Calc1 Derivada 2

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Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul - UEMS
APOSTILA DE CÁLCULO I
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL
Parte I
Profª. MSc. Adriana de Fátima Vilela Biscaro
Veremos nesta apostila que a DERIVADA, representa a inclinação de uma curva num ponto. 
Posteriormente, apresentaremos outras aplicações práticas, em diversos ramos da Física, 
Engenharia, Economia etc.
Exercícios:
1. Encontrar uma equação para a reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1,1).
2. Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 no ponto cuja abscissa é 2.
Como vimos na seção anterior, esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva 
y = f(x) no ponto (x0, f(x0). Portanto, geometricamente, a derivada da função y = f(x) no ponto 
x0, representa a inclinação da curva neste ponto.
O termo “derivada” é usado porque a função f’ deriva da função f por meio de um limite.
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
Exercícios:
1. Encontre a derivada em relação a x de f(x) = x2 +1 e use-a para encontrar a equação da reta 
tangente a y = x2 +1 em x=2.
2. Dada f(x) = 5x2 + 6x -1, encontre f’ (2).
3. Dada 
3
2)(
+
−
=
x
xxf , encontre f’(x).
4. Dada xxf =)( , encontre f’(4).
5. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o 
gráfico em cada caso.
a) f(x) = x2 -1 ; x=0
b) f(x) = x2 – 3x + 6; x = -1
6. Dadas as funções f(x) = 5 – 2x e g(x) = 3x2 -1, determinar:
a) f’ (1) + g’(1)
b) 2f’(0) – g’(-2)
c) f(2) – f’(2)
d) [g’(0)]2 + 1/2g’(0) + g(0)
7. Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 1 – 4x2
b) f(x) = 2x2 – x -1
c) f(x) = 1/x+2
d) f(x) = 1-x/x+3
8. Dada a função f(x)= 2x2 – 3x -2, determinar os intervalos em que:
a)f’(x) >0 b) f’(x) <0 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS
TEOREMA: Toda função derivável num ponto x1 é contínua nesse ponto
Prova: (i) f(x1) existe;
 (ii) )(lim
1
xf
xx→ existe;
 (iii) )(lim
1
xf
xx→ = f(x1)
Por hipótese, f(x) é derivável em x1. Logo f’ (x1) existe e, pela fórmula
1
1
1
)()(
lim)('
1 xx
xfxfxf
xx
−
−
=
→
 Concluímos que f(x1) deve existir para que o limite tenha significado.
Exemplo:
Seja a função definida por


≥−
<−
=
2,7
2,13
)(
sexx
sexx
xf
a) Mostre que f é contínua em 2.
b) Encontre f’+ (2) e f’-(2).
a) Esta função é contínua em 2.
De fato, existe f(2) = 5; existe o limite:
5)13(lim)7(lim)(lim
22
2
=−=−=
−
→
→→ +
x
x
xxf
xx
E finalmente,
5)2()(lim
2
==
→
fxf
x
b) Obtemos f’+(2) usando a definição:
2
)2()(
lim)2(
2
'
−
−
=
→
+ x
fxff
x
2
57
lim)2(
2
'
−
−−
=
→
+ x
xf
x
2
2
lim)2(
2
'
−
+−
=
→
+ x
xf
x
2
)2(
lim)2(
2
'
−
−−
=
→
+ x
xf
x
1)2(' −=+f
Usando a definição, obtemos f’-, temos;
2
)2()(
lim)2(
2
'
−
−
=
−→
− x
fxff
x
2
513
lim)2(
2
'
−
−−
=
−→
− x
xf
x
2
63
lim)2(
2
'
−
−
=
−→
− x
xf
x
2
)2(3
lim)2(
2
'
−
−
=
−→
− x
xf
x
3)2(' =
−
f
Como 
2
)2()(
lim)2(
2
'
−
−
=
+→
+ x
fxff
x
 ≠ 
2
)2()(
lim)2(
2
'
−
−
=
−→
− x
fxff
x
Concluímos que não existe o 
0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx
−
−
→
, Portanto, a função f(x) não é derivável em x0 = 2
Exercícios:
1. Mostre que a função 

≥+−
<+
=
14
112
)(
sexx
sexx
xg não é derivável em x=1.
2. Seja 

≥+
<+
=
112
12
)(
2
sexx
sexx
xg
a) Mostre que g é derivável em p =1 e calcule g’(1).
b) Esboce e gráfico de g. 
Exemplo: Calcule as derivadas das funções abaixo
Exemplo: 
Exemplo: 
Exemplo: 
Exemplo: 
Proposição. Se nxxf −=)( onde n é um inteiro positivo e x ≠ 0, então 1.)(' −−−= nxnxf .
Prova: Podemos escrever nx
xf 1)( = . Aplicando a regra do quociente, temos:
2
1
)(
.10.)(' n
nn
x
nxxxf
−
−
=
2
1
)(
)(' n
n
x
nxxf
−
−
=
nn xxnxf 21..)(' −−−=
1)(' −−−= nnxxf
Exercícios:
1. Encontrar a derivada das funções dadas:
a) f(x) = 3x2 + 5 b) f(x) = x3 + x2 + 1
c) f(x) = 3x3 – 2x2 + 4 d) f(x) = xx +3 
e) f(x) = 32 x f) f(x) = x
x 13 + 
g) 2
54)(
xx
xf += h) f(x) = 
12 +x
x
 
i) 
1
1)(
2
+
−
=
x
xxf j)
35
33)(
2
−
+
=
x
xxf 
k) )2)(13()( 45 xxxf −−= l) f(x) = (7x – 1)(x+4)