Matematica Hilder Góes

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HÍLDER GÓES
Licenciatura plena em Matemática pela 
Universidade Estadual do Ceará - UECE 
Autor dos livros A Matemática do Vestibular e 
Elementos Básicos de Estatística
UBALDO TONAR
Licenciatura plena em Matemática pela 
Universidade Estadual do Ceará - UECE e 
Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Ceará - 
Professor concursado do Estado do Ceará
MATEMÁTICA PARA
C O N C U R S O
7 -. Edição
Rio - São Paulo - Fortaleza 
2004
© 2004 Hilder Góes e Ubaldo Tonar
© 2004 desta edição cedidos à 
Editora e Gráfica ABC Fortaleza Ltda.
P r o je to G r á h c o 
Carlos Alberto A; Dantas 
Roberta de Oliveira
R ev is o r T éc n ic o 
Fernando Antônio Saraiva de Araújo
Capa 
Heron Cruz
Pedidos:
Editora e Gráfica ABC Fortaleza Ltda,
Rua Vergueiro, 439 - Loja 27 - Bairro: Aclimação 
CEP: 01504-001 - São Paulo - São Paulo 
* * *
Rua Eduardo Salgado, 156 - Bairro: Aldeota 
Fone: (0**85) 264-3540; Fax: (0**85) 264-3606 
E-mail: abceditora@baydenetxom.br 
CEP: 60150-140 - Fortaleza - Ceará
Dados Internacionais de Catalogação na Publicaçao (CIP)
G 598m Góes, Hilder Bezerra.
Matemática para concurso. Por Hilder Bezerra Góes e Ubaldo 
Teixeira Góes. Rio — São Paulo - Fortaleza: ABC Editora, 2004.
632 p.
1. Matemática. I. Título. II. Góes, Ubaldo Teixeira.
CDD: 5 10
Para nossa querida filha e neta 
Deísy
com amor e carinho 
do seu pai Ubaldo e 
do seu avô Hilder.
A PRESEN TA ÇÃO
Animados, pela aceitação que tiveram as quatro primeiras 
edições cleste livro, resolvemos, após profundas modificações, tanto 
em seu conteúdo, como em sua explanação, trazer a lume a quin­
ta edição deste clespretencioso trabalho no qual tentamos reunir 
toda a matéria que achamos necessária aos candidatos a concurso 
público de nível médio.
Lembramos, contudo que o enrequecimento deste trabalho, 
não invalida, obviamente, as edições anteriores, as quais serão 
sempre aproveitáveis.
Dividido em duas partes: a primeira, contendo um conjunto 
de conhecimentos básicos e indispensáveis, que reputamos de 
grande importância para um bom desempenho e compreensão 
quando cio estudo da segunda parte, por isso aconselhamos uma 
especial atenção à mesma; na segunda parte inserimos, pratica­
mente, todo o conteúdo da maioria dos concursos, como TRT, 
TRF, TJC e tantos outros.
Na publicação desta quinta edição, ainda não nos moveu o 
interesse pecuniário, nem a vaidade de ser autor mas tão somen­
te, aníma-nos o desejo e a esperança de havermos trazido uma 
modesta contribuição com algo que venha facilitar o aprendizado 
de todos aqueles que pretendem aumentar seu conhecimento nessa 
tão fascinante matéria, em especial, aos interessados em ingressar 
na carreira pública; eis o nosso propósito maior. Como também, 
dizíamos então - e agora repetimos - não haver feito trabalho 
notável ou original.
A aceitação deste livro será por certo, um estímulo e uma 
imposição para que continuemos em nosso propósito.
Muito grato seremos a quantos nos queiram apontar falhas 
que certamente encontrarão.
O S AUTORES
SUMÁRIO
PRIMEIRA PARTE
0 1 Número ................................................................................................................ 1 3
0 2 S istema de N umeração .................................................................................. 2 7
0 3 Números Inteiros ............................................................................................ 3 5
0 4 Números Fracionários .................................................................................. 4 8
0 5 Números D ecimais .......................................................................................... 6 6
0 6 Números C omplexos .................................................................... ................. 7 9
0 7 N úm eros R elativos ......................................................................................... 8 9
0 8 E quação do Prim eiro G r a u ....................................................................... 9 3
0 9 S istema de Equação do P rimeiro G r a u ...................................................1 0 0
1 0 Inequaçào do P rimeiro G r a u ............ .........................................................1 0 6
11 S istema de I n e q u aç à o d o P rimeiro G rau ............................................ . 1 1 1
1 2 Equação do S egundo G r a u .........................................................................1 1 4
1 3 S istema de Equação do S egundo G r a u ..................................................1 2 4
1 4 P o ten ciaç ão ..................................................................................................... 1 2 6
1 5 Radiciação ...........................................................................................................1 4 2
1 6 Q uestões de Concursos ............................................................................. 1 5 7
SEGUNDA PARTE
*‘ 1 7 Números Inteiros ............................................................................................. 1 6 3
1 8 Q uestões de C o n cu r so s.................................................................................2 1 0
1 9 Números Fracionários ................................................................................... 2 2 2
2 0 Q uestões de C o n c u r so s................................................................................2 5 7
2 1 R egra de T r ê s ................................................................................................. 2 6 4
2 2 Q uestões de C o n c u r s o s .................................................................................2 8 5
*23 R a z ã o ....................................................................................................................2 9 5
2 4 Q uestões de C o n c u r so s................................................................................ 3 0 5
25 P roporção .......................................................................................................... 3 0 8
2 6 Q uestões de C o n c u rs o s .................................................................................3 3 1
2 7 D iv isã o P r o p o r c io n a l ............................... .................................................... 3 3 4
/28 M í d i a s ................................................................................................................... 3 5 9
2 9 Números P roporcionais ................................................................................ 3 6 5
3 0 Q uestões de Concursos ............................................................................ 3 ó 7
3 1 R egra de S o c i e d a d e .................................................................................................. 3 7 3
3 2 Q u estões dh C o n c u r s o s ......................................................................................... 3 8 2
3 3 P orcentagem .......•............................................................................................ 3 8 7
'3 4 Q uestões de C o n c u r s o s .......................................................................................... 4 1 8
35 J uro s S imples .................................................................................................... 4 3 2
3 6 P r a z o , T a x a k C apital M é d i o s ..................................................................4 6 9
37 Q uestõ es de C o n c u r s o s .............................................................................................4 7 5
3 8 D esco n to S imples .......................................................................................................4 8 4
3 9 Q u estões de C o n c u r s o s ....................................................................... .....................50 4
4 0 S istem a M étrico D ecim al ...................................................................................... 5 0 9
4 1 Q uestões de C o n c u r so s ............................................................................ ............5 4 2
■ 42' Es c a l a ......................... :v .............., ....................................................................................5 5 1
4 3 Q u estões de C o n c u r s o s .............................................................................................5 5 4
4 4 F u n ç ão d o P rimeiro G r a u .......................................................................................5 5 6
4 5 Q uestões de C o n c u r so s ................................. : ......................................................5 6 6
4 6 F u n çào Q uadráttca ......................................................................................................5 6 8
4 7 Q uestões de C o n c u r s o s .............................................................................................5 7 8
4 8 D ivisibtlidade ........ ............................................................................................................5 8 0
4 9 N úm eros P r im o s , M últiplos e D iv t so r e s .........................................................5 9 4
tÇO M á x im o D iv iso r C o m um ................................................................................. 6 0 3
*51 M ínim o M úuh plo C o m um ..........................................................................................6 1 4
5 2 Q u estões de C o n c u r s o s ............................................................................................6 2 2
5 3 P ro blem as do S e ç ijn d o G r a u ............................................................................... 6 2 4
PRIMEIRA PARTE
Númi-ho - 1 
S is te m a d e N u m e r a ç ã o - 2 
N ú m e ro s I n t e i r o s ~ 3 
N ú m e ro s F r a c i o n á r i o s - 4 
N ú m e ro s D e c im a is - 5 
N ú m e ro s C o m p le x o s - 6 
N ú m e ro s R e la t i v o s - 7 
E q u a ç ã o d o P r ím e íro G r a u - 8
9 - S íst e m a de E q u a ç ã o d o P rim e ir o G r a u
1 0 - I n e q u a ç ã o d o P rim eiro G rau
1 1 - S ist e m a de ín e q u a ç ã o d o P rim e iro G ra
1 2 - E q u a ç ã o d o S e g u n d o G rau
1 3 - S i s t em a de E q u a ç ã o d o S e g u n d o G ra u
1 4 - P o t e n c s a ç ã o
1 5 - RADI Cia ç ã o
1 6 - Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s
1
NÚMERO
DEFINIÇÃO: E o resultado da comparação de uma grande2a com a 
unidade.
GRANDEZA: E tudo aquilo que pode ser pesado, medido ou contado. 
As grandezas se classificam em:
a) Contínuas: São as grandezas que podem ser aumentadas ou diminuí­
das de uma quantidade qualquer.
Exemplos: Uma peça de pano, um rolo de barbante.
b) Descontínuas: São as grandezas que só podem ser aumentadas ou
diminuídas de uma quantidade determinada. 
Exemplos: Uma porção de bolas, um grupo de meninos.
c) Homogêneas: São as grandezas da mesma espécie.
Exemplos: 3 lápis e 5 lápis ou 4 bolas e 7 bolas.
d) Heterogêneas: São as grandezas de espécies diferentes.
Exemplos: 2 lápis e 3 cadernos ou 5 bolas e 6 laranjas.
UNIDADE: É uma grandeza que serve para medir outras grandezas da 
mesma espécie. A grandeza escolhida para unidade é arbi­
trária, mas é necessário que seja perfeitamente definida.
CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS: Os números se classificam em:
I) POR SUA NATUREZA:
a) Concreto: E o número que determina a espécie de unidade a que se 
refere.
Exemplos: 3 bolas; 5 cadernos
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 13
b) Abstrato: É o número que nào determina a espécie de unidade a que 
se refere.
Exemplos: 6, 4, 7.
II) POR SUA ESPÉCIE
a) Homogêneo: E o número que indica coisas da mesma espécie.
Exemplos: 2 lápis e 3 lápis.
b) Heterogêneo: E o número que indica coisas de espécies diferentes.
Exemplos: 2 lápis e 4 livros.
III) PELAS PARTES QUE INDICAM
a) INTEIRO: E o número que consta só de unidades.
Exemplos: 3 cadernos, 6 livros.
Os números inteiros podem ser:
i) Simples: E o número formado de um só algarismo.
Exemplos: 3, 5, 7.
ALGARISMOS sào os símbolos que representam os números.
ii) Composto: É o número formado por dois ou mais algarismos.
Exemplos: 26,138, 1435.
b) FRACIONARIO: é o número que indica uma ou mais partes da unidade.
Exemplos: 2 1 3
3 ’ 5 ’ 7
Os números frandonários se dividem em:
Decimais
Exatos: 0,2: 0,85
f Simples: 0,333 .. 
Periódicos <
i Compostos: 0,4222...
