Ex1-Profª Lúcia Cossi

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UFPB-CCEN Departamento de Matema´tica CVGA
Profa. Lu´cia Exerc´ıcios Complentares 1
Esta lista de exer´ıcios pode ser enviada via e-mail [cossi@mat.ufpb.br] ate´ a
data de 25/02/2014.
1. Para quaisquer vetores −→u , −→v ,−→w e−→t , valem as seguintes identidades:
a) (−→u ×−→v )×−→w = −(−→v • −→w )−→u + (−→u • −→w )−→v
b) −→u × (−→v ×−→w ) = −(−→u • −→v )−→w + (−→u • −→w )−→v
c) (−→u ×−→v )×−→w + (−→v ×−→w )×−→u + (−→w ×−→u )×−→v = −→0
d) (−→u ×−→v )× (−→w ×−→t ) = −[−→v • (−→w ×−→t )]−→u + [−→u • (−→w ×−→t )]−→v
e) (−→u ×−→v )× (−→w ×−→t ) = −[−→w • (−→u ×−→v )]−→t + [−→t • (−→u ×−→v )]−→w
f) [−→u ×−→v ,−→w ,−→t ] =
∣∣∣∣∣ −→u • −→w −→u •
−→
t
−→v • −→w −→v • −→t
∣∣∣∣∣ .
g) (−→u ×−→v ) • (−→w ×−→t ) =
∣∣∣∣∣ −→u • −→w −→u •
−→
t
−→v • −→w −→v • −→t
∣∣∣∣∣ .
h) [−→u +−→v ,−→v +−→w ,−→w +−→u ] = 2[−→u ,−→v ,−→w ].
2. Dado um triaˆngulo ABC qualquer, seja AH a altura relativa ao ve´rtice
A do triaˆngulo. Prove que
−−→
BC × (−→AB ×−→AC) e´ paralelo ao vetor −−→AH.
3. Se A, B,C, D, E,F sa˜o ve´rtices de um hexa´gono regular, determine a
resultante das forc¸as representadas pelos vetores
−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD ,
−→
AF ,
supondo-as de mesmo mo´dulo.
4. Utilizando as propriedades, prove que:
i) Se −→a .−→v = −→b .−→v para todo vetor −→v 6= −→0 , enta˜o −→a = −→b .
ii) Se −→a ×−→v = −→b ×−→v para todo vetor −→v 6= −→0 , enta˜o −→a = −→b .
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