U
∂
∂
=φAssim:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
Para uma viga:
∫ ⋅
⋅⋅
=
L
z
dx
IE
MU
0
2
2
∫ ⋅∂
∂
⋅
⋅
=
∂
∂
=
L
izi
i dxP
M
IE
M
P
U
0
δ
∫ ⋅∂
∂
⋅
⋅
=
∂
∂
=
L
izi
i dxM
M
IE
M
M
U
0
θ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
� Exemplo 1: Determine a flecha no ponto B da viga 
engastada abaixo. Considere E.Iz = 5MN.m²
6 KN
2 m
4 KN/m
x
P
M
xq
xPM
−=
∂
∂
⋅
+⋅−= )
2
(
2
)
83
(1
)
2
(1
))(
2
(1
43
0
3
2
0
2
0
LqLP
IE
dxxqxP
IE
dxxxqxP
IE
dx
P
M
IE
M
P
U
z
B
L
z
B
L
z
B
L
B
⋅
+
⋅
=
⋅
=∂
⋅
⋅
+⋅=
⋅
=∂
⋅−
⋅
+⋅−=
⋅
=∂
⋅
∂
∂
⋅
⋅
=
∂
∂
=∂
∫
∫
∫
)
8
2104
3
2106(
105
1 4333
6
××
+
××
×
=∂B
↓=×=∂ − mmmB 8,4108,4 3
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
Obs.: O teorema de Castigliano determina o deslocamento 
δi de um determinado ponto da estrutura, apenas se 
existir uma força Pi aplicada neste ponto e na direção em 
que δi vai ser determinada. Quando não existir 
carregamento aplicado no ponto desejado, ou quando a 
carga não está na direção do deslocamento desejado, 
pode-se usar o teorema de Castigliano aplicando uma 
força fictícia Qi na direção em que deve ser calculado o 
deslocamento δi, então,
i
i Q
U
∂
∂
=δ
Assume Qi = 0 e calcula-se o deslocamento desejado.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
� Exemplo 2: Determine a flecha e a declividade no 
ponto A da viga engastada.
QA
B
L
q
A
x S
1) Aplica-se no ponto A uma carga fictícia QA
∫ ⋅∂
∂
⋅
⋅
=
∂
∂
=
L
izi
A dxQ
M
IE
M
Q
U
0
δ
2) Momento a uma distância x de A:
xQ
M
xq
xQM
A
A
−=
∂
∂
⋅
−⋅−=
2
2
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
3) Flecha:
08
1
2
1
0 
)()
2
²(1
4
0
3
0
Lxq
IE
dxxq
IE
Qfazendo
dxxxqxQ
IE
z
L
z
A
A
L
A
z
A
⋅
⋅
⋅
=⋅
⋅
⋅
=
=
⋅−⋅
⋅
−⋅−⋅
⋅
=
∫
∫
δ
δ
↓
⋅⋅
⋅
=
z
A IE
Lq
8
4
δ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
4) Declividade:
MA 1
2
2
0
−=
∂
∂
→
⋅
−−=
⋅
∂
∂
⋅
⋅
=
∂
∂
= ∫
A
A
A
L
zA
A
M
MxqMM
dx
M
M
IE
M
M
Uθ
z
A
z
A
A
L
A
z
A
IE
LqLxq
IE
M
dxxqM
IE
⋅⋅
⋅
=→
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅−⋅
⋅
−−⋅
⋅
= ∫
6
³
06
³1
0
)1()
2
²(1
0
θθ
θ
q
A
S B
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
� Exemplo 3: Para a viga e carregamento mostrado, 
determine o deslocamento no ponto D.
Use E = 200 GPa e Iz = 28,9x106mm4.
Q
3,6 m
q = 26 kN/m
a=1,4m b=2,2mD
BA
Teorema de Castigliano
1- Aplica-se uma força fictícia Q 
vertical no ponto D.
∫∫∫ ⋅∂
∂
⋅+⋅
∂
∂
⋅=⋅
∂
∂
⋅=
D
B
z
D
A
z
L
z
D dxQ
M
EI
MdxQ
M
EI
MdxQ
M
EI
M 2211
0
δ
2- Flecha em D:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
Trecho AD: 0 ≤ x ≤ a
L
xb
Q
M
ex
L
bQ
L
bq
xRM VA
⋅
=
∂
∂
⋅
⋅
+
⋅
=⋅=
1
1 )2
²(
LEI
baRdx
L
xb
xR
EI
dxQ
M
EI
M
z
VAa
VA
z
D
A
z ⋅⋅
⋅⋅
=⋅
⋅
⋅⋅=⋅
∂
∂
⋅ ∫∫ 3
³1
0
1
11Logo:
Fazendo Q=0 e substituindo RVA:
∫
⋅⋅
⋅⋅
=⋅
∂
∂D
A
zz LEI
baqdxQ
M
EI
M
²6
³³11
Reações de apoio:
L
aQ
L
b
abq
e
L
bQ
L
bqR VBVA ⋅+
+⋅⋅
=
⋅
+
⋅
=
)
2
(
R 
2
2
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
Trecho DB: 0 ≤ v ≤ b
L
va
Q
M
vq
v
L
aQ
L
b
abq
vq
vRM VB
⋅
=
∂
∂
⋅
−⋅
⋅
+
+⋅⋅
=⋅
−⋅=
2
2 2
²]
)
2
(
[
2
²
Logo:
LEI
baq
LEI
baRdvQ
M
EI
M
dv
L
vavq
vR
EI
dvQ
M
EI
M
zz
VBD
B
z
b
VB
z
D
B
z
⋅⋅
⋅⋅
−
⋅⋅
⋅⋅
=⋅
∂
∂
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−⋅=⋅
∂
∂
⋅
∫
∫∫
83
³
)
2
²(1
4
22
0
22
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
Fazendo Q=0 e substituindo VB:
q
LEI
baba
LEI
baq
LEI
ba
L
b
abq
dvQ
M
EI
M
zzz
D
B
z
⋅
⋅⋅
⋅+⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅
−
⋅⋅
⋅
⋅