1 4 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
r Puros
Próprios: 2 3
5* 4
Ordinários 1 Impróprios: 7 ? 8^
3 5
t Aparentes: 5 20
c) MISTO: É o número formado por um número inteiro e um número 
fracionário.
Se classificam em:
Decimais: 5,3; 9,3535...
1 2Ordinários: 2- ; 4-
3 5
O número abstrato, isto é, aquele que nào determina a espécie de 
unidade, é o verdadeiro número, pois o concreto é constituído do número 
abstrato, ligado à natureza da unidade escolhida.
O conjunto de processos empregados para se representar os nú­
meros constitui o que se chama de SISTEMA DE NUMERAÇÃO.
Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base, isto é, pelo 
número de unidades de uma ordem que formam uma unidade de ordem 
imediatamente superior. O número de algarismos de um sistema de nu­
meração é igual à base.
O sistema universalmente adotado é o decimal. Nesse sistema, dez 
unidades de uma ordem, formam uma unidade de ordem imediatamente 
superior. Assim, dez unidades formam uma dezena; dez dezenas formam 
uma centena.
A numeração escrita, tendo como base esse sistema, se norteia no 
seguinte princípio: “Qualquer algarismo escrito à esquerda de outro, vale 
dez vezes esse outro algarismo”.
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS: Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9 são denominados significativos. Um algarismo significativo tem 
dois valores:
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 5
Valor Absoluto: É o valor que o algarismo possui quando escrito 
isoladamente. O algarismo 5, como valor absoluto, vale sempre 5; o alga­
rismo 7, sozinho, vale sempre 7; e assim por diante.
Valor Relativo: E o valor que o algarismo possui de conformidade 
com o lugar que ele ocupa no número. Assim, no número 327, o 7 vale 
sete unidades, o 2 vaie duas dezenas e o 3 vale três centenas.
OX - De 345 a 789 incluídos esses números, quantos números inteiros e 
consecutivos existem.
Solução: Basta subtrairmos do maior número o menor, e somar­
mos uma unidade.
' 789 — 345 = 444 - » 444 + 1 = 445 números
02 - De 480 a 720 incluídos esses números, calcule quantos números intei­
ros e consecutivos existem.
Solução: 720 — 480 = 240 240 + 1 = 241 números
03 - De 371 a 840 incluídos esses números, calcule quantos números intei­
ros e consecutivos existem.
R; 470
04 - De 31 até 700, calcule quantos números inteiros e consecutivos exis­
tem, incluindo esses números.
R: 670
05 - De 345 a 789 excluídos esses números, calcule quantos números in­
teiros e consecutivos existem.
Solução: Basta subtrairmos do número maior o menor e diminuir­
mos uma unidade.
789 — 345 — 444 —> 444 1 = 443 números
16 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
06 - De 132 a 186 excluídos esses números, calcule quantos números 
inteiros c consecutivos existem.
R: 53
07 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem de 20 até 
251, excluindo esses números.
R: 230
08 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 243 
excluído c 527 incluído.
Solução: Basta subtrairmos do número maior o menor 
527 - 243 = 284
09 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem quando se 
escreve de 180 excluído e 320 incluído.
R: 140
10 - Calculequantos números inteiros e consecutivos existem entre 130 
incluído e 780 excluído.
R: 650
11 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os.. ——
números de 1, 2 e(3)ilgarismos. ^ | ^ „ i\) - / ~ 3 - ~ B ~ § .3 -1
Solução: Os números de um algarismo, começam~3õTevão até ao
9 incluídos; são, portanto: 9 — 1 ~ B —> 8 + 1 —9
I -ogo, são 9 números de um algarismo e são necessários 9 x 1 = 9 
algarismos para escrevê-los.
• Os números de dois algarismos começam no 10 e vão até o 99 
incluídos; são, portanto: 99 ~ 10 = 89 —*■ 89 + 1 = 90
Então, são 90 números de dois algarismos, sendo necessários
90 x 2 — 180 algarismos para escrevc-los.
* Os números de três algarismos começam no 100 e vão até ao 999
incluídos; há, portanto*. 999 — 100 = 899 —» 899 + 1 900.
Então, sào 900 números de três algarismos, sendo necessários 
900 x 3 ~ 2.700 algarismos para escrevê-los.
Concluímos que, para se escrever todos os números de 1, 2 e 3 
algarismos, serão necessários: 9 + 180 + 2.700 = 2.889 algarismos.
MATÍm ÁTíCA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 7
12 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos 
os números naturais de 1 até 88.
Solução:
• De 1 a 9, temos 9 — 1 = 8 —> 8 -í- 1 = 9 números de um algaris­
mo, logo serão necessários 9 x 1 = 9 algarismos.
• De 10 a 88, temos 88 — 10 = 78 —» 78 + 1 ~ -9 números de dois
algarismos, sendo, portanto, necessários 79 x 2 = 158 algarismos. Logo 
serão necessários 9 + 158 = 167 algarismos. ~
13 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever to­
dos os números naturais de 30 a 176.
. R : 371
14 - Calcular o número de algarismos necessários/para se escrever desde
31 até 245.
R: 576
15 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos 
os números de 30 até 91.
R: 124
16 - Calcule o número de algarismos necessários para se escrever de 37 
até 239.
R: 546
17 - Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os nú­
meros de 1 a 934, inclusive.
R: 2.694
18 - Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os nú­
meros de 7 a 32.427, inclusive.
R: 151.023
19 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever tddos 
os números de três algarismos.
R: 2.700
18 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
20 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos
os números de cinco algarismos. C-. 1 6 ; -■
R: 450.000
21 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos 
os números de sete algarismos.
R: 63.000.000
22 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os 
números pares de 6 até 281 inclusive.
Solução:
Entre os números 6 e 9 existem dois números pares de um algaris­
mo, que são o 6 e o 8.
• De 10 até 99 existem: '99 - 10 = 89 + 1 = 90 números, dos quais 
45 são pares, de dois algarismos.
• De 100 até 281 existem: 281 - 100 = 181 + 1 = 182 números, 
dos quais 91 são pares, de três algarismos.
Então, para escrevermos os números pares de 6 até 281 utilizaremos:
2 x 1 - 2 -■> f. • - ! J ( - r ■: v " • C -r
4 5 x 2 = 90 '* /.
91 x 3 =273 . J ;
365 algarismos
23 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os 
números ímpares de 5 até 175 inclusive.
' R: 207
(■24" - Um aluno escreveu do menor número par de 3 algarismos significati­
vos desiguais até o maior número ímpar de 6 algarismos desiguais, incluí­
dos esses números. Calcule quantos algarismos escreveu.
R: 5,814.552 í ^ O
25 - Para numerar as 126 páginas de uma apostila, calcule quantos algaris­
mos foram necessários.
Solução:
• Da página 1 até a 9 foram utilizados 9 — l ~ 8 - - »8 + l = 9 
números de um algarismo. Logo, 9 x 1 = 9 algarismos.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 9
• Da página 10 até a 99 foram utilizados 99 —10 = 89 —> 89 + 1 = 90 
números de dois algarismos.
Logo, 90 x 2 = 180 algarismos.
• Da página 100 até a 126 foram utilizados 126 — 100 = 26 —»
—» 26 + 1 = 27 números de três algarismos.
Logo, 27 x 3 = 81 algarismos.
Então, ao todo, foram necessários 9 + 180 + 81 = 270 algarismos.
26 - Em um cinema há 150 poltronas. Calcule quantos algarismos serão 
necessários paira enumerá-las.
R: 342
27 - Em um teatro há 130 cadeiras. Calcule quantos algarismos serão ne­
cessários para enumerá-las.
R: 282
28 - Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários 
para enumerá-las?
R: 9.265
29 - Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 270 algaris­
mos. Calcular quantas páginas tem esse livro, j g _ \
Solução:
• Para enumerar as 9 primeiras páginas usaram-se: 9 x 1 =9 algarismos.
• Para enumerar as 90 páginas seguintes usaram-se 90x2 = 180 algarismos. 
Veja que, até agora, já usamos 180 + 9 = 189 algarismos.
Temos: 270 ~ 189 = 81 algarismos, que serão utilizados para enu­
merar páginas de três algarismos. Logo, 81 3 = 27 páginas. O total de
páginas será, portanto de: 9 + 90 27 = 126.
' s30\ Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 570 algaris­
mos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 22$jp
31 - Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 1.296 algaris­
mos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 468
20 HEUDER GÓES * UBALDO TONAR
32 - Para enumerar as páginas de um E v to foram necessários 3.421 alga­
rismos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 1.132 .
33 - Uma pessoa, para numerar as páginas de um álbum, cobrou $ 15,30. 
Quantas páginas tinha o álbum, sabendo-se que cobra $ 0,05 por algarismo?
R: 138
34 - Um artista foi contratado para enumerar as páginas de um álbum, 
devendo ganhar $ 5,00 por algarismo desenhado. Recebeu por esse traba­
lho $ 1.710,00. Calcule quantas páginas tinha o álbum.
R: 150
35 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos, obtém-se: 1234567891011121314151617... Determine o alga­
rismo que ocupa o 117 3Ü-lugar.
Solução:
• De 1 a 9 escreve-se: 9 x 1 = 9 algarismos.
• De 10 a 99 escreve-se 90 x 2 = 180 algarismos.
Então, até o número 99 escreve-se 189 algarismos. A partir do 100, 
os números são de três algarismos. Logo: 1173 - 189 = 984
Então, 984 -s- 3 = 328 números de. três algarismos. Conta-se, pois, até
o número 99 + 328 = 427. Logo, o algarismo que ocupa o 1173” lugar é o 7.
36 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos. Determinar o algarismo que ocupa o 12002 lugar.
R: 6
37 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, calcule o algarismo que ocupa o 1536a lugar.
R :X
38 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, qual será, o algarismo que ocupa o 3456U lugar.
R: 8
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 2 1
39 - Escrevendo-se a sucessào dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, determine o algarismo que ocupa o 2342a lugat
Solução:
• De 1 a 9 são 9 números de um algarismo. Logo, vocâutiliza 9 algarismos.
• De 10 a 99 são 90 números de dois algarismos. Logo, você utiliza 
180 algarismos.
Veja, que até agora, utilizamos 189 algarismos. Como são 2342 al-' 
garismos, ainda faltam 2342 — 189 = 2153.
Então: 2153 3, temos:
2153|_3__
05 717
23
2
717 números de 3 algarismos. Logo, até agora, temos: 9 + 90 + 717 = 816 
Mas veja que, na divisão, que não é exata, sobraram 2 algarismos 
para você escrever o número 817.
Se o resto tivesse sido 1 você só poderia escrever o 8, mas como 
sobraram 2 algarismos; do número 817 você.pode escrever o 8 e o 1. 
Então, o algarismo que ocupa o 2342- lugar, é o 1.
40 - Escrevendo-se a sucessào dos números naturais sem separar os alga­
rismos, determine o algarismo que ocupa o 985" lugar.
R: 3
41 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, determine o algarismo que ocupa o1234s lugax.
R: 4
42 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos, determine o 60ü algarismo escrito.
R: 3
43 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos, qual é o 500ü algarismo escrito.
