Lista 7 - Autovalores e Autovetores - Atividade em grupo

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Autovalores e Autovetores 
 
1ª Questão: Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores dos 
operadores lineares: 
 
a) ( )2,1v = − e 2 2:T →ℝ ℝ , tal que [ ] 2 2
1 3
T
 
=  
 
; 
b) b) ( )2,1,3v = − e 3 3:T →ℝ ℝ , tal que [ ]
1 1 0
2 3 2
1 2 1
T
− 
 
=  
  
; 
2ª Questão: Determine os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares: 
 
a) ( ) ( )2 2: ; , 2 , 4 ;T T x y x y x y→ = + − +ℝ ℝ 
b) ( ) ( )2 2: ; , 5 , 3 ;T T x y x y x y→ = − +ℝ ℝ 
c) ( ) ( )2 2: ; , , ;T T x y y x→ = −ℝ ℝ 
d) ( ) ( )3 3: ; , , , 2 , 2 3 .T T x y z x y z y z y z→ = + + + +ℝ ℝ 
 
3ª Questão: Os vetores ( )1 1,1v = e ( )2 2, 1v = − são autovetores de um operador linear 
2 2:T →ℝ ℝ , associados a 1 5λ = e 2 1λ = − , respectivamente. Determinar a imagem do 
vetor ( )4,1v = por esse operador. 
 
4ª Questão: a) Determine o operador linear 2 2:T →ℝ ℝ cujos autovalores são 1 1λ = e 
2 3λ = , associados aos autovetores ( )1 1, 1v = − e ( )2 0,1v = , respectivamente. 
 
b) Mesmo enunciado para 1 3λ = , 2 2λ = − e ( )1 1, 2v = , ( )2 1,0v = − . 
 
5ª Questão: Se 1 4λ = e 2 2λ = , são autovalores de 2 2:T →ℝ ℝ , associados aos 
autovetores ( )2,1u = e ( )1,3v = − , respectivamente, determine ( )3T u v− . 
 
6ª Questão: Considere um operador linear 2 2:T →ℝ ℝ , tal que ( )T u u= e ( ) 1
2
T v v= , 
para algum u (e v )∈ℝ . Determine ( )T w se ( ) ( ) ( )0,2 , 2,6 e 3,7u v w= = = . 
UNIFACS - Universidade Salvador 
Geometria Analítica e Álgebra Linear Turma: 
Profº 
Atividade em Grupo 2011.1 Data:___/___/_____ 
 
Nomes:_________________________________Curso:___________
_________________________________________________________ 
 
Respostas: 
 
1) a) Sim b) Não 
2) a) 1 3λ = , ( )1 ,v y y= ; 2 2λ = , ( )2 2 ,v y y= 
b) 1 2 4λ λ= = , ( ),v x x= 
c) Não existem. 
d) 1 2 2λ λ= = , ( ), ,v x y y= − ; 3 4λ = , ( )3 , , 2v x x x= 
3) ( )8,11 
4) a) ( ) ( ), , 2 3T x y x x y= + 
b) ( ) 5, 2 ,3
2
T x y x y y = − + 
 
 
5) ( )26,6 
6) 3 5,
2 2
 
 
 