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Resumo de Álgebra Linear I unidade 1 Thiago Carreiro I. Vetores: É comum pensarmos em vetores como „setas‟ no espaço 𝑛 , mas, na verdade, vetor é um elemento de um conjunto vetorial, podendo ser também polinômio, matriz, etc. Falamos em entradas dos vetores como cada valor que usamos para caracterizá-lo, por exemplo: Sendo o vetor 𝑣 = (2,1,3), os valores 2, 1 𝑒 3 são as entradas desse vetor. Outro exemplo: Sendo o vetor 𝑃 = 2 + 3𝑥 + 0. 𝑥² − 𝑥³, os coeficientes 2, 3, 0 𝑒 − 1 são as entradas desse vetor. Outro exemplo: Sendo o vetor 𝑚 = 0 1 3 0 , os valores 0, 1, 3 𝑒 0 são as entradas desse vetor. O Vetor Nulo é o elemento do conjunto onde todas as entradas são nulas. Quando falamos na forma mais geral de um vetor, representamos as entradas dos vetores como letras, ou seja, sem especificar nenhum vetor. Exemplo, a forma mais geral de um vetor de 5 é (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡, 𝑤). A forma mais geral de um vetor de 𝑃3 (espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3) é 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥² + 𝑑𝑥³. A forma mais geral de um vetor de 𝑀3𝑥2 (espaço vetorial das matrizes 3x2) é 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 . II. Espaços Vetoriais: A definição de Espaço Vetorial é: entidade formada pelo conjunto dos números reais, um conjunto de vetores e uma operação entre esses conjuntos. De uma forma mais simples, Espaço Vetorial é um conjunto vetorial que obedece a 8 axiomas, sendo 4 aditivos e 4 multiplicativos: Axiomas: Sendo V um conjunto de vetores e o conjunto dos números reais, dizemos que V é um Espaço Vetorial se os 8 axiomas abaixo são obedecidos: Aditivos: 1) ∀𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉, tem-se que 𝑣 + 𝑤 = 𝑤 + 𝑣 (Comutatividade); 2) Existe um elemento 0𝑉 ∈ 𝑉, chamado de Vetor Nulo, tal que ∀𝑣 ∈ 𝑉 tem-se 𝑣 + 0𝑉 = 0𝑉 + 𝑣 = 𝑣 (Existência de um elemento neutro); 3) ∀𝑣 ∈ 𝑉, existe um elemento 𝑢 ∈ 𝑉 tal que 𝑣 + 𝑢 = 0𝑉 . Temos daí que 𝑢 = −𝑣 (Existência de um elemento oposto); 4) ∀𝑣, 𝑤, 𝑢 ∈ 𝑉, tem-se 𝑣 + 𝑤 + 𝑢 = 𝑣 + 𝑤 + 𝑢 (Associatividade). Multiplicativos: 1) ∀𝑣 ∈ 𝑉, tem-se que 1. 𝑣 = 𝑣, onde 1 é o unitário de ; 2) ∀𝑎, 𝑏 ∈ e ∀𝑣 ∈ 𝑉, tem-se que 𝑎. 𝑏. 𝑣 = 𝑏. 𝑎. 𝑣 = 𝑎. 𝑏 . 𝑣; 3) ∀𝑎 ∈ e ∀𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉, tem-se que 𝑎. 𝑣 + 𝑤 = 𝑎. 𝑣 + 𝑎. 𝑤; 4) ∀𝑎, 𝑏 ∈ e ∀𝑣 ∈ 𝑉, tem-se que 𝑎 + 𝑏 . 𝑣 = 𝑎. 𝑣 + 𝑏. 