R: 0 •
22 HIIJDER GÓES * UBAJLDO TONAR
44 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos, determine o 1800'- algarismo escrito.
R: 6
45 - Determinar o número de vezes que o algarismo 8 ocupa a posição das 
unidades; das dezenas; das centenas, na sucessão natural dos números in­
teiros de X até 10".
Solução:
Como algarismo das unidades, o número 8 aparecerá de 10 em 10. 
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", ele deverá 
aparecer 10“ 10 = 1Ò"'5 vezes como algarismo das unidades.
Como algarismo das dezenas ele aparecerá nos 10 números de cada 
centena terminados em 80, 81, 82,..., 89.
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10w, ele deverá 
aparecer 10 x 10“'-=- 102 = 10“+í -h 102 = IO11'1 vezes como algarismo das 
dezenas.
Como algarismo das centenas o número 8 aparecerá nos 100 nú­
meros de milhares terminados por 800, 801, 8 0 2 , 8 9 9 .
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", e como existe 
10" •*- 10J — IO”'3 milhares elé aparecerá 100 x 10"'3 = 102 x IO"'3 = 10“' 1 vezes 
como algarismo das centenas.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 23
46 - Determinar o número de vezes que o algarismo 3 aparece na suces­
são dos números de 1 até 100.000.
Solução:
De 1 até 100.000 eqüivale a de 1 até 10\
Como algarismo das unidades aparece 10"‘!, isto é, 10vl = 104. 
Como algarismo das dezenas aparece 10”'5, isto é, 10'"1 = 104. 
Como algarismo das centenas aparece 10"'’, isto ê, IO5*' = IO4. 
Como algarismo de milhar também aparece 104.
Conclui-se que, de 1 até 105, o algarismo 3 aparece 5 x 104 =
5 x 10.000 — 50.000 vezes.
47 - Determine o número de vezes que o algarismo 8 aparece na sucessão 
dos números de 1 até 1.000.
R: 300
48 - Determine o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão 
dos números de 1 até 10.000.
R: 5.000
49 - Determinar o número de vezes que o algarismo 2 aparece na sucessão 
dos números de 1 até 100.000.
R: 50.000
50 - Determinar o número dèVtóès que o algarismo 7 ocupa a posição das 
dezenas na sucessão dos números de 1 até 10.000.
R: 1.000
51 - Escrevendo-se os números de 1 até 537, determine quantas vezes 
aparecerá o algarismo 8-
Solução:
Decompondo-se o número 537, podemos escrever: 537 = 500 + 37. 
Na parte relativa a 37, o algarismo 8 aparece três vezes, senão veja­
mos: 508 - 518-528.
Na parcela relativa a 500, isto é, cinco centenas, o algarismo 8 figu­
rou 10 vezes como unidade em cada dezena e 10 vezes como dezena em 
cada centena. Figurou, portanto: 5 x (10 + 10) = 100 vezes.
24 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAS
Nas centenas nào figurou nenhuma vez, isto porque, ao escrever­
mos o último número 537, nào havíamos chegado a empregar o algarismo 8, 
como algarismo das centenas.
Concluímos, então, que o algarismo 8 aparece 3 + 100 = 103 vezes 
quando se escreve de 1 até 537.
52 - Determinar o número de vezes que .o algarismo 5 aparece quando se 
escreve de 1 até 537.
R: 142
^55j- Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparecerá quando 
se escreve de 1 até 327.
. R:óX~A
ÍB4j- Um aluno escreveu todos os números inteiros desde 1 até 2.850. 
'Determine quantas vezes ele escreveu o algarismo sete.
R :'8 6 5 '-H ^
55 - Que alteração sofre o número 23.486 quando se introduz um zero 
entre os algarismos 3 e 4.
Solução:
23.000 x 9 = 207.000, aumento sòÊrido.
Senão vejamos: 230.486 — 23.486 = 207.000.
56 Que alteração sofre o número 34.567 quando se introduz dois zeros 
entre os algarismos 5 e 6.
Solução:
34.500 x 99 = 3.415.500, aumento sofrido.
Senão vejamos: 3.450.067 — 34.567 = 3.415.500.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 25
57 - Que alteração sofre o número 2.548 quando se introduz um zero 
entre os algarismos 5 e 4.
R: 22.500
58 - Que alteração sofre o número 1957 quando intercalamos dois zeros 
entre os algarismos 9 e 5.
R: 188.100
59 - Que alteração sofre o número 678, quando se intercala um zero entre 
os algarismos 6 e 7.
R: 5,4.00^
60 - Qual a 1732u letra da seqüência: ABCDEABCDEABCDEABCD.I.
Solução:
Veja que a seqüência é formada por ABCDE seguido de ABCDE, 
isto é, de 5 em 5 letras. Logo, se dividirmos 1732 por 5, teremos:
1732 [ 5
23 346
32
2
De onde se conclui, que escrevemos a seqüência ABCDE, 346 ve­
zes. Mas, veja que a divisão não foi exata: sobraram 2 letras, então você só 
poderá escrever da próxima seqüência as letras AB. Logo, a letra que ocu­
pa 17321 é a letra B.
61 - Qual a 2080- letra da seqüência: DCABDCABDCABDCA...
R: B
62 - Qual a 1993a letra da seqüência: ABCDEDCBABCDEDCBABCDE 
DCBABCD...
R: A
63 - Qual a 1039a letra da seqüência: ABCDEDCABCDEDCABCDEDC AB...
R: C
64 - Determine a letra que ocupa a 1473a da seqüência: CDEFGHCD 
EFGHCDEFGHCD...
R: E
26 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Como já vimos, Sistema de Numeração, é o conjunto de processos 
empregados para se representar os números.
Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base.
O número de algarismos de úm sistema é igual a base. Veremos, a 
seguir, como se passa um número escrito em um certo sistema, numa base 
para outro sistema, em outra base.
P a s s a r u m N ú m e r o d o S is t e m a d e B a s e 1 0 p a r a u m 
S is t e m a d e B a s e Q u a l q u e r
01 - Escrever o número 370 no sistema de base 8. 
Solução:
• 37° [_ $
50 . t____
(562),
46
6
02 ~ O número 584 está escrito no sistema decimal, escrevê-lo no sistema 
de base 6.
Solução:
584 I 6
44, 97' 6
2, 37 16 6
T 4 2
Veja como fizemos:
Dividimos o número, pela base desejada, a seguir, dividimos o quo- 
ciente obtido pela base; continua-se dividindo-se os quocientes obtidos 
até encontrarmos um quocíente menor que a base. O número esaáto na 
nova base, será então formado pelo último quociente seguido dos restos
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 27
encontrados, escritos em sentido contrário, isto é, do último resto até o 
primeiro.
0 3 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base decimal, escreva-o 
no sistema de base 7.
Solução:
83452 7
13 11921 7
64 49 1703 [7
15 21 30 243 7
12 0 23 33 34 7
5 2 5 6 4
R: (465205),
0 4 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base 10. Escreva-o no 
sistema de base 4.
R: (0113330)4
0 5 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base 10. Escreva-o no 
sistema de base 5.
R: (231342).
06 - Escreva o número 288 no sistema de base 3.
R: (31200)}
07 - Escreva o número 43456 no sistema de base 6.
R: (533103) 6
P a s s a r u m N ú m e r o d o S is t e m a d e B a s e Q u a l q u e r 
p a r a o S is t e m a d e B a s e D e c im a l
0 8 - 0 número (562) H está escrito no sistema de base 8. Escreva-o no 
sistema de base decimal.
28 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
Solução:
( 5 6 2 ) g = 2 x 8 “ + 6 x 8 ' + 5 x 8 2 
= 2 + 4 8 + 3 2 0
= 3 7 0
0 9 - 0 número (2412)6 está escrito no sistema de base 6. Escreva-o no 
sistema de base 10.
Solução:
(2412) 6 = 2 x 6 ° + l x ó 1+ 4 x 6 2 + 2 x 63 
= 2 + 6 + 144 + 432
= 584
Veja como se faz:
Escreve-se uma SOMA, onde as parcelas sao:
— O algarismo da unidade, vezes à base elevada a zero;
— O algarismo das dezenas, vezes à base elevada a um;
— O algarismo das centenas, vezes à base elevada a dois;
— O algarismo das milhares, vezes à base elevada a três;
E assim por diante ...
10 - Escreva o número (213)4 na base 10.
R: 39
11 - Escreva o número (2416) na base 10.
k :9 9
1 2 - 0 número (465205)? esta escrito no sistema de base 7. Escreva-o no 
sistemade base 10.
R: 8 3 4 5 2
13 - O número (2001), está escrito no sistema de base 2. Escreva-o no 
sistema de base 10.
R: 17
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 29
Passar um Número Escrito em uma Base Q ual­
quer para Outra Base D iferente da Decimal
14 - Escrever o número (213) 4 para um sistema de base 5.
Yeja como se faz:
Passamos o número dado para a base decimal e, em seguida, passamos o 
número resultante para a base desejada.
Solução:
i) Passando (213)4 para a base decimal, temos:
(213), — 3x4° + 1x4' + 2 x 42 
= 3 + 4 + 32
= 39
ii) Agora, passaremos o número 39, que está escrito na base 10, 
para a base pedida, no caso, a base 5.
39 | 5
4 7
2 1
R: (124)s
15 - Escreva o número (2132)3 na base 4.
R: (4z2)4
16 - Escreva o número (1212). na base 2.
R: (510102),
17 - Escreva o número (102). na base 4.
R: (122)4
18 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 23 do 
sistema decimal se escreve 32.
30 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Solução:
Seja x a base desejada, então temos:
(32) x = 23
2 x * x ° + 3 x x ! = 2 3
2 + 3 x = 2 3
3 x = 2 1 x = 7
19 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 45 do 
sistema decimal se escreve 63.
R: 7
20 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 3.8 do 
sistema de base 10, se escreve 46.
R: 8
21 ~ Calcule a base do sistema de numeração em que o número 223 do 
sistema decimal se escreve 337.
Solução:
Seja x a base desejada, então temos:
(337) ^ = 223
7 x xü + 3 x x1 + 3 x x’ = 223
7 + 3x-+ 3x2 = 223
3x2 + 3x = 216
3x2 + 3x — 216 = 0
Resultou uma equação do 2- grau que resolvida nos dá: 
x’ = — 9 e x” = 8. Desprezamos a raiz negativa, então a base 
procurada será 8.
22 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 38 do 
sistema decimal se escreve 123.
R: 5
23 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 122 do 
sistema decimal, se escreve 145.
R: 9
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3 1
24 - Em que base está escrito o número 57 sabendo que no sistema de 
base decimal se escreve 72.
R: 13
25 - Qual é a base do sistema de numeração em que o número 144 na base 
10, se escreve 100.
R: 12
26 - Qualé a base do sistema de numeração em que 243 é o quadrado de 16.
Ri 11
27 - Um número de dois algarismos, escrito na base 7, escreve-se na base
9 com os mesmos algarismos em ordem inversa. Determinar esse número 
na base 10; correspondente ao número na base 7 e na base 9.
