Integrais Impróprias

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Ca´lculo Diferencial e Integral II
Aula 1: Integrais Impro´prias
Data: 12.03.2014
1. Integral Impro´pria
Inicialmente quando trabalhamos com a integral definida∫ b
a
f(x)dx
a func¸a˜o f esta definida no intervalo limitado [a, b] e assumimos que f na˜o tem descon-
tinuidade infinita.
Agora, estenderemos o conceito de integral definida para considerar um intervalo de
integrac¸a˜o infinito e tambe´m para o caso em que f tem uma descontinuidade Infinita em
[a, b].
Em ambos os casos a integral e´ chamada Integral impro´pria.
1◦ Caso- Os Intervalos Infinitos
Considere a regia˜o infinita S que esta´ sob a curva y =
1
x2
, acima do eixo x e a direita
da reta x = 1.
A ide´ia que no´s temos e´ que S tem extensa˜o infinita, a sua a´rea sera´ infinita.
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Engenharia de Produc¸a˜o e Matema´tica
2
Mas, observe que a a´rea da parte de S, que esta´ a` esquerda da reta x = t e´
A(t) =
∫ t
1
1
x2
dx = −1
x
∣∣∣t
1
= 1− 1
t
Note que A(t) < 1 na˜o importando qua˜o grande seja t.
Ale´m disso,
lim
t→∞
A(t) = lim
t→∞
(1− 1
t
) = 1
Ou seja, a a´rea se aproxima de 1 quando t → ∞. Assim, dizemos que a a´rea da regia˜o
infinita S e´ igual a 1 e escrevemos∫ ∞
1
1
x2
dx = lim
t→∞
∫ t
1
1
x2
dx = 1
Isto nos induz a seguinte definic¸a˜o
Definic¸a˜o 0.0.1. Se f e´ cont´ınua para todo x ≥ a, enta˜o∫ +∞
a
f(x)dx = lim
b→∞
∫ b
a
f(x)dx
se este limite existir.
Se o limite de integrac¸a˜o inferior e´ infinito, temos a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 0.0.2. Se f e´ cont´ınua para todo x ≤ b, enta˜o∫ b
−∞
f(x)dx = lim
a→−∞
∫ b
a
f(x)dx
se este limite existir.
Finalmente, temos o caso em que os limites de integrac¸a˜o sa˜o ambos infinitos.
Definic¸a˜o 0.0.3. Se f e´ cont´ınua para todo valor de x, enta˜o∫ ∞
−∞
f(x)dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
f(x)dx + lim
b→+∞
∫ b
0
f(x)dx
se este limite existir.
As Integrais impro´prias
∫∞
a
f(x)dx e
∫ b
−∞ f(x)dx, sa˜o chamadas convergentes se os
limites correspondentes existem. Do contra´rio, dizemos que a integral e´ divergente.
Obs.: Quando estamos considerando o intervalo infinito a regia˜o se estende indefinida-
mente em direc¸a˜o horizontal.
Exemplos:
Engenharia de Produc¸a˜o e Matema´tica
3
1) Calcule
∫ 2
−∞
dx
(4− x)2 se convergir.
2) Calcule
∫∞
1
dx
x
se convergir.
Compare o Exemplo Inicial com o exemplo acima.
3) Calcule (a)
∫ +∞
−∞ xdx (b)limr→∞
∫ r
−r xdx
4) Calcule
∫∞
−∞
dx
(x2 + 6x + 12)
se convergir.
5) Calcule
∫ 0
−∞ xe
xdx se convergir.
6) Calcule
∫∞
−∞
1
1 + x2
dx se convergir.
Exerc´ıcios: Calcule:
a)
∫ +∞
5
dx√
x− 1 b)
∫∞
−∞
dx
16 + x2
c)
∫ +∞
0
e−xdx. d)
∫∞
0
sen xdx
e)
∫ 0
−∞ x5
−x2dx. f)
∫ 0
−∞
dx
x2 + 5
2◦ Caso- Integrandos Descont´ınuos
Suponha que f seja uma func¸a˜o positiva cont´ınua definida no intervalo finito [a, b),
mas com uma ass´ıntota vertical em b. Neste caso a regia˜o se estende indefinidamente em
direc¸a˜o vertical.
A a´rea da parte de S entre a e t e´
A(t) =
∫ t
a
f(x)dx
Se acontecer de A(t) aproximar-se de nu´mero definido A quando t → b−, enta˜o dizemos
que a a´rea da regia˜o S e´ A e escrevemos∫ b
a
f(x)dx = lim
t→−b
∫ t
a
f(x)dx
Definic¸a˜o 0.0.4. (a)Se f e´ cont´ınua em [a, b) e descont´ınua(descontinuidade do tipo
infinita) em b, enta˜o ∫ b
a
f(x)dx = lim
t→b−
∫ t
a
f(x)dx
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Ou ainda, ∫ b
a
f(x)dx = lim
�→0−
∫ b−�
a
f(x)dx
se tais limites existem.
(b)Se f e´ cont´ınua em (a, b] e descont´ınua(descontinuidade do tipo infinita) em a,
enta˜o ∫ b
a
f(x)dx = lim
t→a+
∫ b
t
f(x)dx
Ou ainda, ∫ b
a
f(x)dx = lim
�→0+
∫ b
a+�
f(x)dx
Se tais limites existem.
(c)Se tiver uma descontinuidade em c, onde a < c < b, ambos
∫ c
a
f(x)dx e
∫ b
c
f(x)dx
forem convergentes, enta˜o definimos∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +
∫ b
c
f(x)dx
Exemplos:
1) Calcule
∫ 5
2
dx√
x− 2 se convergir.
2) Calcule
∫ pi
2
0
secxdx se convergir.
3) Calcule
∫ 3
0
dx
x− 1 se convergir.
5) Calcule
∫ 1
0
lnxdx se convergir.
6) Calcule
∫ 3
0
dx
(x− 1) 23 se convergir.
Exerc´ıcios: Calcule:
a)
∫ +∞
0
dx
x2 + 1
b)
∫ 1
0
dx√
x
c)
∫ 1
−1
dx
x
2
3
. d)
∫ 4
0
dx√
4− x
e)
∫ pi
2
0
tanxdx. f)
∫ 1
−1
dx
x2
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Crite´rio de Comparac¸a˜o:Sejam f e g duas func¸o˜es integra´veis em [a, t], para todo
t > a, e tais que, para todo x ≥ a, 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Enta˜o
(a)
∫∞
a
g(x)dx convergente ⇒ ∫∞
a
f(x)dx convergente;
(b)
∫∞
a
f(x)dx divergente ⇒ ∫∞
a
g(x)dx divergente.
Exemplos:
1) Calcule
∫∞
0
e−x sen3 xdx
2) Calcule
∫∞
1
x3
x4 + 3
dx.