Exercicio 2 cálculo I area II CIn UFPE

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ATENC¸A˜O: Ale´m de escrever seu nome acima, na˜o esquec¸a de preencher o
cabec¸alho no caderno de prova!
Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO I - A´REA II- 2008 - 1
SEGUNDO EXERCI´CIO
1. Considere a curva com equac¸a˜o x2 + xy + y2 = 3.
(a) (1,0) Use diferenciac¸a˜o impl´ıcita para determinar y′ = dy/dx.
(b) (1,0) Determine os pontos da curva nos quais a reta tangente e´ horizontal.
2. (1,5) Um holofote no cha˜o ilumina uma parede a uma distaˆncia de 10 m. Um
homem de 2 m de altura caminha do holofote em direc¸a˜o a` parede a uma velocidade
constante igual a 3 m/s. Qual a velocidade de decrescimento de sua sombra sobre
a parede quando o homem esta´ a 8 m da parede?
3. Um cilindro circular reto deve ser inscrito numa esfera de raio 3m.
(a) (1,0) Escreva o volume do cilindro em func¸a˜o da altura, especificando o domı´nio
desta func¸a˜o.
(b) (1,5) Determine a altura do cilindro para que seu volume seja ma´ximo (lembre-
se que na˜o e´ suficiente calcular os pontos cr´ıticos).
4. Seja f(x) = xe−x
2
, x ∈ R.
(a) (0,75) Determine a(s) reta(s) ass´ıntota(s), investigando os limites necessa´rios.
(b) (0,75) Determine os pontos cr´ıticos e os intervalos de crescimento e decresci-
mento.
(c) (0,75) Estude a concavidade do gra´fico de f e determine os pontos de inflexa˜o.
(d) (1,25) Esboce o gra´fico, destacando os pontos cr´ıticos e de inflexa˜o.
(e) (0,5) Qual e´ a imagem da func¸a˜o f?
Observac¸o˜es:
(a) Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras e celulares.
(b) Na˜o e´ permitido destacar nenhuma das folhas.
(c) Entender o enunciado das questo˜es e´ parte integral da prova. Na˜o fac¸a consultas ao
fiscal; ele na˜o dara´ informac¸o˜es complementares sobre a prova.