Solução:
Seja ab o número. Então temos:
(ab)7 = (ba),
b x 7o + a x 71 = a x 9o + b x 91 
b + 7a = a + 9b 
6a = 8b 
3a = 4b
Para que a igualdade desses dois produtos exista, deveremos ter: 
a = 4 e b = 3.
O número será: (43)7 ou (34)
Na base 10 teremos: (43), = 3 x 7Ü + 4 x T = 3 + 28 = 31 
(34), = 4 x 9o + 3 x 91 = 4 + 27 = 31
28 - Um número de dois algarismos, escrito na base 3, escreve-se na base 
5 com os mesmos algarismos escritos em ordem inversa. Determine esse 
número na base 10; correspondente ao número na base 3 e na base 5.
R: 7
29 - Certo número de dois algarismos escrito no sistema decimal tem 7 
para soma dos seus algarismos. Com a base 6, o número formado pelos 
mesmos algarismos, vale 16 unidades menos do que o primeiro. Achar 
esse primeiro número.
R: 43
32 HODER GÓES * UBALDO TONAR
30 ~ O número 23 se acha escrito em dois sistemas de numeração cujas 
bases diferem de duas unidades. Achar essas bases, sabendo que a soma 
dos dois números é 34.
R: 6 e 8
3731 - Escrever a fracão — na base 8.
J 51
Solução:
Passa-se separadamente, o numerador e o denominador, para a base 8.
37 | 8 => 37 = (45), 51 j 8 => 51 = (63),
5 4 3 6
No que resulta: — = — (8)
M 51 63
32 - Escreva a fracão — na base 9.
J 22
47R: ~ (9 )
24 '
33 - Escreva a feacão — na base 5.
' 27
R: Z i ( 5 )
52 1 ;
34 - Efetuar a divisão de (21374) s por 5. 
Solução: .
(2 1 . 3 7 4), [ 5
(21), = 17 3377
(23), = 19 
(47), = 39
(44), = 36
1
(21)g = 1 x 8o + 2 x 8‘ = 1 + 16 = 17
(23), = 3 x 8a + 2x 8l = 3 + 16 = 19
(47) g = 7 x 8Ü + 4 x 81 = 7 + 32 = 39
(44)s = 4 x 8° + 4 x 81 = 4 + 32 = 36
R: Quociente = 3377 e Resto = 1
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 33
35 - Calcule o quociente e o resto da divisão de (3414) por 6.
R: Quociente = 4548 e Resto = 4
36-0 número {7513)a está escrito na base 8. Calcule o resto da sua divisão por 3. 
R :0
37 - Calcule o quociente e o resto da divisão de (2632)fi por 4.
R: Quociente = 435 e Resto = 0
34 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
3
NÚMEROS INTEIROS
As operações fandamentais com os números inteiros sâo quatro:
Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO:
a) Elemento Neutro: O zero é o elemento neutro da adição nos 
números naturais.
2 + 0 = 2 0 + 5 = 5
b) Fechamento: A soma de dois ou mais números naturais é sem­
pre um número natural.
2 + 3 = 5 4 + 2 + 3 = 9
c) Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.
2 + 3 + 5 = 1 0
3 + 2 + 5 = 1 0
5 + 3 + 2 = 1 0
d) Associativa: Numa soma indicada de várias parcelas, podemos 
substituir várias de suas parcelas pela sua respectiva soma.
3 + 4 + 6 + 2 — ( 3 + 4) + (6 + 2 ) = 7 + 8 = 1 5
3 + 4 + 6 + 2 = ( 3 + 4 + 2 ) + 6 =9 + 6 = 1 5
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 35
OBSERVAÇÕES:
Primeira: Quando se aumenta uma parcela de uma certa quantida­
de, a soma fica aumentada dessa quantidade.
10 —> 10 + 5 = 15 
+ 6 + 6
16 2 1 - » 2 1 -1 6 = 5
Segunda: Quando se diminui uma parcela de uma certa quantida­
de, a soma fica diminuída dessa quantidade.
10 1 0 - 3 = 7
+ 6 H- 6
16 13 .-> 1 6 -1 3 = 3
01 - Numa adição de duas parcelas, uma delas é 900 e a soma 1.860. Calcu­
le a outra parcela.
R: 960
02 - Numa adição de 5 parcelas, a Ia e a 2- são, respectivamente, 600 e 700; 
a 3* é igual à diferença entre as duas primeiras; a 4a é igual à soma da Ia com 
a 3a, e a 5a é igual à diferença entre a 4- e a 3a. Calcule a soma.
R: 2.700
03 - Uma pessoa ao escrever as duas parcelas de uma soma, enganou-se e 
escreveu a primeira com um erro de 650 unidades para mais e a segunda 
com 165, também para mais. Calcule o erro total cometido.
R: 815
04 - Uma pessoa, ao escrever as três parcelas de uma adição, cometeu três 
erros para menos: de 123, na primeira, de 2 na segunda e de 35, na terceira. 
Calcule a. verdadeira soma, sabendo-se que ela encontrou 2.490.
R: 2.650
05 - Ao efetuar uma adição de duas parcelas, uma pessoa obteve o número 
3.260. Ao confrontá-la com o original, verificou seus erros iniciais quando 
havia copiado as parcelas: na Ia foi de 180, para mais, e na 2a, de 20, para 
menos. Calcule a soma exata.
R: 3.100
36 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
06 - Se acrescentarmos 15 centenas a um número e de outro tirarmos 743 
unidades, a soma desses números fica sendo 4.139. Se o menor deles é 
1.639. Calcule o maior.
R: 1.743
07 - Se tirarmos 757 de um número e 348, de outro, a soma torna-se 293. 
Sendo 1.049 o maior número, calcule o menor.
R: 349
08 - Numa soma de três parcelas, soma-se 3 unidades à primeira, 2 unida­
des à segunda e subtrai-se 9 unidades à terceira. Calcule de quantas unida­
des ficou alterado o resultado.
R: 4
SUBTRAÇÃO;
OBSERVAÇÕES:
Primeira: A subtração não é comutativa, nem associativa e nem 
possui elemento neutro.
Segunda: O minuendo é igual ao subtraendo somado com o resto.
8 minuendo
— 5 subtraendo 8 = 5 + 3
3 —> resto
Terceira:A soma do minuendo com o subtraendo e com o resto, é 
igual ao dobro do minuendo.
7 —> minuendo
— 3 —> subtraendo => 7 + 3+ 4= 14 =^ >14 — 2 x57
4 resto
:E a^opeíãçàô
MKNQR^-; çtiám.ado^áÍD^ DO je. pxitr'8
•número;^ !& Í0 ^ ÍT \r)O j*e!ç^|i
Te.suIi:ádo';(^ ^^ ^ ouRESilÒjjj
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 37
Q uarta: Somando-se ou subtraindo-se o mesmo número do 
minuendo e do subtraendo o resto não se altera.
1 8 - » 1 8 + 3 = 2 1 2 0 - > 2 0 — 3 = 1 7
— 6 —> 6 + 3 — — 9 — 7 —> 7 — 3 — — 4
1 2 1 2 1 3 1 3
Quinta: O resto varia no mesmo sentido que varia o minuendo, isto é:
a) Somando-se qualquer número ao minuendo, o resto ficará au­
mentado desse número.
1 8 —> 1 8 + 5 = 2 3
-A ~A
1 4 1 9 - » 1 9 = 1 4 + 5
b) Diminuindo-se qualquer número do minuendo, o resto ficará 
diminuído desse número.
1 4 —> 1 4 - 2 = 1 2
-A -_4
10 8 —» 8 = 10 - 2
Sexta: O resto varia em sentido contrário ao que varia o sub­
traendo, isto é:
a) Somando-se qualquer número ao subtraendo, o resto ficará di­
minuído desse número.
12 12
• —A 4 + 2 = > —_6
8 6 6 = 8 - 2
b) Diminuindo-se qualquer número do subtraendo, o resto ficará 
aumentado desse número.
1 6 1 6
— 6 —> 6 — 2 = > — 4
10 12->12 = 1 0 + 2
Sétima: Somando-se certo número ao minuendo e diminuindo-se 
outro número do subtraendo, o resto ficará aumentado da soma desses 
números.
38 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
20 - » 20 + -6 = 26
— 8 —» 8 —• o — — 3
12 23 - » (23 - 12) = 11 = 6 + 5
Oitava: Diminuindo-se certo número do minuendo e aumentan­
do-se de outro número o subtraendo, o resto ficará diminuído da soma 
desses números.
30 30 - 10 = 20
- J á 14 + 3 = - 17
16 3 (1 6 -3 ) = 13 = 10 + 3
09 - Calcule o minuendo de uma subtração, sabendo que o resto é 15 e o 
subtraendo 115.
R: 130
10 - Numa subtração, o dobro -do minuendo é 160. Calcule o resto, saben­
do que o subtraendo vale 20.
~ R: 60
11 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 120. Houve, porém, 
110 minuendo um erro de 20, para mais e no suba-aendo um erro de 10 
para mais. Calcule a diferença exata.
' R: 110)
12 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 180. Houve, porém, 
no minuendo urrr erro de 50 para mais, e no subtraendo um erro de 30 
para mais. Calcule a diferença esata.
R: 160
13 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 250, Houve, porém, 
no minuendo um erro de 70, para mais e no subtraendo um erro de 30 
para menos. Calcule a diferença exata.
R: 150
1 4 - 0 resto encontrado em uma diferença foi 280. Verificou-se, entretan­
to, que o minuendo havia sofrido um erro de 150, para menos e no 
subtraendo houve um erro de 70 para menos. Calcule o resto exato.
R: 500
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 39
15 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 80. Houve, porém 
no minuendo um erro de 70 para menos e no subtraendo um erro de 20 
para mais. Calcule a diferença exata.
R: 270
16 - Somando-se 72 ao minuendo e 15 ao subtraendo, calcule que altera­
ção sofre o resto da subtração.
R: Fica aumentado de 57 unidades
17 - Somando-se 54 ao minuendo e subtraindo-se 12 ao minuendo, calcule 
de quantas unidades o resto fica alterado.
R: 66
18 - Numa subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é 
igual a 90. O resto é inferior ao subtraendo em 19 unidades. Calcule os 
termos dessa subtração.
R: 45, 32 e 13
19 - São dados dois números dos quais o maior é 380. Tirand©~se 180 de 
um e 160 de outro, a soma dos restos obtidos é igual a 240. Calcular o 
número.
R: 200
2 0 - 0 minuendo de uma subtração é 346. O subtraendo e o resto são 
números pares e consecutivos, sendo o resto o maior desses números, 
calcule o subtraendo.
R: 172
21 - Á soma dos três números que figuram em uma subtração é 7492. O 
resto excede o subtraendo de 3438. Calcule os três números.
R: 3746,154 e 3592
22 - Numa subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto 
é ígual a 516. O subtraendo é igual ao resto. Calcule o minuendo e.p 
resto.
R: 258 e 129
40 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
23 - A soma dos três números qúe figuram numa subtração é igual a 948. 