+⋅
=⋅
∂
∂
⋅∫
²24
²5
83
³
)
2
( 544
2
22
Substituindo os valores numéricos:
)4(
24
³)()4(
²24
³
²)5²4(
²24
³
²24
²5
²6
³³
54
ba
LEI
baqbaba
LEI
baq
baba
LEI
baqq
LEI
baba
LEI
baq
zz
D
zzz
D
+
⋅⋅
⋅⋅
=+⋅+⋅
⋅⋅
⋅⋅
=
++
⋅⋅
⋅⋅
=⋅
⋅⋅
⋅+⋅
+
⋅⋅
⋅⋅
=
δ
δ
Flecha no ponto D:
↓= mmD 05,6δ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
� Exemplo 4: Determine os deslocamentos horizontais 
e verticais do ponto B na estrutura abaixo:
Q
L
P
A,E
A,E
3
4
3
4
C
D
B
FBC
FBD
B Q
P
3
4
3
4
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
1) Aplica-se uma força fictícia Q horizontal em B;
2) Teorema de Castigliano:
P
UyQ
U
x BB ∂
∂
=
∂
∂
= e 
3) Energia de deformação da estrutura:
EA
LF
EA
LFU BDBDBCBC
.2.2
22
⋅
+
⋅
=
Logo:
P
F
EA
LF
P
F
EA
LF
P
Uy
Q
F
EA
LF
Q
F
EA
LF
Q
U
x
BDBDBDBCBCBC
B
BDBDBDBCBCBC
B
∂
∂
⋅
⋅
⋅
+
∂
∂
⋅
⋅
⋅
=
∂
∂
=
∂
∂
⋅
⋅
⋅
+
∂
∂
⋅
⋅
⋅
=
∂
∂
=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
4) Forças nas barras: equilíbrio do ponto B
0
15
16
15
20
5
3
0
3
45
5
4
5
3
0
5
4
5
30
3
450
5
3
5
40
=
⋅
+
⋅
−−⋅
=




 −
−−⋅
=⋅−−⋅∴=
−
=∴=⋅−⋅−∴=
∑
∑
BC
BC
BC
BC
BDBCy
BC
BDBDBCx
FQPF
FQPF
FPFF
FQFFFQF
QPF
QPF
BD
BC
⋅+⋅−=
⋅+⋅=
6,08,0
8,06,0
FBC
FBD
B Q
P
3
4
3
4
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
Logo:
8,06,0
6,08,0
−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
P
F
e
P
F
Q
F
eQ
F
BDBC
BDBC
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.7 – Teorema de Castigliano
5) Cálculo dos deslocamentos
Fazendo Q=0:



