Sequências Numéricas

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Ca´lculo Diferencial e Integral II
Se´quencias Nume´ricas I
Data: 21.03.2014
0.1 Conceitos Ba´sicos
Definic¸a˜o 0.1. (Sequeˆncia) Uma sequeˆncia de nu´meros reais (xn) e´ uma func¸a˜o que
associa a cada natural (distinto de zero) um nu´mero real:e
(χ) : N −→ R
n → xn
Dizemos que xn e´ o termo geral da Sequeˆncia.
Notac¸o˜es:
• (x1, x2, x3, . . . , xn, . . .);
• (xn)n∈N;
• xn.
O conjunto de termos da sequeˆncia e´ {x1, x2, . . . , xn, . . .}.
Um exemplo cla´ssico de sequeˆncia e´ Sequencia de Fibonacci, (fn) definida recursi-
vamente por
f(0) = f(1) = 0 e fn = fn−1 + fn−2
1
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Onde cada termo e´ a soma dos dois termos procedentes. Os primeiros termos sa˜o
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .}
Esta sequeˆncia surgiu quando o italiano conhecido por Fibonacci, resolveu um prob-
lema envolvendo a produc¸a˜o de coelhos.
EXEMPLOS 1:
(i) xn = a, define explicitamente a sequeˆncia constante a, (a, a, . . .);
(ii) xn = 3n+ 1, define explicitamente a sequeˆncia (4, 7, 10, . . .);
(iii) xn =
1
n
, definida explicitamente por (1, 1
2
, 1
3
. . . 1
n
, . . .)
(iv) xn = (−1)n+1; (1,−1, 1,−1, . . .) (sequeˆncia alternada);
(v) As P.A e P.G estudadas na matema´tica fundamental sa˜o exemplos de sequeˆncias.
Definic¸a˜o 0.2. (Igualdade de Sequeˆncias) Dizemos que a sequeˆncia (a1, a2, a3, . . . , an, . . .)
e´ igual a sequeˆncia (b1, b2, b3, . . . , bn, . . .) se, e somente se ai = bi para todo i inteiro posi-
tivo.
Definic¸a˜o 0.3. ( Cota Inferior) Seja A ⊂ R o conjunto dos termos da seqeˆncia (xn),
na˜o vazio. A e´ dito, um conjunto limitado inferiormente, quando existe a ∈ R tal que
a ≤ x, ∀ xn ∈ A
Dizemos que a e´ cota inferior do conjunto A.
Definic¸a˜o 0.4. (´Infimo) Dizemos que a ∈ R e´ o ı´nfimo de A, se for a maior das cotas
inferiores de A, ou seja,
I1 ∀xn ∈ A, a ≤ xn;
I2 Se c ∈ R e´ tal que, ∀xn ∈ A, c ≤ xn,∀ ∈ N enta˜o c ≤ a; ou ainda ∀� > 0, existe x0 ∈
A tal que a+ � > x0.
Definic¸a˜o 0.5. ( Cota Superior) Seja A ⊂ R o conjunto dos termos da seqeˆncia (xn),
na˜o vazio. A e´ dito, um conjunto limitado superiormente, quando existe b ∈ R tal que
xn ≤ b, ∀ xn ∈ A
Dizemos que b e´ cota superior do conjunto A.
Definic¸a˜o 0.6. (Supremo) Dizemos que b ∈ R e´ o supremo de A, se for a menor das
cotas inferiores de A, ou seja,
S1 ∀xn ∈ A, xn ≤ b;
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S2 Se c ∈ R e´ tal que, ∀xn ∈ A, xn ≤ c, enta˜o b ≤ c; ou ainda ∀� > 0, existex0 ∈ A tal
que b− � < x0.
Definic¸a˜o 0.7. (Sequeˆncia Limitada) Uma sequeˆncia xn e´ dita limitada se for limitada
inferiormente e limitada superiormente ao mesmo tempo, isto e´, existem a e b ∈ R tais
que
a ≤ xn ≤ b, ∀ n ∈ N.
De modo geral, dizemos que (xn) e´ limitada, se existe um nu´mero real c > 0 tal que
|xn| ≤ c, ∀ n ∈ N
EXEMPLOS 2:
• an = 1n e´ uma sequeˆncia limitada;
• an = (−1)nn e´ uma sequeˆncia ilimitada;
• an = n e´ uma sequeˆncia limitada inferiormente;
• an = −n e´ uma sequeˆncia limitada superiormente;
0.2 Sequeˆncia Convergente
Definic¸a˜o 0.8. (Sequeˆncia convergente) Dizemos que uma sequeˆncia (xn) e´ conver-
gente, se existir o nu´mero real L tal que dado qualquer nu´mero positivo �, existe um ı´ndice
n0 = n0(�) ∈ N de modo que
|xn − L| < �, ∀ n ≥ n0.
Neste caso, L e´ o limite da sequeˆncia (xn) e escreve-se
limxnn→∞ = L , limxn = L ou xn → L.
Uma sequeˆncia que na˜o converge e´ dita divergente.
Chama-se sequeˆncia nula toda sequeˆncia que converge para zero.
Obs.1 Note que a condic¸a˜o de convergeˆncia de uma sequeˆncia pode ser reescrita como:
Dado qualquer � > 0, existe n0 ∈ N tal que
xn ∈ (L− �, L+ �) se n ≥ n0.
Teorema 0.2.1. Se limx→∞ f(x) = L e f(n) = an quando n e´ inteiro, enta˜o
lim
n→∞
an = L
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Teorema 0.2.2. Se limn→∞ |an| = 0, enta˜o
lim
n→∞
an = 0
EXEMPLOS 3.
(i) Seja x ∈ R. Seja xn uma sequeˆncia em R tal que xn = x para todo o n ≤ n0 com
n0 ∈ N. Temos limxn = x.
(ii) Vejamos que lim 1
n
= 0; (iii) lim n
n+1
= 1;
(iv) lim (−1)
n
n
= 0; (v) lim n
2n+1
= 1/2;
(vi) limn→∞ rn = 0 ∀ 0 < |r| < 1;
Obs.2(Unicidade do Limite) - Se (xn) for uma sequeˆncia consergente seu limite sera´ u´nico.