Calcular esses três números, sabendo-se que o subtraendo e o resto são 
iguais.
R: 474, 237 e 237
24 - Em uma subtração a soma do minuendo, subtraendo e resto é 1344; 
o subtraendo sendo 621, determine o minuendo e o resta
R: 672 e 51
25 - Numa subtração a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é 
1686. O resto excede o subtraendo de 253 unidades. Calcular o minuendo, 
o subtraendo e o resto.
Rx 843, 295 e 548
26 - A soma dos três números que figuram numa subtração é 842. O resto 
excede o subtraendo de 145 unidades. Determinar esses três números.
R: 421,138 e 283
MULTIPLICAÇÃO:
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
a) Elemento Neutro: O um (1) é o elemento neutro da multiplicação.
3 x 1 = 3 4 x 1 = 4
b) Fechamento: O produto de dois números naturais é sempre um 
número natural.
2 x 3 = 6 4 x 5 = 20
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 4 1
c) Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto.
3 x 2 x 5 = 30
2 x 5 x 3 — 30
5 x 3 x 2 = 30
d) Associativa: Num produto de vários fatores podemos substituir 
dois ou mais deles pelo seu produto.
4 x 3 x 5 x 2 = 12 x 5 x 2 = 12 x 10 = 120
e) Distributiva em Relação a Adição: Para se multiplicar uma soma 
por um número, multiplica-se cada uma das parcelas pelo número dado e 
soma-se os produtos.
(4 + 6) x 3 = 4 x 3 + 6 x 3 = 12 + 18 = 30
£) Distributiva em Relação a Subtração: Para se multiplicar uma di­
ferença por um número, basta multiplicar cada termo da diferença por 
esse número e, a seguir, subtrair os produtos.
(12 - 10) x 2 = 12 x 2 - 10 x 2 = 24 - 20 = 4
g) Elemento Nulo: Quando um dos fatores é zero, o produto é zero.
3 x 0 = 0 2 x 5 x 0 x 6 = 0
h) Quando se soma um certo número a um dos fatores, o produto 
fica aumentado de uma quantidade igual, ao número multiplicado pelo 
outro fator.
i) Quando se subtrai um certo número de um dos fatores, o produ­
to fica subtraído de uma quantidade igual, ao número multiplicado pelo 
outro fator.
2-> 2 + 5 - 7
2 1 —*>21— 6 = 15 = 5 x 3
x_3
6
2 = 3
x_4
12 - » 20 — 12 = 8 = 2 x 4
x 4 
20
42 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
j) Quando se multiplica um dos fatores por um número, o produ­
to fica multiplicado por esse número.
10 10 x 3 = 30
x 4 x 4
40 120 = 40 x 3
1) Quando se divide um dos fatores por um número, o produto fica 
dividido por esse número
20 20 - 2 - 10 
x 3 x __3
60 30 = 60 4-2
2 7 - 0 produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o 
multiplicando, o produto será 96. Calcule o multiplicando e o multiplicador.
R: 15 e 8
2 8 - 0 produto de dois números, que é 594 será 429 se diminuirmos 5 do 
multiplicador. Calcule o primeiro e o segundo fatores.
R: 18 e 33
2 9 - 0 produto de dois números é 120, aumentando-se de 5 unidades o 
multiplicador, o produto será 160. Calcule o multiplicador.
R: 8
3 0 - 0 produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o 
multiplicador, o produto será 75. Calcule o multiplicador.
R; 15
3 1 - 0 produto de dois números é 248. Multiplicando-se um deles por 2 e 
o outro por 3, calcule o produto desses dois novos números.
R; 1.488
3 2 - 0 produto de dois números é 4.176. Subtraindo-se 7 de um dos 
números o produto se reduz a 3.770. Calcule esses números.
R: 1.488
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 43
3 3 - 0 produto de dois números é 630. Somando-se 4 ao multiplicador, 
o produto dos dois fatores fica igual a 798. Determinar os dois fatores.
R: 42 e 15
3 4 - 0 produto de dois números é 96.. Qual é o produto de um número 3 
vezes maior do que o primeiro por outro número 5 vezes maior do que o 
segundo?
R: 1.440
3 5 - 0 produto de dois números é 2496. Determinar esses números, sa- 
bendo-se que, juntando-se 4 ao multiplicador, o produto passa a ser 2688.
R: 48 e 52
3 6 - 0 produto de dois números é 1026. Subtraindo-se 2 aum dos núme­
ros o produto se reduz a 950. Determinar esses números.
R: 38 e 27
DIVISÃO
a) Dividendo: É o número que há de ser dividido.
. b) Divisor: É o número que indica em quantas partes iguais deverá 
ser dividido o dividendo.
c) Quociente: É o resultado da divisão.
d) Resto: É o que sobra da divisão, no caso dela não ser exata.
i) DIVIDENDO = DIVISOR x QUOCIENTE + RESTO
ii) O maior resto de uma divisão, é o divisor menos uma unidade.
44 HIIJDER GÓES * UBALDO TONAR
OBSERVAÇÕES:
Primeira: Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo e o divisor 
por um mesmo número (diferente de zero) o quociente não se altera, mas 
o resto ficará multiplicado ou dividido por esse número.
19 L i . / 19 x 2 = 38 38 1 10 -> 8 = 4 x 2
4 3 \ 5 x 2 = 10 8 3
Segunda: O quociente varia no mesmo sentido do dividendo, isto é:
a) Multiplicando-se o dividendo por um número, o quociente fica 
multiplicado por esse número.
32 4 -* 32 x 2 = 64 4
0 8 0 16 =í>16 = 8 x 2
b) Dividindo-se o dividendo por um número, o quociente fica 
dividido por esse númera
32 1 8 32 4- 2 = 16
0 4 0 2 => 2 = 4 - 2
Terceira: O quociente varia em sentido contrário ao que -varia o 
divisor, isto é:
a) Multiplicando-se o dividor por um número, o quociente fica divi­
dido por esse número.
64 8 => 8 x 2 = 16 => 64 16
0 8 ' ' 0 4 = > 4 = 8- r 2
b) Dividindo-se o divisor por um número, o quociente fica multi­
plicado por esse número.
40 8 8 4 2 = 4 =>40 4
0 5 0 1 0 ^ 1 0 = 5 x 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 45
37 - Calcule o maior numero que dividido por 11 dê um resto igual ao 
quodente.
R: 120
38 - Calcule o quodente de uma divisão, sabendo que, aumentando 52 
unidades ao dividendo e 4 unidades ao divisor, o quodente e o resto não 
se alteram.
R: 13
39 - Numa divisão o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior 
possível. Sabendo que a soma do divisor e do quociente é igual a 6, calcule
o dividendo.
R: 11
4 0 - 0 dividendo de uma subtração é 237, o resto é 16 e o divisor é o 
menor possível, calcule o quociente.
R: 13
41 - Numa divisão, o divisor é 257, o quodente é 59 e o resto é o maior 
possível. Calcule o dividendo.
R: 15.419
42 - Numa divisão, o divisor é 12, o quodente é 10 e o resto é o maior 
possível. Calcule o dividendo.
R: 131
43 - Numa divisão, o divisor é 28, o quodente é o quádruplo do divisor e
o resto é o maior possível Calcular o dividendo.
R: 3.163
44 - Numa divisão, o quociente é 48, o resto é a terça parte do quodente 
e é o maior possível. Calcular o dividendo.
R: 832
45 - Numa divisão, o quodente é 12; o divisor é o dobro do quociente e o 
resto é o maior possível. Calcule o dividendo.
R: 311
46 HILDER GÓES * UBAJUDO TONAR
46 - Em uma divisão, o dividendo é 5043, o quociente é 14 e o resto é 
185. Calcule o divisor.
R: 347
47 - Numa divisão, o divisor é 298, o quociente é o triplo do divisor e o 
resto é o maior possível. Determine o dividendo.
R: 266.709
48 - Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 16, e o resto é o maior 
possível. Calcular o -dividendo.
R: 254
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 4 ?
4
NÚMEROS FRACIONÁRIOS
INTRODUÇÃO
Poderemos dizer que:
a) a criança comeu 3 das 5 partes, isto é, três quintos da barra de 
chocolate.
b) a criança deixou de comer 2 das 5 partes, isto é, dois quintos da 
barra de chocolate.
Observe que os três quintos que a criança comeu da barra de cho­
colate e os dois quintos que deixou de comer, foram tirados da unidade 
que era uma barra de chocolate.
Os números três quintos e dois quintos, são chamados Números 
Fracionários ou Frações Ordinárias. Daí a definição.
Ilustrando o exemplo dado, temos: 
a barra de chocolate a barra de chocolate
três quintos dois quintos
NOTAÇÃO: Pata representarmos uma fração, são necessários dois 
números chamados termos da fração.
Sejam a e b números, com b ^ 0.
t â /Daí: — ou /. Onde a é o numerador e b é o denominador, 
b /b
48 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
a) O numerador indica o número de partes tomadas da unidade
b) O denominador indica em quantas partes a unidade foi dividida. 
A fração 3/5 da barra de chocolate que a criança comeu, indica que a 
unidade foi dividida em 5 partes e ela comeu 3 dessas partes.
CLASSIFICAÇÃO: As frações se classificam em:
a) Própria: Numerador MENOR do que o denominador.
j>, 4
3 ’ 7* 5
b) Imprópria: Numerador MAIOR do que o denominador.
7 , 8 , 4
2 ’ 5 ’ 3
c) Aparente: Numerador IGUAL ou MÚLTIPLO do denominador.
4 , 1§
6 * 2 ’ 5
d) Homogêneas: São as frações que possuem o mesmo denominador
1 3 - 7
5 * 5 ’ 5
e) Heterogêneas: São as frações que possuem denominadores diferentes:
3 2 4
4 ’ 5 ’ 9
f) Inversas: Duas frações se dizem inversas quando o numerador e
o denominador de uma for o denominador e o numerador da outra.
l e i Ae_í
5 2 4 3
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 49
g) Equivalentes: Duas ou mais -frações são ditas equivalentes, quando 
representam a mesma parte da unidade ou do inteiro:^ 2 e 3 _
2 5 4 ó ’
Veja graficamente <
CLASSE DE EQUIVALÊNCIA DE UMA FRAÇÃO:
Chamamos de Classe de Equivalência de uma fração, aoxonjun- 
to formado por todas as frações equivalentes a uma fração dada.
Exemplo: Calcule a classe de equivalência da fração
2Solução:
3
4 6 ' JS 1 0 1 2 ' 1 4
. 6 ’ 9 5 1 2 ’ 1 5 * 1 8 ’ 2 1
01 - Assinale as frações próprias:
1 2 7 8 7
02 - Assinale as frações impróprias:
1 11 7. ,— > — j
'h 4
50 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
03 - Assinale as frações aparentes.
3 8 3 5 8 14 4, _ j , —, — , —
5 4 1 5 3 7 3
04 - Dentre as frações seguintes, destaque as homogêneas entre si.