𝑣. Obs.: Em questões não será pedido que prove que um conjunto é um Espaço Vetorial. Ao invés disso, pede-se para provar se um conjunto é um Subespaço Vetorial. Resumo de Álgebra Linear I unidade 2 Thiago Carreiro III. Subespaços Vetoriais: Subespaços Vetoriais (de algum outro Espaço ou Subespaço Vetorial) são subconjuntos vetoriais que obedecem aos 8 axiomas apresentados anteriormente. Mas o fato de serem subconjuntos nos permite apenas verificar 4 propriedades para que possamos provar (ou negar) que são Subespaços Vetoriais. Condições: Sejam 𝑉 Espaço Vetorial e 𝑊 conjunto vetorial, dizemos que 𝑊 é Subespaço Vetorial de 𝑉 se: 1) 0𝑉 ∈ 𝑊; 2) 𝑊 ⊂ 𝑉; 3) ∀𝑤, 𝑣 ∈ 𝑊, (𝑤 + 𝑣) ∈ 𝑊; 4) ∀𝑤 ∈ 𝑊 e ∀∝ ∈ , ∝. 𝑤 ∈ 𝑊; Obs.: Quando falamos do conjunto , estamos nos referindo à reta dos números reais, portanto representamos um ponto (ou um vetor) por uma única coordenada na forma (𝑥). Para 2 , estamos falando do plano 𝑂𝑥𝑦 e representamos um ponto (ou um vetor) por duas coordenadas na forma (𝑥, 𝑦). E assim por diante até chegarmos em 𝑛 (a noção geométrica vai apenas até 3 ) quando representamos um ponto (ou um vetor) por 𝑛 coordenadas na forma (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 , … , 𝑥𝑛). Ex.: Seja 𝑉 = 3 espaço vetorial e 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑉 / (𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0)}, diga se 𝑊 é subespaço vetorial de 𝑉. Para resolver essa questão, basta conferir se as 4 condições de subespaço vetorial são obedecidas: 1) Para fazer esta verificação, olhamos para a condição imposta (𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0), e verificamos se o vetor nulo satisfaz a condição. Neste caso satisfaz, pois 0,0,0 → 0 + 0 − 0 = 0; 2) Para esta verificação, é olhar na definição de 𝑊 que ele é formado por vetores que pertencem a 𝑉; 3) Para esta verificação, temos que pegar dois vetores de 𝑊 na sua forma mais geral, somar e ver se o vetor obtido ainda obedece à condição imposta (𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0): Escolhemos os vetores (𝑣 = (𝑎1,𝑎2, 𝑎3) e 𝑤 = (𝑏1,𝑏2, 𝑏3)) ∈ 𝑊. Sabemos que 𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 = 0 e que 𝑏1 + 𝑏2 − 𝑏3 = 0. Então fazemos: 𝑣 + 𝑤 = 𝑎1,𝑎2, 𝑎3 + 𝑏1,𝑏2, 𝑏3 = 𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3 , agora verificamos a condição: 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 + (𝑏1 + 𝑏2 − 𝑏3) = 0 + 0 = 0. Então a condição é respeitada e, por tanto, (𝑤 + 𝑣) ∈ 𝑊; 4) Semelhante à condição anterior, temos que escolher um vetor de 𝑊 em sua forma mas geral, multiplicarpor um escalar qualquer e ver se o vetor obtido ainda obedece à condição imposta (𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0): Escolhemos o vetor 𝑣 = (𝑎1,𝑎2, 𝑎3) ∈ 𝑊 e ∝ ∈ . Sabemos que 𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 = 0. Então Fazemos: ∝. 𝑣 =∝ 𝑎1,𝑎2, 𝑎3 = ∝.𝑎1, ∝. 𝑎2, ∝. 𝑎3 , agora verificamos a condição: ∝. 𝑎1 + ∝.𝑎2 − ∝. 