Prova 2 de Cálculo I - (7)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
SEGUNDO EXERC´ICIO ESCOLAR
SEGUNDO SEMESTRE DE 2004
28 de fevereiro de 2005
1aQuesta˜o -
2aQuesta˜o -
3aQuesta˜o -
4aQuesta˜o -
Total -
Nome leg´ıvel –
Assinatura –
Turma – CPF –
Justifique suas respostas. Mostre seus ca´lculos. Respostas sem ca´lculos ou justificativas
na˜o sera˜o aceitas.
1a Questa˜o (2,0 pts): Calcule a a´rea entre as curvas y = 2x e y = x2 − 4x.
2a Questa˜o (2,0 pts): Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) =
∫ senx
1
2
1
1− t2 dt
3a Questa˜o (2,0 pts): Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua f , definida para todos
os reais, satisfazendo as seguintes condic¸o˜es : a) f ′(2) = 0 b) f(1) = −1 c) f(0) = 0
d) f ′(x) < 0 se 0 < x < 2 e) f ′(x) > 0 se x > 2 f) f ′′(x) < 0 se 0 ≤ x < 1 g)
f ′′(x) < 0 se x > 4 h) f ′′(x) > 0 se 1 < x < 4 i) lim
x→∞ f(x) = 1 j) f e´ uma func¸a˜o
par.
Indique explicitamente, caso haja, os intervalos onde f e´ crescente, os intervalos onde f
e´ decrescente, os pontos de ma´ximo local, os pontos de mı´nimo local, os intervalos onde
f e´ coˆncava para baixo, os intervalos onde f e´ coˆncava para cima, os pontos de inflexa˜o
e as ass´ıntotas.
4a Questa˜o: Calcule as seguintes integrais (dica para uma delas: sec2 x− 1 = tg 2x):
a) (1,0 pt)
∫ pi
4
0
sen2 x cosx dx b) (1,0 pt)
∫ ∞
1
1
x5
dx
c) (1,0 pt)
∫ √2
1
√
x2 − 1
x
dx d) (1,0 pt)
∫
arcsen t dt