3 J 5 1 2 4 7 4-- J - J - J (*-- > ?- 5 -- > --
5 7 3 5 5 7 3
05 ~ Dentre as frações seguintes, destaque as heterogênas
1 rl 1 J l 1 1 1
4 5 3 ’ 4 7 5 4 * 4 ’ 4
306 - Escreva anco frações equivalentes à fração — >
PROPRIEDADES DAS FRAÇÕES:
a) Quando multiplicamos, os dois termos de uma fração, por um número 
diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada.
1Seta a fração — > multiplicando o numerador e o denominador por
2
2 32, resulta — • por 3 resulta—.
4 ’ 6
1 2 3As frações — e — são equivalentes.
2 4 6 M
b) Quando dividimos os dois termos de uma fração, por um núme­
ro diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada.
Seja a fração — > dividindo o numerador e o denominador por 2,
resulta — > por 3 resulta ™. As frações — » — e -=- são equivalentes. 
15 10 ' 30 15 10 M
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 5 1
c) Multiplicando o numerador de uma tração por um aúmero dt- 
ferente de zero, a fração fica multiplicada por esse número.
2 6Multiplicando o numerador da fração — por 3, teremos —- que é
8 8
três vezes a fracão ~ .
Visualize, graficamente/
d) Dividindo o numerador de uma fração por um número diferente 
de zero, a fração fica dividida por esse número.
4 2 'Seja a fração — , dividindo o numerador por 2, temos: -y - .
Visualize, graficamente<
e) Multiplicando o denominador de uma fração, por um número 
diferente de zero, a fração fica dividida por esse número.
Visuaiize, graficamente
1
3
1 „1 
3 x 2 6
f) Dividindo o denominador de uma fração, por um número dife­
rente de zero, a fração fica multiplicada por esse número.
Visuaiize, graficamente1 2 4
52 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
SIMPLIFICAÇÃO DE UMA FRAÇÃO
Quando os termos de uma fraçào admitem um divisor comum,
pode-se substituir essa fração por outra equivalente, com os termos com
menores valores.
BI 27
Seja a fração ~ ~ > dmdindo-se ambos os termos por 3, resulta: — 
108 36
81
que é uma fração equivalente a porém, com os termos mais
simplificados.
OBSERVAÇÃO:
. .ssfr -T iín ac lòr^
81
Na fraçào , ao dividirmos os seus termos pelo máximo divisor
3
comum de 81 e 108 que é 27, teremos a fraçào ~ , que é a forma irredutível 
81
fração — .
REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR
3 1 7
Seiam as frações —, — e — •
' 5 4 10
a) Calculamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores, o qual 
será o denominador comum das frações dadas. O m.m.c. (5, 4,10) = 20.
b) Dividimos o denominador comum 20, pelo denominador de 
cada fraçào.
20 - 5 = 4, 20 -r 4 = 5, 20 * 10 = 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 5 3
c) Multiplicando esses quocientes pelos respectivos numeradores,
i r 12 5 14obtemos os numeradores das frações. e ^
07 - Reduza, os conjuntos de frações abaixo, ao mesmo denominador.
3 3 3 1 , . 2 1 1 3 7 1 2 1
a) — b) — c)—
5 7 2 5 5 7 2 8 11 3 5 9
2 1 1 2 2 1 3 3 7 1 2 2
^ 7 ’ 8 ’ 3 ’ 4 t\ >6 , 4 , 2 8 ’ 3 ’ 5 ’ 1
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
a) Frações com o mesmo denominador
Exemplo:
4 2 5 3
—- é maior do que — - é maior do que ~
5 5 7 /
08 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior:
2 1_ 9 7 1 0 4_ 8
3 3 3 3 3 3 3
09 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor:
4 3 5 9 2 1 8
s V s V s V s
b) Frações com o mesmo numerador
Exemplos:
■2 , . , 2 1 1
— é maior do que — — é maior do que —5 7 2 4
54 HILDER GÓES * UBAJLDO TONAR
10 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior:
1 1 1 1 
7 ’ 8 ’ 9 ’ 4
11 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior:
3 3 _3_
i V l l
12 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor.
I I 1 i
5 ’ 7 ’ 8 ’ 9
13 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor.
i i I
2 ’ 4 ’ 3
c) Frações com numeradores e denominadores diferentes 
■''Dçyerôo s jréduzii:;^ détionun <> d< >r. rei^ürido sxo;\
Exemplo:
2 1 8 3 2 , 1
—, — =>— , — => — e maior do que —
3 4 1 2 1 2 3 4
14 - Colocar em ordem decrescente:
4 3 2 1 9
15 - Pôr em ordem decrescente:
i 1 1 1 1 1
8 ’ 8 5 8 ’ 8 *8
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 5 5
16 - Pôr em ordem crescente:
2 2 2 2 2 
5 ’ 7 J 4 ’ 3 ’ 9
17 - Pôr em ordem crescente:
i i 1 1 _ !
4 >3 ’ 8 ’ 7 >10
18 - Escrever em ordem crescente:
5 ’ 5 * 3 ’ 7 ’ 2
19 - Escrever em ordem crescente:
1 1 1 1 1 
3 V 4 ’ 7 ’ 2
NÚMERO MISTO
2 + 1 3 + 1
4
< )lhe ConiumeiUe o nmrie.tpíiítíÃtp eltpjrésínínaq s'eüi;b,'?íi\rJ.dcràt%ão; Bn
' ^ . ^ C V # ' - Y f
V/.-:' ..■:-2-tTí;='-2-:-:-&\o t . . - - - v a . . v\ ■ . - "■ ■
TRANSFORMAÇÃO DE UM NÚMERO MISTO EM 
FRAÇÃO IMPRÓPRIA
Hicarsé o-ii/^ero/iíifeii'». pelp:
se o nun
aõ\rés.ultátip sõ 
fraoío dada - '
56 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Exemplos:
0 1 = 2x 3 + 1 _ 7 1 _ 4 x 2 + l _ 9
“ 3 3 3 2 2 ~2
20 - Transformar em frações impróprias, os números mistos abaixo 
relacionados.
- 1 1 1a) 3 - d) 1- g) l i
b) 2 j e) 4-1 h) 2 j
4 5 5
C) 3 - f) 2 - 9 5 -
3 5 2
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
ADIÇÃO
a) Frações com o mesmo denominador
■ ..!v r• ■v-; r! àenam in^dot/cònilim ::r ':'r :y r í v ; \:A ■■ ?■ vV
ü i 5 3 7 15E xem p los:---- h — H---- — —
17 17 17 17
Efetue as seguintes adições:
^ 4 1 222 - !----!—
5 5 5
™ 2 3 123 - — l-----1—
7 7 7
5 3 22 4 ------ + - + —
6 6 6
3 1 3 2 _ 1 3 7 825 ---- !----- i------i---- 26 - —l----------1---- h —
11 11 11 11 9 9 9 9
™ 2 3 5 127 - -----1------1------1----
15 15 15 15
2 4 7 11
28- — + — + — + —
12 12 12 12
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 57
...
d) Frações com denominadores diferentes
2 3 8 9
Exemplos: — 1— = — -í---- = —
r 3 4 12 12 12
1 3 5 9— 4— —--- —
3 5 15 15
Efetue as adições abaixo:
1 3 1
2 9 - 1 + Í - + -
2 4 3
. , 2 1 5 
3 1 “ — i— ~
3 4 6
1 3 73U - — -----------
5 7 35
3 2
3 2 1— + __ + _ 
10 5 6
SUBTRAÇÃO:
a) Frações com o mesmo denominador 
';:;-;:;íÍ:S,úbLrai'‘Se os numeiradoíesvêjíão ^ 'esiiitádo, dá^ stí-lh^ .-eí-'
ü „ A - i L í - 1 - 1
15 15 _ 15 8 8 ~ 8
E etue as seguintes subtrações:
- 0 3 1 3 2
3 3 - - - - 3 4 - — - 3 5 -
S 8 4 4 7 7
8 3
/C
5 8 2
3 6 - J L _ . Í _ 3 7 - - - 3 8 - -----------
1 5 1 5 7 1 7 1 3 1 3
, « 7 2 9 3 3 2
3 9 --------------------- 4 0 -------------- 4 1 -
9 9 1 4 1 4 5 5
58 HILDER GÓES * UBÀÍJDO TONAR
b) Frações com denominadores diferentes
llcd ;se.‘ja$Vfí'açoes-ao;íiíésm^
8 Ei.S6^i^ BS#Si85iiliS
4 3 _ 16 15 _ 1
5 4 ~ 20 20 ~ 20
Efetue as subtrações abaixo:
4 2 - Í - í 
5 3
3 245 - ~ ~ -
43-
46- - -
_9_
21
44-
47
24
A
12
MULTIPLICAÇÃO:
a) Multiplicação de uma fração por um número 
" . ' ‘ "" ' ’ ' p^um
iofíiiíiiiíèíifdái£rrfèí>rn
2 -v - 6 — x 3 = — 
7 7
' 3 155x —=— 
4 4
b) Produto de duas ou mais frações
1 1 - 12. 
3 ' 4 ~~ 12
i 1 1 - l í 
3 5 2 ~~ 30
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS
2 2 ^ 3 0
4 8 - - x 2 49 - - x 5 50- - x 2
5 7 7
51- 7 x - 5 2 - 1 2 x i 53- 7 x -
9 8 3
54 ~ — x 8 55 - 9 x — 56- 2 1 x 1
15 5 4
„ 2 8 c o 2 2 c a 7 25 7 ---- x — 5 8 -----X” 59- — x —
4 16 3 9 5 8
^ 8 3 1 2 3 1 1 3 26 0 ---- x —-x— 61- — x —x — 62- — x — x~~
4 7 2 5 2 4 2 2 3
Efetuar as seguintes multiplicações:
OBSERVAÇÕES:
i) O inverso de um número
Exemplos: ^
O inverso de 3 é — O invetso de 13 é —
3 13
ii) O inverso de uma fração.
