Sequências Numéricas

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Ca´lculo Diferencial e Integral II
Se´quencias Nume´ricas II
Data: 24.03.2014
1.Propriedades de Sequeˆncias
Teorema 1.1 Toda sequeˆncia convergente e´ limitada.
Definic¸a˜o 1.2A soma, diferenc¸a, produto e quociente de duas sequeˆncias (xn) e (yn) de
nu´meros reais, sa˜o respectivamente as sequeˆncias.
(xn) + (yn) = (xn + yn);
(xn)− (yn) = (xn − yn);
(xn)(yn) = (xn.yn);
(xn)
(yn)
=
(
xn
yn
)
se yn 6= 0;
para todo n ∈ N.
2. Operac¸o˜es com limites
Teorema 2.1Sejam (xn), (yn) e (zn) sequeˆncias convergentes de nu´meros reais, com
(zn) 6= 0 ∀ n ∈ N e lim zn 6= 0. Enta˜o
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(a) lim(xn + yn) = lim(xn) + lim(yn);
(b) lim(kxn) = k(lim(xn)), onde k, constante qualquer;
(c) lim(xn.yn) = lim xn. lim yn;
(d) lim xn
zn
= limxn
lim zn
;
(e) lim |xn| = | limxn|.
3. Sequeˆncias Mono´tonas
Definic¸a˜o 3.1 Uma sequeˆncia (xn) e´ dita crescente (na˜o descrescente) se xn < xn+1 (xn ≤
xn+1) para todo n ∈ N.
Definic¸a˜o 3.2 Uma sequeˆncia (xn) e´ dita decrescente (na˜o crescente) se xn > xn+1 (xn ≥
xn+1) para todo n ∈ N.
Exemplos 1.
(i) A sequeˆncia 1, 2, . . . , n, . . . de nu´meros naturais e´ crescente.
(ii) A sequeˆncia xn =
n−1
n+1
e´ crescente.
(iii) A sequeˆncia xn =
n
n+1
e´ crescente.
(iii) A sequeˆncia xn =
1
n+1
e´ decrescente.
Exerc´ıcios
(2) A sequeˆncia xn =
n
n+5
e´ crescente.
(3) A sequeˆncia xn =
n
n2+1
e´ decrescente.
4.Teoremas Importantes
Teorema 4.1-(Teorema do Sandu´ıche) Sejam (xn), (yn) e (zn) sequeˆncias tais que
xn ≤ yn ≤ zn.
Se (xn) e (zn) convergem e
limxn = lim zn = L,
enta˜o (yn) converge e
lim yn = L.
Exemplos 4.2
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• an = cosnn → 0;
• an = 12n → 0;
• an = n!nn → 0.
Teorema 4.3-(Teorema da sequeˆncia monotoˆnica) Toda sequeˆncia mono´tona
limitada e´ convergente.
Exemplos 4.4
(i) A sequeˆncia
(
n
n+1
)
e´ convergente;
(ii) A sequeˆncia
(
1
n+1
)
e´ convergente.
Teorema 4.5 Seja (xn) e (yn) tais que limn→∞ = 0 e (yn) e´ uma sequeˆncia limitada.
Enta˜o
lim
n→∞
(xn.yn) = 0
5. Subsequeˆncias
Definic¸a˜o 5.1 (Subsequeˆncias) Seja (xn) uma sequeˆncia. Uma subsequeˆncia de (xn) e´
uma restric¸a˜o da mesma a um subconjunto N′ ⊂ N, tal que N′ satisfaz
• N′ = {n1, n2, . . . , nk, . . .}
• n1 < n2 < n3 < n4 < . . . < nk < . . .}
Note que
• Se uma sequeˆncia (xn) converge para L, enta˜o todas as suas subsequeˆncias con-
vergem pra L.
• Se qualquer subsequeˆncia de uma sequeˆncia (xn) diverge ou se duas subsequeˆncias
teˆm limites diferentes, enta˜o (xn) diverge.
Exemplos 5.2
(i) A sequeˆncia dos nu´meros pares;
(ii) A sequeˆncia dos nu´meros impares;
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(iii) A sequeˆncia an = (−1)n;
Teorema 5.3- (Teorema de Bolzano Weirstrass)Toda sequeˆncia limitada (xn)
admite uma subsequeˆncia convergente.
Prova: Resultados:
• Toda sequeˆncia admite ou uma subsequeˆncia na˜o crescente ou uma subsequeˆncia
na˜o decrescente, ou ambas;
• Toda subsequeˆncia de uma sequeˆncia limitada e´ limitada.
6. Sequeˆncias de Cauchy
Definic¸a˜o 6.1(Sequeˆncias de Cauchy) Seja (xn) uma sequeˆncia de nu´meros reais. Ela
se chama sequeˆncia de Cauchy quando cumpre a seguinte condic¸a˜o
• ∀� > 0, pode-se obter um n0 ∈ N tal que m > n0 e n > n0 implicam
|xm − xn| < �.
Teorema 6.2-Toda sequeˆncia convergente e´ de cauchy.
Teorema 6.3-Toda sequeˆncia de cauchy e´ limitada.
Teorema 6.4-Toda sequeˆncia cauchy de nu´meros reais e´ convergente.