Prova 1 de Cálculo I - (1)

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO I - A´REA II
PRIMEIRO SEMESTRE — 2003
Data: 19 de Maio de 2003
GABARITO DO 1o. EXERCI´CIO ESCOLAR
1. a) Primeiro note que
√
x+2−2√
3x+10−4 =
√
x+2−2√
3x+10−4
(
√
x+2+2)
(
√
x+2+2)
= (x−2)
(
√
x+2+2)(
√
3x+10−4) =
(x−2)
(
√
x+2+2)
(
√
3x+ 10− 4) (
√
3x+10+4)
(
√
3x+10+4)
= (x−2)(
√
3x+10+4)
(
√
x+2+2)(3x−6) =
(
√
3x+10+4)
3(
√
x+2+2)
.
Portanto,
lim
x→2
√
x+ 2− 2√
3x+ 10− 4 =
2
3
.
b) Observe que: sen(
√
2x)
x
=
√
2sen(
√
2x)√
2x
, logo fazendo θ =
√
2x e observando que se x → 0 enta˜o
θ → 0 teremos que:
lim
x→0
sen(
√
2x)
x
=
√
2 lim
θ→0
sen(θ)
θ
=
√
2,
desde que ja´ sabemos que lim
θ→0
sen(θ)
θ
= 1.
c) E´ conhecido que a func¸a˜o 0 ≤ sen2(θ) ≤ 1, isto e´ limitada e que a func¸a˜o x4 → 0 quando
x→ 0, assim
lim
x→0
x4 sen2
(
2
x3
)
= 0.
Um outro argumento e´ usar o Teorema do Sanduiche ou do Confronto, desde que:
0 ≤ x4 sen2 ( 2
x3
) ≤ x4.
2. a.) Como para x 6= 1, f(x) e´ um polinoˆmio, ela e´ cont´ınua se x 6= 1. Para x = 1 temos
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(x2 + 2) = 3 e lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(ax− 2) = a− 2. Logo, para f(x) ser cont´ınua
em x = 1, 3 = a− 2 e a = 5. Assim, para a = 5 f(1) = 3 e lim
x→1
f(x) = 3.
b.) Para x 6= 2, f(x) = x
2 − 5x+ 6
x2 − 4x+ 4 =
(x− 2)(x− 3)
(x− 2)2 =
x− 3
x− 2. Os limites laterais sa˜o:
lim
x→2−
f(x) = ∞ e lim
x→2+
f(x) = −∞. Portanto lim
x→2
f(x) na˜o existe e x = 2 e´ uma descontinuidade
essencial e na˜o existe valor de a tal que f(x) e´ cont´ınua em x = 2.
3. Por definic¸a˜o f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
. Nesse caso x0 = 1.
Enta˜o, f ′(1) = lim
h→0
1
1+h
− 1
h
= lim
h→0
1− (1 + h)
h(1 + h)
= lim
h→0
−h
h(1 + h)
= lim
h→0
−1
1 + h
= −1.
4. (a) f(x) =
√
x tanx, f(x) e´ um produto de func¸o˜es. Logo
d
dx
f(x) = (
d
dx
√
x ) tan x +
√
x (
d
dx
tan x ) =
1
2
√
x
tan x +
√
x sec2 x.
(b) f(x) = 3x
2+x
(x+1)5
, f(x) e´ um quociente de func¸o˜es. Logo
d
dx
f(x) =
[ d
dx
(3x2+x) ] (x+1)5 − (3x2+x) [ d
dx
(x+1)5 ]
[ (x+1)5 ]2
= [ 6x+1] (x+1)
5 − (3x2+x) [ 5(x+1)4 ]
(x+1)10
= [ 6x+1] (x+1) − 5 (3x
2+x)
(x+1)6
= −9x
2+2x+1
(x+1)6
c) f(x) = e( 2+sen x )
1/2
, f(x) e´ a composta de treˆs func¸o˜es. Logo, usando duas vezes a regra da
cadeia, temos
d
dx
f(x) = e( 2+sen x )
1/2 1
2
√
2 + sen x
cosx.
5. Derivando implicitamente a equac¸a˜o y11 + y7x6 + yx+ x2 = 1, temos:
11y10y′ + 7y6y′x6 + 6y7x5 + y′x + y + 2x = 0 ⇒ y′(11y10 + 7y6x6 + x) =
−6y7x5 − y − 2x⇒ y′ = − 6y
7x5 + y + 2x
11y10 + 7y6x6 + x
.
Note que se x = 0 enta˜o a ordenada deve satisfazer a equac¸a˜o : y11 = 1, de onde encontramos que
y = 0 e o ponto pertencente a`curva e´ P (0, 1). Assim, os coeficientes angulares das retas tangente
e normal a` curva no ponto (0, 1) sa˜o, respectivamente, mt = y
′(0, 1) = − 1
11
e mn = − 1
mt
= 11.
Logo, as equac¸o˜es das retas tangente e normal a` curva no ponto (0, 1) sa˜o:
reta tangente: y − 1 = − 1
11
(x− 0)⇒ x+ 11y − 11 = 0
reta normal: y − 1 = 11(x− 0)⇒ 11x− y + 1 = 0.