1
Exemplos: 3 4 2 7
O inverso de — é — O inverso de — é —
4 3 7 ' 2'
DIVISÃO:
a) Divisão de uma fração por um número
r.;
60 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
T? 1 3 . . 3 T 3 2 2 1 2Exemplos: —-h 5 = —x —= — . — -i- 3 = - x — = —
4 . 4 5 ' 20 5 5 3 15
Efetuar as divisões abaixo:
63- 3— — 3 
5
64 -
8
65- —+5
9
6 6 -
12
67-
14
68 - 1 , 2
9
69- 1 , 6
8
70- 3 , — -s-5
14
71- - - 5
7
b) Divisão de um número por -uma fração
í : íu 1 tijpiicíí
-o ! * 3 „ 4 8 2 5 15Exemplos: 2 — = 2 x — = — 3 - —= 3 x — = —
4 v 3 3 5 2 2
Efetuar as divisões abaixo:
72- 2 -r-i 7 3 - 3 - 1 7 4 - 3 * -
5 7 5
75- 8-5-- 7 6 - 4 - ™ 7 7 - 8 - -
3 3 9
2 4 778- 1 6 4 - - 7 9 _ 9 ^ _ 8 0 - 7 - —
3 7 15
c) Divisão de uma fração por outra fração
MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ NÚMEROS FRACIONÁRIOS 6 l
Exemplos: — —
4 7
1 ' 1 - Z L
4 5 ” 20
2 . ^ 1 - ! 3 _ 6
5 ’ 3 ~ 5 4 _ 20
Efetuar as divisões abaixo:
81- 3 _ 2 
5 ‘ 5
82- 2 , 3 
4 * 7
83- 8 . 3 
12 ’ 6
OO 4*- ( 1 . 3 
5 ’ 5
85- 7 , 2
8 ’ 5
86 - 1 . 2
6 ‘ 7
iOO 2 t 3 
5 ’ 8
88- 3 , 5 
7 ‘ 8
89- 3 . 1 
9 ‘ 7
OBSERVAÇAO:
t, , 2 1 2 3 4 9 13Exemplos: — h 1 — — — H----- = — 1— = —
3 2 3 2 6 6 6
EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS
É a reunião de números fracionários, unidos entre si, pelas opera­
ções de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Na solução de uma expressão fracionária, devemos efetuar as ope­
rações na seguinte ordem de prioridade
a) Divisão
b) Multiplicação
c) Adição e subtração, simultaneamente
;::Vejá: .Qítt ndó,'iiumfèxp.íréss íiç-- fracLphávíí\j^ gúra£,."ós) nais dè ;i;eüxiÍ2ó,' 
■' '•Y;tãísi£çii»p:;C^^ cS í^eí&dó/Yv;'
62 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Exemplo: Calcule a expressão: —h i + l - í
3 15 5j\ 3
Solução : *{ — + _ 2 | M ,5 + 6
3 j 1 2 " í 15
2 + 1 5 3 J ” 3 0 * 3 0 3 0 ~ 3 0
MÁXIMO DIVISOR COMUM DE FRAÇÕES
O m.d.c. de várias frações, é uma fração que tem para numerador o 
m.d.c dos numeradores das frações dadas e para denominador o m.m.c. 
dos denominadores das mesmas frações.
Exemplo: Calcular o maior divisor comum das frações:
6 3 12
7 * 5 C 15
m.&c. (6, 3, 12) = 3 
m.m.c. (7, 5,15) = 105
Então, o M.D.C. será -1 —
105
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE FRAÇÕES
O m.m.c. de várias frações, é uma fração que tem para numerador o 
m.m.c. dos numeradores das frações dadas e para denominador, o m.d.c. 
dos denominadoresdas mesmas frações.
Exemplo: Calcular o menor múltiplo comum das frações:
7 5 15
6 * 3 6 1 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 6 3
m.m.c. (7, 5, 15) = 105 
m.d.c. (6, 3,12) = 3
. 105Logo, o m.m.c. seta -----
1 1
FRAÇÃO EQUIDISTANTE DE DUAS OUTRAS
Para se calcular uma fração equidistante de duas outras frações, re­
duzimos as frações ao mesmo-denominador, sorriamos as frações resul­
tantes e dividimos por dois.
Exemplo: Calcule a fração equidistante das fracoes — e
S 1 . 1 1 3 5 ' 5 3Solução: — e — =i> — , —
5 3 15 15 -
A J L - A
15 15 “ 15
^ 2 - A ~ ±
15 ' ~ 30 ~ 15
Olhe: —4_ 1
15 5
4 - 3
15 15
l _ 4 _ 
3 15
5 - 4
15
_5_
15
Calcule as expressões abaixo relacionadas:
7 1 2 1
3— - + -
90 - -JL 91 _ _3. 92. 5— 3
o 1 3 13 - 2 - -------
4 6 4 7
64 HILDER GÓES * UBAJLDO TONAR
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS
NÚMEROS DECIMAIS
DEFINIÇÃO
ínero aeciii^^^ partes;
Parte Inteira: É a que fica à esquerda da vírgula 
Parte Decimal: E a que fica à direita da vírgula 
Exemplo: No número 34,285 temos: 34 é a parte inteira e 285 é a 
parte decimal.
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS DECIMAIS
Prim eira: Um número decimal não se altera quando se acrescen­
tam ou se suprimem um ou mais zero à direita de sua parte decimal
Exemplos: 1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000 ...
0,5000 “ 0,500 = 0,50 = 0,5
Segunda: Para se multiplicar um número dedmal por 10,100,1000,..., 
basta deslocar a vírgula para a direita; uma, duas, três,..., casas decimais.„
Exemplos: Efetuar as seguintes operações:
a) 3,42 x 10 b) 0,165 x 100 c) 1,5 x 1000
Solução:
a) 3,42 x 10 — 34,2 b) 0,165 x 100 = 16,5 c) 1,5 x 1000 = 1500
6 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Terceira: Para se dividir um número decimal por 10 ,100,1000,..., 
basta deslocar a vírgula para a esquerda; uma, duas, t r ê s , c a s a s decimais.
Exemplo: Efetuar as seguintes divisões:
a) 35,4 - 5- 10
b) 228,72 + 100
c) 23,4 - 1000
Solução:
a) 35,4 +. 10 = 3,54
b) 228,72 - 100 = 2,2872
c) 23,4 + 1000 = 0,0234
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
a) As partes inteiras são diferentes:
"'; ■.¥>.‘m aior
Exemplos:
3,2 é maior do que 1,879 2,1 é maior do que 1,32274
b) As partes inteiras são iguais
á f ' :ys '.!'30■ - ■ V'*% r v^-':-'0. ^ í :''r.‘;,:;'Iguála;mo§;-ó/nú ^ ^eros.-■. r
v ; - .Q tn^òt tiiunié^s'é'i '^ir<âüd^ Gtídmal .-1
Exemplo:
Sejam os números 2,42 e 2,523
Igualando as casas decimais, resulta: 2,420 e 2,523. Como 523 é 
maior do que 420, então: 2,523 é maior do que 2,42.
Exemplo:
Sejam os números 2,6 e 2,542
Igualando as casas decimais, resulta: 2,600 e 2,542. Como 600 é 
maior do que 542, então 2,6 é maior do que 2,542.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 67
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
ADIÇÃO: ^yírgijíà^dçíiaí^; cle: y í
Exemplos 1,25 + 3,2 + 0,412 0,27 + 21,412 + 322,4
1, 25
3, 2 
0, 412
4, 862
0, 27 
21, 412 
322, 4 
344, 082
Efetuar as adições abaixo:
01 - 43,21 + 3,423 + 0,59
02 - 39,04 + 431,2 + 9,007
03 - 4,932 + 27,3005 + 74,007
04 - 9,007 + 0,53 + 0,92 + 40,009
05 - 7,95 + 1,8 + 9,82 + 8,2
06 - 9,4 + 0,28 + 0,074 + 9,0
07 - 2,8 + 13,24 + 29,35
08 - 9,78 + 3,09 + 5,36 + 0,0019
Respostas: 01 - 47,223 05 - 27,77
02 - 479,247 06 - 18,754
03 - 106,2395 07 - 44,69
04 - 50,466 08 - 18,2319
SUBTRAÇÃO; iC o iò á í^ sç^ g^
Exemplos: 2,6 — 1,234 
2,600 
_ 1,234 
1,366
32,4 - 13,27 
32,40 
13,27 
19,13
6 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Efetue as subtrações abaixo:
09 - 43,2 - 21,234
10 - 19,378 - 8,6
11 - 0,533 - 0,2
12 - 37,25 - 9,8762
13 - 3,84 - 1,95438
14 . 3 _ 1/7495
15 - 2,784 - 1,9
16 - 8,005 - 7,08956
Respostas: 09 - 21,966
10 - 10,778
11 - 0,333
12 - 27,3738
13 - 1,88562
14 - 1,2505
15 - 0,884
16 - 0,91544
MULTIPLICAÇÃO:
Exemplos: 4,08 x 0,18
4,08 
x 0,18
3264
408
0,7344
3,84 x 2,5
3,84 
x 2,5
1920
768
9,600
Efetue as multiplicações abaixo:
17-4 ,6 x 2,8
18-2 ,4 x 0,6 
19 - 31,2 x 4,2 
20-4 ,74 x 0,39
21-47,845 x 1,035
22 - 0,844 x 3,5
23 - 12,8 x 3,2 
24- 10,52 x 0,015
Respostas: 17 - 12,88 21-49,519575
18 - 1,44 22 - 2,954
19-131,04 23-40,96
20-1,8486 24-0,1578
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 69
Exemplos: 
'5,580 4- 2,5 0,16 h- 0,0025
5,580 2,500. 0,1600 0,0025
5800 2,232 100 64
800 000
5000
000
Efetue as divisões abaixo:
25 - 37,78 -r 1,6 29 - 8,4 + 280
26 - 48,7 4- 0,8 30-0 ,16 + 0,0025
27-0,84816 + 0,72 31-7,56 -s- 3,6
28-0,648 - 0,036 32-0 ,84 + 1,4
Respostas: 25-23,6125 29-0,03
26 - 60,875 30 - 64
27-1,178 31-2,1
28 -18 32-0,6
CONVERSÃO DE FRAÇÃO ORDINÁRIA EM DECIMAL
Para obtermos o número decimal equivalente à fração dada, dividi­
mos o numerador pelo denominador.
Vejamos, agora, algumas divisões separadas por casos:
1* CASO: ~ = 3,5 “ = 2,5 - =. 1,75
2 2 4
í$.à£es'íjjtados;':ebÜ^
7 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
2Q CASO:
- = 1,66... — = 0,33.
3 3 .
5 16
— = 0,4545... — = 1,77...
11 9
2 • 11 
-— = 0,1333... — = 1,833...
15 - 6
= 1,166...
Observe que a parte decimal do quociente é formada por algaris­
mos que se repetem indefinidamente.
. Os resultados obtidos são chamados de Números Decimais Pe­
riódicos ou Dízimas Periódicas.
*erí(ido:' e- á' par té; ^ úa,í.e’;repeí-.e; iadéfíhidaiiiontc nunrhi
: Olhe: À pe^òdÍGid.adé cjé um número ^ ^im^LijD^de
0,333 ... = 0,(3) = 0,3 = 0,3 
0,41666 ... = 0,41(6) = 0,416 = 0,416
Converter as frações ordinárias abaixo, em números decimais:
1 333 - — 34- —
2 5
35- 36 - — 37 - — 38 - —
11 12 18
Respostas:
33- 0,5 
37 - 0,41666...
34 - 0,06 35 - 0,625
38 - 3,88 . . . .
36 - 0,3636.
DIZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES E COMPOSTA
Observe as seguintes divisões:
5 1 5 16
— = 1,66... —=0,33... --=0,4545... — = \77...3 3 11 9
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NtJMEROS DECIMAIS 71
Veja que os quocientes obtidos não são números decimais exatos. 
Isto porque os números 6, 3, 45 e 7 se repetem indefinidamente.
Números como 1 ,6 6 — ; 0,33... ; 0,4545... e 1,77 ... são chamados 
de Dízimas Periódicas Simples.
Veja as seguintes divisões:
— -0,133... — = 0,4166... “ = 1,833...