⋅−=
⋅=
PF
PF
BD
BC
8,0
6,0
EA
LP
EA
LP
EA
LPy
EA
LP
EA
LP
EA
LP
x
LLeLL
B
B
BDBC
⋅
⋅
=−
⋅
⋅⋅−
+⋅
⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
⋅
−=⋅
⋅
⋅⋅−
+⋅
⋅
⋅⋅⋅
=
⋅=⋅=
728,0)8,0.(8,0)8,0(6,06,0)6,0(
096,06,08,0)8,0(8,06,06,0
8,0 6,0
↓
⋅
⋅
⋅=←
⋅
⋅
⋅=
EA
LPy
EA
LP
x BB 728,0 096,0Logo:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Pode-se usar o teorema de Castigliano para 
determinar reações de apoio de estruturas 
estaticamente indeterminadas:
Exemplo 1: q
A
L
B
q
A
L
RA
B
Grau de hiperestaticidade → 1
Escolhe-se uma reação como redundante → RA
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Pelo teorema de Castigliano: →
A
A R
Uy
∂
∂
=
x
R
Mxq
xRM
dx
R
M
IE
M
R
Uy
A
A
L
AzA
A
=
∂
∂⋅
−⋅=
⋅
∂
∂
⋅
⋅
=
∂
∂
= ∫
 e 
2
2
0
Onde sabe-se que yA=0
Logo: 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
)
83
³(1
)
2
³
²(1
)
2
²(1
4
0
0
qLLR
EI
y
dxxqxR
EI
y
dxxxqxR
EI
y
A
z
A
L
A
z
A
L
A
z
A
−
⋅
⋅=
⋅
−⋅=
⋅⋅
⋅
−⋅=
∫
∫
Como yA= 0 → 8
3 LqRA
⋅⋅
=
Logo:
8
²
 
8
5 qLMeqLR BB ==
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Exemplo 2: Determine as reações de apoios da viga:
Grau de hiperestaticidade : 3 – 2 = 1
Reação redundante : RA
q
A
L
B
L/2
C
q
A
L
B
L/2
RA
C
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Teorema de Castigliano:






⋅
∂
∂
⋅+⋅
∂
∂
⋅=⋅
∂
∂
⋅= ∫∫∫
C
B
A
B
A
AzAz
A dxR
MMdx
R
MM
EI
dx
R
M
EI
My 2211
1
qLRRRqLR ACAB 4
32 e 3
4
9
−=−=
Reações de apoio:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Trecho 1 : 0 ≤ x ≤ L
x
R
Mqx
xRM
A
A =∂
∂
−⋅=
1
1 ;2
²
83
³)
2
²(
4
0
1
1
qLLRdxxqxxRdx
R
MM A
L
A
B
A
A
−
⋅
=⋅⋅−⋅=⋅
∂
∂
⋅ ∫∫
Trecho 2 : 0 ≤ v ≤ L/2
v
R
Mqv
vqLRM
A
A 2 ;2
²)
4
32( 22 =∂
∂
−⋅−=
64
5
6
³
64166
³
 
2]
2
²)
4
32[(
444
2/
0
2
2
qLLRqLqLLR
dvvqvvqLRdv
R
MM
AA
L
A
B
C
A
−
⋅
=−−
⋅
=
⋅⋅−⋅−=⋅
∂
∂
⋅ ∫∫
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Reação em A:












−
⋅
+





−
⋅
=
64
5
6
³
83
³1 44 qLLRqLLR
EI
y AA
z
A
Sabendo que yA = 0 ↑= qLRA 32
13
Reação em B e C: ↑= qLRB 32
33 ↑=
16
qLRC
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Exemplo 3: Determine a força em cada barra da 
estrutura abaixo, sendo estas de mesmo material e 
mesma área.
P
B
0,6L
0,8L
L
H
0,5L
C
D
P
B
RH
FBHFBC
FBD
B
P
Grau de hiperestaticidade → 3 – 2 = 1
Escolhe-se uma reação como redundante → RH
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Pelo teorema de Castigliano → 0 =∂
∂
= H
H
H yeR
Uy
Energia de deformação:
AE
LF
AE
LF
AE
LFU BHBHBDBDBCBC
222
222
⋅
+
⋅
+
⋅
=
Logo:
H
BHBHBH
H
BDBDBD
H
BCBCBC
H R
F
AE
LF
R
F
AE
LF
R
F
AE
LFy
∂
∂
⋅
⋅
+
∂
∂
⋅
⋅
+
∂
∂
⋅
⋅
=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Forças nas barras: equilíbrio do ponto B
PRF
RPF
RF
HBD
HBC
HBH
8,08,0
6,06,0
−=
−=
=









=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
⇒
8,0
6,0
1
H
BD
H
BC
H
BH
R
F
R
F
R
F
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
[ ]15,08,08,0)8,08,0()6,0(6,0)6,06,0(1 ⋅⋅+⋅⋅−+−⋅⋅−= LRLPRLRP
AE
y HHHH
Como: yH = 0 →
PR
PR
H
H
593,0
0728,0228,1
=
=−
PFPFPF BHBDBC 593,0326,0244,0 =−==