Gabarito 2 ex prova cálculo I area II CIn UFPE

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO I - A´REA II- 2008 - 1
GABARITO DO SEGUNDO EXERCI´CIO
1. (a) y′ = −2x+y
x+2y
.
(b) Nos pontos (x, y) da curva nos quais a reta tangente e´ horizontal temos que
a derivada e´ zero. Assim, devemos ter y = −2x. Substituindo y = −2x na
equac¸a˜o da curva temos que x2 = 1, ou seja, x = 1 ou x = −1. Portanto, os
pontos sa˜o: (1,−2) e (−1, 2). 2.0
y
1.6
0.4
0.0
−1.6
x
1.2
1
0.8
−0.4
−1
−2.0
−0.8
20−2
−1.2
2. Seja x distaˆncia do holofote ao homem e y o comprimento da sua sombra. Enta˜o,
dx
dt
= 3. Por semelhanc¸a de triaˆngulos temos que y
2
= 10
x
, ou seja, y = 20
x
. Derivando
em relac¸a˜o ao tempo t temos dy
dt
= − 20
x2
dx
dt
. Quando o homem esta´ a 8 metros da
parede temos que x = 2. Portanto, dy
dt
= −20
22
3 = −15.
y
2m
x
3. (a) Seja r o raio da base do cilindro, h a sua altura e V seu volume. Sabemos que
V = pir2h. No triaˆngulo retaˆngulo da figura temos que (h
2
)2+r2 = 9. Portanto,
o volume do cilindro e´ V = pi[9 − (h
2
)2]h e h ∈ [0, 6]( 6 e´ o dobro do valor do
raio da esfera).
h/23
r
(b) Calculando a derivada de V temos que
dV
dh
= 3pi(3 − 1
4
h2). Logo h = 2
√
3
e´ um ponto cr´ıtico. Como dV
dh
> 0 ⇔ h ∈ [0, 2√3] e dV
dh
< 0 ⇔ h ∈ [2√3, 6]
temos que x = 2
√
3 e´ um ponto de ma´ximo.
5
20
4
50
10
60
620
30
40
1 3
h
0
Volume V 
4. Seja f(x) = xe−x
2
, x ∈ R.
(a) Pela regra de L’Hoˆpital temos que lim
x→±∞
xe−x
2
= lim
x→±∞
x
ex2
= lim
x→±∞
1
2xex2
= 0.
Portanto, a reta y = 0 e´ ass´ıntota horizontal.
(b) Derivando f temos f ′(x) = e−x
2
(−2x2 + 1). Os ponto cr´ıticos sa˜o ±
√
2
2
. Ale´m
disso, f ′(x) > 0 ⇔ x ∈ (−
√
2
2
,
√
2
2
) e f ′(x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞,−
√
2
2
) ∪ (
√
2
2
,+∞).
Portanto, f cresce em (−
√
2
2
,
√
2
2
) e decresce em (−∞,−
√
2
2
) ∪ (
√
2
2
,+∞).
(c) f ′′(x) = 2xe−x
2
(2x2−3). Portanto, os pontos de inflexa˜o sa˜o x = 0 e x = ±
√
6
2
.
Como f ′′(x) > 0⇔ x ∈ (−
√
6
2
, 0) ∪ (
√
6
2
,+∞) e f ′′(x) < 0⇔ x ∈ (−∞, −
√
6
2
) ∪
(0,
√
6
2
) temos que f e´ coˆncava para baixo em (−∞, −
√
6
2
) ∪ (0,
√
6
2
) e coˆncava
para cima em (−
√
6
2
, 0) ∪ (
√
6
2
,+∞).
(d) Gra´fico de f : 0.4
0.08
−0.32
0.0
x
0.24
0.16
2
0.32
−0.08
−2
−0.4
−0.16
40−4
−0.24
(e) A imagem de f e´ o intervalo [f(−
√
2
2
), f(
√
2
2
)] = [−
√
2
2
e−1/2,
√
2
2
e−1/2].