15 12 6
Observa-se, também, , que nào são números decimais exatos. Nú­
meros como 0,133...; 0,4166... e 1,833... são chamados de Dízimas 
Periódicas Compostas.
Dízima Periódica Simples: 1,666...: 
Dízima Periódica Composta: 1,933...
parte inteira: 1 
período: 6 
parte inteira: 1 
parte nào periódica: 9 
período: 3
Você deve ter observado que, tanto as dízimas periódicas simples 
como as compostas, se originaram da divisão do numerador pelo denomi­
nador de certas frações.
Essas frações que deram origem, que geraram as dízimas, sao cha­
madas de GERATRIZ da dízima periódica. Então, Geratriz da Dízima 
Periódica é a fraçao que deu origem à dízima.
Vejamos, agora, as regras para calcularmos a geratriz das dízimas, 
isto é, as frações que deram origem às dízimas.
72 HILDER GÓES * UBÀLDO TONAR
a) Cálculo da Geratriz de um a D ízima Periódica Simples
É a fração que tem como numerador o período e como denomina­
dor um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do 
período.
Exemplo: Calcular a geratriz das dízimas: 0,33...; 0,4545... e 1,666...
Solução: 0,333... = — = — 0,4545... = — = —
9 3 99 11
6 15 5
1,666... = 1 + 0,666... = 1 + - = — = -
9 9 3
b) Cálculo da Geratriz de uma Dízima Periódica Composta
E uma fração que tem como numerador a parte não periódica se­
guida de um dos períodos, menos a parte nào periódica; e, para denomina­
dor, um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos 
do período, seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte 
não periódica.
Exemplo: Calcular as geratrízes das dízimas: 0,133...; 0,41666...e 1,833...
13~1 12 2 
Solução: 0 ,1333 .--—— = — = —
* 90 90 15
0>4 i 6 6 6 . . . i í ^ = ^ = Í -
900 900 12
* „ 83 — 8 „ 75 165 11
1,833...— 1 + 0,833...-1 "i---------— H----- — — -- —
90 90 90 6
Calcular as geratrízes das seguintes dízimas periódicas simples.
39-0,4242... 43-0,611611...
40 - 0,7272... 44 - 0,135135...
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 7 3
41 - 0,711711 45 - 0,234234...
42 - 0,036036... 46 - 8,513513..,
Respostas: 
39 - 14/33 
43 - 611/999
40 - 8/11 41- 79/111 42- 4/111
44 - 5/37 45 - 26/111 46 - 945/111
Calcular as gera triz es das seguintes dízimas periódicas compostas.
47 - 0,34848...
48 - 0,45888...
49 - 0,344...
50 - 0,566...
Respostas:
47 - 23/66
51 - 0,2355...
52 - 0,488...
53 - 0,38222...
54 - 2,210303...
48 - 413/900 49 - 31/90 50 - 17/300
51 - 53/225 52 - 22/45 53 - 86/225 54 - 3647/1650
Calcular as seguintes expressões:
1 5 255 - l — 0,666...-^ -~+—
7 6 7
57- 0 ^ | - 0 3 3 3 „ j x | - I
56 - 0,1313...-5- —x —
7 9
58 - l,333...x — -~- — +0,111.
4 3
Respostas: 55 - 22/35 56 - 91/891 57 - 5/16 58 - 3 1/4
a59 - Se -g- = 0,37272..., sendo a e b primos entre si, calcule b — a.
R: 69
74 HII-BER GÓES ❖ UBAIDO TONAR
60 - Se 0,4333... é escrito como fração irredutível, calcule a soma do 
numerador com o denominador desta fração.
R :43 3 12 — + 1 —
p . , 4 2
61 - Seja a forma irredutível do número --------------------- + 1,2336...
* A 1 1 14 ------------ 1
Calcule a valor de p — q. 
R: 98
4 2
CARACTERES DE CONVERTIBILIDADE
Primeiro: Uma fração ordinária irredutível, que não contém no 
denominador outros fatores diferentes de 2 e de 5, converte-se em um 
número decimal exato. O número de algarismos decimais é dado pelo 
maior expoente que tiver um dos fatores 2 e 5.
5 5Exemplo: — = —r como o denominador não contém outro fator 
r 16 24
diferente de 2, a fração se converte num número decimal exato e terá 4 
algarismos decimais, pois o expoente do fator 2 é 4.
Veja: A = 0,3125
16
7 7
Exemplo: —....— - y - converte-se em um número deamal exato,
pois não contém outros fatores além do 2 e do 5; e terá 3 casas decimais já 
que o 3 é o maior expoente dentre os fatores 2 e 5.
Veja: ^ = 0,028
MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ NÚMEROS DECIMAIS 75
Segundo: Uma fração irredutível, cujo denominador nào contém
o fator 2 nem o fator 5, converte-se em uma Dízima Periódica Simples.
Exemplo: C onverter as frações 2/3, 5/3 e 5/11 em números 
decimais
Solução: como os denominadores das frações nào contém os fato­
res 2 e 5, concluímos que o resultado será uma Dízima Periódica Simples:
Terceiro: Uma fração irredutível, cujo denominador contiver os 
fatores 2 ou 5 juntamente com fatores primos diferentes, converte-se em 
uma Dízima Periódica Composta. O número de algarismo da partè nào 
periódica é dado pelo maior expoente que tiver um dos fatores 2 ou 5.
Exemplo: Converter a fração 7/12 em um número decimal
Solução: Converte-se em uma Dízima Periódica Composta pois,
7 7
— _ ------- além do fator 2 aparece o fator 3; e a parte nào periódica terá
12 2" x 3
dois algarismos que é o expoente 2 do fator 2.
Em que espécie de número decimal se convertem as frações.
R: 62 - Decimal exata
63 - Dízima periódica composta
64 - Dízima periódica simples
65 - Dízima periódica simples
66 - Dízima periódica composta
2 — = 1,666... 
3
5
— = 0,4545... 
11
Veja: 7/12 = 0,58333...
76 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Relembre:
0,3333... = 0,(3) = 0,3 = 0,3 _ 
0,2454545 ... = 0,2(45) = 0,245 = 0,245
67 - Calcular, exatamente, a operação: 2,555... + 0,6363...
19
'R :.3-99
68 ~ 3,(18) + 1,(45) +0,27 + 5,(09)
R: 10
69 - (0,5 + 0,333... x 0,25) * (0,833... ~ 0,25)
R; 1
7 0 -(0,75 + 0,833...) + (0,166... + 0,625)
R; 2
0,35 + 0,0(6)
71- ™------------~~
0,(3) + 0,2 — —
R: 1
72 - Com base nos denominadores, dizer a espécie de números decimais
que geram as frações: 5/8 e 4/13
R: Decimal' exato; dízima periódica simples
73 ~ Determine, com base nos denominadores, que espécie de números
19 7
decimais geram as frações: e
R: Dízima periódica simples; decimal exato
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 77
74 - Convertendo-se as frações 5/16 e 7/250 em números decimais, ob­
tém-se números decimais exatos. Com base nos denominadores, quantos 
algarismos decimais tem cada número.
R: 4 e 3
75 - Convertendo-se as frações 17/54 e 19/48 em números decimais, 
obtém-se dízimas periódicas compostas. Calcule, com base nos denomi­
nadores, quantos algarismos tem cada parte não periódica.
R: 1 e 4.
78 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
NÚMEROS COMPLEXOS
Num sistema de medir, quando a unidade fundamental e as suas 
unidades secundárias, isto é, múltiplos e submúltiplos, não estiverem em 
relação decimal, o sistema é denominado não-decímal ou complexo.
Chamamos, então, de número complexo, ao número que repre­
senta a medida de uma grandeza aferida num Sistema Complexo, ou 
Sistema não Decimal. Em nosso estudo, veremos as medidas de tem­
po, ângulo e velocidade.
UNIDADE DE TEMPO
A unidade fundamental do tempo é o SEGUNDO, representado
por seg. que é o intervalo de tempo igual à fração ~ ~ do dia solar
86400
médio, definido de acordo com as convenções da Astronomia.
Os seus múldplos mais-usuais, são:
• minuto (min.) = 60seg.
• hora (h) = 60min. — 3.600seg.
• dia (d) = 24h = 1.440min. = 86.400seg.
UNIDADE DE ÂNGULO
A unidade fundamental de ângulo é o GRAU, representado por (°)
que é o ângulo equivalente a — do ângulo reto que mede 90°.
Os seus múltiplos mais usuais, são:
• o minuto, representado por (’)
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 79
• o segundo, representado por (”).
Veja:
a) Um grau é equivalente a 60 minutos (Io = 605)
b) Um minuto é equivalente a 60 segundos (1’ ~ 60”)
c) Um grau é equivalente a 3.600 segundos (1° = 3.600”)
OBSERVAÇÕES:
a) Não se pode representar as unidades de tempo usando a vírgula 
da representação decimal.
Desse modo, nunca se deve, para representar 8h e lOmin., escrever 
8,1 Oh pois na realidade estaríamos representando 8 horas e 6 minutos (um 
décimo de hora). Deve-se, pois, escrever: 8hl0min.
b) Não se pode confundir o minuto e o segundo das unidades de tem­
po com o minuto de ângulo ou segundo- de ângulo e muito menos usá-las 
simultaneamente na representação do mesmo número complexo.
Assim, 8hl5min23seg não pode ser representado por 8hl5723”.
UNIDADE DE VELOCIDADE
A unidade fundamental da velocidade é o metro por segundo, re­
presentado por m/seg.
Se na unidade m/seg substituirmos o medro por qualquer unidade 
de comprimento e o segundo por qualquer unidade de tempo, obteremos 
outras unidades de velocidade, tais como: km/h, m/min, etc.
MUDANÇAS DE UNIDADES COM 
NÚMEROS COMPLEXOS
Temos dois tipos de mudanças a considerar:
Primeiro: Transformar um número complexo em unidades inferiores.
8 0 HILDER GÓES * UBAIJDO TONAR
01 - Exprimir 5h lOmin 20seg, em segundos:
Solução:
Valendo 1 hora 60 minutos, temos que: 5h x 60 = 300min. 
Somando os 300min com os lOmin dados, 
resulta: 300min + lOmin = 310min.
Como lmin vale 60 segundos, vem: 310min x 60 ~ 18.600seg. 
Adicionando-se os 20seg dados, temos:
18,600seg -r 20seg = 18.620seg.
Logo, 5h lOmin 20seg = 18.620seg.
02 - Exprimir, em segundos, o intervalo de tempo de 5h 20min 32seg.
R: 19.232seg
03 - Converter: 2d 12h 15min, em minutos.
R: 3.615min
04 ~ Converter 36R12730” em segundos.
R: 130.350”
Segundo: Transformar um número expresso em unidades inferi­
ores em um número complexo.
05 - Exprimir 15.674 segundos a uma unidade complexa.
Solução:
Como cada 60 segundos eqüivalem a 1 min, temos
15674 1 60 
367 261min
74
14seg
Òu seja: 15.674seg = 261min + 14seg.
Dividindo-se os 261 min. por 60, encontraremos