𝑎3 =∝. 𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 = ∝ .0 = 0. Então a condição é respeitada e, por tanto, ∝. 𝑣 ∈ 𝑊. Como as 4 condições foram respeitadas, então 𝑾 é subespaço vetorial de 𝑽. Resumo de Álgebra Linear I unidade 3 Thiago Carreiro Obs.: Se repararem, geometricamente temos, 𝑉 = 3 é o espaço tridimensional e 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑉 / (𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0)} é o plano 𝜋: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 (que passa pela origem e, por isso, 𝑊 contém o vetor nulo). Ex².: Seja 𝑉 = 𝑃3 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e 𝑊 = {𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑥 2 ∈ 𝑉 / 𝑎1 − 2𝑎2 + 𝑎3 = 0 𝑒 (𝑎1 − 𝑎3 = 0)}, diga se 𝑊 é subespaço vetorial de 𝑉. Para resolver essa questão, basta conferir se as 4 condições de subespaço vetorial são obedecidas: 1) Para fazer esta verificação, olhamos para as condições impostas 𝑎1 − 2𝑎2 + 𝑎3 = 0 𝑒 (𝑎1−𝑎3=0), e verificamos se o vetor nulo satisfaz estas condições. O vetor nulo em questão é o polinômio 0 + 0𝑥 + 0𝑥2, daí temos: 0 − 2.0 + 0 = 0 e 0 − 0 = 0. Condição satisfeita; 2) Pela definição, percebemos que os vetores de 𝑊 são polinômios de grau menor ou igual a 3. Condição satisfeita; 3) Para esta verificação, temos que pegar dois vetores de 𝑊 na sua forma mais geral, somar e ver se o vetor obtido ainda obedece às condições impostas 𝑎1 − 2𝑎2 + 𝑎3 = 0 𝑒 (𝑎1 − 𝑎3 = 0): Escolhemos os vetores (𝑃 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥² e 𝑄 = 𝑑 + 𝑒𝑥 + 𝑓𝑥²) ∈ 𝑊. Sabemos que 𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 0, 𝑎 − 𝑐 = 0, 𝑑 − 2𝑒 + 𝑓 = 0 e 𝑑 − 𝑓 = 0. Então fazemos: 𝑃 + 𝑄 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥² + 𝑑 + 𝑒𝑥 + 𝑓𝑥² = 𝑎 + 𝑑 + 𝑏 + 𝑒 𝑥 + 𝑐 + 𝑓 𝑥², agora verificamos as condições: 𝑎 + 𝑑 − 2 𝑏 + 𝑒 + 𝑐 + 𝑓 = 𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 2𝑒 + 𝑓 = 0 + 0 = 0. 𝑎 + 𝑑 − 𝑐 + 𝑓 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑑 − 𝑓 = 0 + 0 = 0. Então as duas condições são respeitadas e, portanto, 𝑃 + 𝑄 ∈ 𝑊; 4) Novamente vamos escolher um vetor de 𝑊 na sua forma mais geral, multiplicar por um escalar qualquer e ver se o vetor obtido respeita as condições: Escolhemos o vetor 𝑃 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥² ∈ 𝑊 e 𝛽 ∈ . Sabemos que 𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 0 e 𝑎 − 𝑐 = 0. Então Fazemos: 𝛽. 𝑃 = 𝛽. 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 = 𝛽𝑎 + 𝛽𝑏 𝑥 + 𝛽𝑐 𝑥², agora verificamos as condições: 𝛽𝑎 − 2 𝛽𝑏 + 𝛽𝑐 = 𝛽. 𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 𝛽. 0 = 0. 𝛽𝑎 − 𝛽𝑐 = 𝛽. 𝑎 − 𝑐 = 𝛽. 0 = 0. Então as duas condições são respeitadas e, portanto, 𝛽. 