prova 2 2006.1 cálculo I area II CIn UFPE

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UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
SEGUNDO EXERCI´CIO ESCOLAR
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2006
21 de agosto de 2006
1aQuesta˜o -
2aQuesta˜o -
3aQuesta˜o -
Total -
Nome leg´ıvel –
Curso – Turma –
ASSINATURA –
OBS: Verifique se seu caderno de prova esta´ completo.
Na˜o e´ permitido o uso de ma´quina de calcular.
Entender o enunciado das questo˜es e´ parte integral da prova; os fiscais na˜o dara˜o in-
formac¸o˜es complementares.
1. (3 pontos) Um triaˆngulo tem dois lados de comprimentos fixos 5cm e 8cm. Se estes
dois lados formam um aˆngulo que cresce a` taxa de
√
3 radianos por minuto, com que
velocidade varia o comprimento do lado oposto quando este aˆngulo e´ pi/3 radianos?
2. (3 pontos) Dentre todos os retaˆngulos que teˆm dois lados sobre os eixos coordenados
e um dos ve´rtices no gra´fico de f(x) = 3 +
4
x2
(x > 0), determine as dimenso˜es daquele
de a´rea mı´nima. Justifique.
3. Seja f(x) = x3ex.
(a) (1 pt) Determine a(s) ass´ıntota(s).
(b) (1 pt) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f e classifique os
pontos cr´ıticos.
(c) (1 pt) Estude a concavidade do gra´fico.
(d) (1 pt) Use (a)-(c) para esboc¸ar o gra´fico da func¸a˜o, marcando no mesmo o(s) ponto(s)
cr´ıtico(s) com uma bola ◦ e o(s) pontos(s) de inflexa˜o com uma cruz x.