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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE CA´LCULO I - A´REA II- 2008 - 1 GABARITO DO PRIMEIRO EXERCI´CIO 1. (a) lim x→1 x− 1 2−√5− x = limx→1 x− 1 (2−√5− x) (2 + √ 5− x) (2 + √ 5− x) = limx→1 2 + √ 5− x = 4. (b) lim x→0 2 sen 2x x2 + x sen x = lim x→0 2 ( sen x x )2 1 + ( sen x x ) = 1. 2. Por definic¸a˜o, f ′(−1) = lim h→0 f(−1 + h)− f(−1) h = lim h→0 1 h ( 1 3h− 1 + 1 ) = lim h→0 3 3h− 1 = −3 3. Calculando a derivada de f temos que f ′(x) = 3(2x2 + 2x− 1). (a) Como f ′(−1) = −3, temos que a reta tangente no ponto (−1, 3) e´ y − 3 = −3(x+ 1), isto e´, y = −3x. (b) Se a reta tangente e´ perpendicular a` reta y = −1 9 x − 3, devemos ter que f ′(x) = 9. Da´ı, x = −2 ou x = 1. Portanto, os pontos sa˜o: (1, 1) e (−2, 1). 4. a) Como f(0) = 1, lim x→0+ f(x) = 1 lim x→0− f(x) = lim x→0− (2x2 + 3x+ α) = α, para que f seja cont´ınua em x = 0, devemos ter que α = 1 2.0 2.5 1.0 1.0 0.5 −0.5 1.5 0.0−1.0 0.0 0.5−1.5 c) A func¸a˜o f na˜o possui derivada em x = 0, pois o gra´fico de f faz um bico no ponto (0, 1). Temos f ′−(0) = 3 e f ′ +(0) = 1. 5. (a) Usando a regra do quociente temos que f ′(x) = (2x4 + 1)(1 3 x−2/3 − 1)− (8x3)(x1/3 − x) (2x4 + 1)2 . (b) Pela regra do produto e regra da cadeia g′(x) = e−x(cosx− sen x). (c) Usando a regra da cadeia, h′(x) = −2 cos x sen x 1 + cos2 x .
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