𝑃 ∈ 𝑊; Como as 4 condições foram respeitadas, então 𝑾 é subespaço vetorial de 𝑽. Obs.: Você pode escrever o vetor na forma mais geral substituindo as entradas por equivalentes. Exemplo: Se 𝑊 = {𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑥2 ∈ 𝑉 / (𝑎1 − 𝑎3 = 0), pela condição: 𝑎1 − 𝑎3 = 0 𝑎1 = 𝑎3. Então podemos escrever: 𝑊 = {𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎1𝑥 2 ∈ 𝑉}, onde 𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎1𝑥 2 é o vetor na forma mais geral. IV. Bases: Base é um conjunto de vetores LI (a combinação linear deles dando o vetor nulo tem como única solução todos os coeficientes iguais a zero (conhecida como solução trivial)) que, através de uma combinação linear, conseguimos obter qualquer vetor do espaço. Resumo de Álgebra Linear I unidade 4 Thiago Carreiro Obs.: A base é representada por um conjunto de vetores entre chaves. Para achar uma base basta seguir um „passo-a-passo‟ bem simples. Após saber o espaço em questão: 1) Olhar (simplificar) a condição de existência (deixar com o menor número possível de „letras‟); 2) Escrever um vetor na forma mais geral (e mais simplificada); 3) “Separar” em uma combinação linear variáveis independentes; 4) Colocar as variáveis em evidência (achando os geradores); 5) Achar um conjunto LI dos vetores obtidos. Ex.: Seja 𝑊 = { 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑎 + 𝑑 = 0 𝑒 𝑐 + 𝑏 = 0}, determine uma base de 𝑊. 1) Condição: 𝑎 + 𝑑 = 0 𝑑 = −𝑎; 𝑐 + 𝑏 = 0 𝑐 = −𝑏; Ficamos com a condição simplificada: 𝑊 = { 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑑 = −𝑎 𝑒 𝑐 = −𝑏}; 2) Forma mais geral: Escolhemos um vetor 𝑣 ∈ 𝑊, substituindo a condição simplificada na forma geral apresentada, ficamos com 𝑣 = 𝑎 𝑏 −𝑏 −𝑎 ; 3) “Separando” as variáveis: 𝑣 = 𝑎 𝑏 −𝑏 −𝑎 = 𝑎 0 0 −𝑎 + 0 𝑏 −𝑏 0 ; 4) Colocar em evidência: 𝑣 = 𝑎 𝑏 −𝑏 −𝑎 = 𝑎 0 0 −𝑎 + 0 𝑏 −𝑏 0 = 𝑎. 1 0 0 −1 + 𝑏. 0 1 −1 0 . Achamos os vetores: 1 0 0 −1 e 0 1 −1 0 ; 5) Conjunto LI: Fazemos uma combinação linear dos vetores obtidos resultando no vetor nulo, se a única solução for a trivial, então eles formam a base do espaço: 0 0 0 0 = 𝐴. 1 0 0 −1 + 𝐵. 0 1 −1 0 Fazendo o sistema: 0 = 1. 𝐴 + 0. 𝐵 0 = 0. 𝐴 + 1. 𝐵 0 = 0. 𝐴 − 1. 𝐵 0 = −1. 𝐴 + 0. 𝐵 Resolvendo o sistema, a única solução é 𝐴 = 𝐵 = 0. Portanto, os vetores 1 0 0 −1 e 0 1 −1 0 são LI e temos: 𝛼 = { 1 0 0 −1 , 0 1 −1 0 } é uma base de 𝑊. V. Geradores: Um conjunto de geradores é um conjunto de vetores que, semelhantemente a uma base, podem resultar em qualquer vetor de um espaço. A grande diferença é que os geradores não Resumo de Álgebra Linear I unidade 5 Thiago Carreiro precisam ser LI. Portanto, uma base é sempre um grupo de geradores. Podemos caracterizar um espaço vetorial