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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE CA´LCULO I - A´REA II PRIMEIRO SEMESTRE — 2003 2o. EXERCI´CIO ESCOLAR Observac¸a˜o: Na˜o pode usar calculadora. 1. Derive as seguinets func¸o˜es: a) (1.0 ponto) f(x) = arcsen(x2) + 2x. b) (1.0 ponto) f(x) = (2 + ex)arctan(x). 2. (1.0) Encontre o polinoˆmio de Taylor (de ordem 2) da func¸a˜o f(x) = 1 x−1 no ponto x = 0. 3. Considere a seguinte func¸a˜o: f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 1, x ≤ 0 1 x−1 , x > 0 . a) (0.25 ponto) Determine o domı´nio ma´ximo da func¸a˜o f . b) (0.25 ponto) Ache os pontos cr´ıticos de f . c) (0.5 ponto) Determine os intervalos de crescrimento e decrescimento da func¸a˜o f . d) (0.5 ponto) Encontre o(s) ponto(s) de ma´ximo local(is), mı´nimo local(is) da func¸a˜o f (caso existam). e) (0.5 ponto) Determine o (os) intervalo(s) onde a func¸a˜o f e´ coˆncava para cima e onde e´ coˆncava para baixo e encontre o(os) ponto(s) de inflexa˜o (caso existam). f) (0.5 ponto) Determine (caso existam) ass´ıntotas verticais, horizontais e obl´ıquas. g) (1.0 ponto) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f levando em conta toda a informac¸a˜o obtida nos items anteriores. 4. a) (1.0 ponto) Encontre dois nu´meros tal que sua soma seja 100 e seu produto seja ma´ximo. b) (1.5 ponto) Qual e´ a menor distaˆncia do ponto (0, 1) a um ponto da para´bola y = x2 − 1 ? 5. Calcule os seguintes limites: a) (0.5 ponto) lim x→+∞ √ x− 1 x+ 4 . b) (0.5 ponto) lim x→0+ sen(x) ln(sen(x)). c) (1.0 ponto) lim x→+∞ ( 1 + 2 x )x3 . BOM TRABALHO !!!
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