Exercicio 1 gabarito - Cálculo Diferencial e Integral I - UFPE

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO I - A´REA II- 2008 - 1
GABARITO DO PRIMEIRO EXERCI´CIO
1. (a) lim
x→1
x− 1
2−√5− x = limx→1
x− 1
(2−√5− x)
(2 +
√
5− x)
(2 +
√
5− x) = limx→1 2 +
√
5− x = 4.
(b) lim
x→0
2 sen 2x
x2 + x sen x
= lim
x→0
2
(
sen x
x
)2
1 + (
sen x
x
)
= 1.
2. Por definic¸a˜o,
f ′(−1) = lim
h→0
f(−1 + h)− f(−1)
h
= lim
h→0
1
h
(
1
3h− 1 + 1
)
= lim
h→0
3
3h− 1 = −3
3. Calculando a derivada de f temos que f ′(x) = 3(2x2 + 2x− 1).
(a) Como f ′(−1) = −3, temos que a reta tangente no ponto (−1, 3) e´ y − 3 =
−3(x+ 1), isto e´, y = −3x.
(b) Se a reta tangente e´ perpendicular a` reta y = −1
9
x − 3, devemos ter que
f ′(x) = 9. Da´ı, x = −2 ou x = 1. Portanto, os pontos sa˜o: (1, 1) e (−2, 1).
4. a) Como f(0) = 1, lim
x→0+
f(x) = 1 lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(2x2 + 3x+ α) = α, para que f
seja cont´ınua em x = 0, devemos ter que α = 1
2.0
2.5
1.0
1.0
0.5
−0.5
1.5
0.0−1.0
0.0
0.5−1.5
c) A func¸a˜o f na˜o possui derivada em x = 0, pois o gra´fico de f faz um bico no
ponto (0, 1). Temos f ′−(0) = 3 e f
′
+(0) = 1.
5. (a) Usando a regra do quociente temos que
f ′(x) =
(2x4 + 1)(1
3
x−2/3 − 1)− (8x3)(x1/3 − x)
(2x4 + 1)2
.
(b) Pela regra do produto e regra da cadeia g′(x) = e−x(cosx− sen x).
(c) Usando a regra da cadeia, h′(x) = −2 cos x sen x
1 + cos2 x
.