pelo seu conjunto de geradores. Obs.: Os geradores são representados por um conjunto de vetores entre colchetes. Ex.: Seja 𝐽 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ 4 / 𝑥 = 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑒 𝑡 = 0 𝑒 𝑦 = 𝑐 + 𝑏} um espaço vetorial, represente 𝐽 pelos seus geradores. Um vetor 𝑣 ∈ 𝐽 pode ser escrito: 𝑣 = 𝑎 + 𝑏, 𝑐 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏, 0 = 𝑎, 0, 𝑎, 0 + 0, 𝑐, 0,0 + 𝑏, 𝑏, 𝑏, 0 = 𝑎. 1,0,1,0 + 𝑐. 0,1,0,0 + 𝑏. (1,1,1,0). Temos daí que os vetores 1,0,1,0 , 0,1,0,0 e (1,1,1,0) são geradores de 𝐽 já que, com uma combinação linear deles, podemos obter qualquer outro vetor. Representamos 𝐽 = [ 1,0,1,0 , 0,1,0,0 , 1,1,1,0 ]. (Repare que o conjunto não é uma base, pois seus vetores não são LI). Obs.: Muito cuidado para não trocar as formas de representação de uma base e de um conjunto gerador. São coisas muito diferentes. VI. Dimensão: A dimensão de um espaço vetorial é definido como o número de vetores de uma base (lembrando que, embora existam infinitas bases para um mesmo espaço, todas tem o mesmo número de vetores). Representamos a dimensão de um espaço 𝑉 como dim(𝑉). Para espaços sem restrições (condições) temos: dim 𝑛 = 𝑛; dim 𝑃𝑛 = 𝑛 + 1; dim 𝑀𝑀𝑥𝑁 = 𝑀. 𝑁. Ex.: Seja 𝑊 = { 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑎 + 𝑑 = 0 𝑒 𝑐 + 𝑏 = 0}, determine uma base e diga a dimensão de 𝑊. Esse exemplo já foi feito (IV. Bases). A resposta foi 𝛼 = { 1 0 0 −1 , 0 1 −1 0 } é uma base de 𝑊. A dimensão é, por definição, o número de vetores de uma base, portanto dim 𝑊 = 2. Obs.: Uma relação importante de dimensão é, sejam 𝑊 e 𝑈 dois subespaços vetoriais de um mesmo corpo: dim 𝑊 + 𝑈 = dim(𝑊) + dim(𝑈) – dim(𝑊 ∩ 𝑈) . VII. Coordenadas: As coordenadas são um conjunto de valores que, dada uma base, caracterizam um vetor. O número de coordenadas de um vetor é o número de entradas do mesmo. Correspondem aos coeficientes de cada vetor da base na combinação linear. Para achar as coordenadas de um vetor em relação a uma determinada base, basta você: 1) Achar a base; 2) Escrever o vetor que você quer como combinação linear dos vetores da base; 3) Resolver o sistema e as coordenadas serão os coeficientes. Resumo de Álgebra Linear I unidade 6 Thiago Carreiro Obs.: A maneira de representar as coordenadas de um vetor 𝑣 em relação a uma base 𝛼 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} é: 𝑣 𝛼 = 𝑎1 𝑎2 ⋮ 𝑎𝑛 , onde 𝑎𝑖 é a 𝑖-ésima coordenada para 𝑖 = {1, 2, … , 𝑛}. Onde 𝑣 = 𝑎1. 𝑣1 + 𝑎2. 𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛 . 𝑣𝑛 . Ex.: Seja 𝛼 = { 1,2 , 3,1 } base de 2 , determine as coordenadas do vetor 𝑣 = (2,0). 1) A base já foi dada; 2) Como os vetores de 𝛼 formam uma base, o vetor 𝑣 pode ser escrito como: 𝑣 = (2,0) = 𝑎. 1,2 + 𝑏. (3,1), ficamos com o sistema: 2 = 1. 𝑎 + 3. 𝑏 0 = 2. 𝑎 + 1. 𝑏 ; 3) As coordenadas do vetor em questão são: 𝑣 𝛼 = 𝑎 𝑏 , então precisamos apenas achar 𝑎 e 𝑏: 2 = 1. 𝑎 + 3. 𝑏 0 = 2. 𝑎 + 1. 𝑏 Podemos resolver escalonando ou de qualquer outro método. Esse sistema em particular fica mais rápido de resolver por substituição: Da segunda equação temos: 𝑏 = −2𝑎 Na primeira ficamos: 2 = 𝑎 + 3. −2𝑎 = −5𝑎 e ficamos com 𝑎 = − 2 5 , portanto 𝑏 = 4 5 . Temos no fim: 𝑣 𝛼 = − 2 5 4 5 . VIII. Mudança de base: Imagine agora que você tem duas bases de um mesmo espaço e é pedido que você diga as coordenadas de alguns vetores em ambas as bases. Levaria muito tempo para resolver fazendo do jeito tradicional para cada vetor em cada uma das bases. Um jeito mais fácil seria usando a relação: 𝑣 𝛽 = 𝐼 𝛽 𝛼 . 𝑣 𝛼 Onde: 𝑣 𝛽 ≡ Coordenadas do vetor 𝑣 em relação à base 𝛽; 𝑣 𝛼 ≡ Coordenadas do vetor 𝑣 em relação à base 𝛼; 𝐼 𝛽 𝛼 ≡ Matriz de mudança de base de 𝛼 (de cima) para 𝛽 (de baixo). A matriz de mudança de base corresponde a uma matriz onde as colunas são as coordenadas dos vetores da base “de cima” em relação à base “de baixo”: Imagine que temos 𝛼 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} e 𝛽 = {𝑤1, 𝑤2,… , 𝑤𝑛}, a matriz mudança de base fica: 𝐼 𝛽 𝛼 = 𝑣1 𝛽 𝑣2 𝛽 … 𝑣𝑛 𝛽 Para achar a matriz mudança de base, fazemos: Resumo de Álgebra Linear I unidade 7 Thiago Carreiro 1) Achar as bases; 2) Achar as coordenadas de cada um dos vetores da base “de cima” em relação à base “de baixo”; 3) Montar a matriz; 4) CASO peça a matriz de mudança de base “inversa”, você pode refazer o passo-a-passo ou achar a matriz inversa da já achada ( 𝐼 𝛼 𝛽 = 𝐼 𝛽 𝛼 −1 ); Ex.: Calcule 𝐼 𝑒 𝛼 onde 𝛼 = 1,2 , −2,1 é base de 2 e 𝑒 = { 1,0 , 0,1 } é a base canônica de 2 . Depois calcule 𝐼 𝑒 𝛼 . 1) As bases já foram dadas; 2) Temos que achar os vetores de 𝛼 com relação à base 𝑒: Para o primeiro vetor de 𝛼: 𝑣1 = 1,2 = 𝐴. 1,0 + 𝐵. (0,1) 𝐴 = 1 e 𝐵 = 2, então: 𝑣1 𝑒 = 1 2 ; Para o segundo vetor de 𝛼: 𝑣2 = −2,1 = 𝐶. 1,0 + 𝐷. (0,1) 𝐶= −2 e 𝐷 = 1, então: 𝑣2 𝑒 = −2 1 ; 3) Montando a matriz: 𝐼 𝑒 𝛼 = 𝑣1 𝑒 𝑣2 𝑒 𝐼 𝑒 𝛼 = 1 −2 2 1 ; 4) Para achar 𝐼 𝛼 𝑒 podemos repetir o processo, ou calcular a matriz inversa de 𝐼 𝑒 𝛼 . Calculando a matriz inversa, coloca a matriz identidade do lado direito e escalona até achar a identidade do lado esquerdo: 𝐼 𝛼 𝛽 = 𝐼 𝛽 𝛼 −1 1 −2 ⋮ 1 0 2 1 ⋮ 0 1 𝐿2 → 𝐿2 − 2𝐿1 1 −2 ⋮ 1 0 0 5 ⋮ −2 1 𝐿2 → 1 5 . 𝐿2 1 −2 ⋮ 1 0 0 1 ⋮ − 2 5 1 5 𝐿1 → 𝐿1 + 2𝐿2 1 0 ⋮ 1 5 2 5 0 1 ⋮ − 2 5 1 5 ; E a matriz resultante do lado direito é a inversa que procuramos, portanto: 𝐼 𝛼 𝛽 = 1 5 2 5 − 2 5 1 5 .
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