prova 2 2006.2 cálculo I area II CIn UFPE

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
Ca´lculo I - A´rea II
GABARITO DO SEGUNDO EXERCI´CIO ESCOLAR - 2006.2
1. Derivando implicitamente a equac¸a˜o da curva em relac¸a˜o a x obtemos
e5y5
dy
dx
+ 2y
dy
dx
− 2x = 0⇒ dy
dx
(5e5y + 2y) = 2x⇒ dy
dx
=
2x
5e5y + 2y
.
No ponto (1, 0),
dy
dx
=
2
5
.
Assim, a equac¸a˜o da reta tangente a curva e´
y − 0 = 2
5
(x− 1)⇒ y = 2
5
x− 2
5
2. O retaˆngulo descrito tem base x e altura f(x) = e−3x. Assim, a a´rea A(x) do retaˆngulo e´ dada
por A(x) = xe−3x. Para determinarmos as dimenso˜es do retaˆngulo de a´rea ma´xima, devemos achar
os pontos cr´ıticos de A (A′(x) = 0) e verificar qual e´ de ma´ximo. Disto,
A′(x) = 0⇔ e−3x − 3xe−3x = 0⇔ e−3x(1− 3x) = 0⇔ x = 1
3
.
Mas, x = 1
3
e´ um ponto de ma´ximo da func¸a˜o A(x), pois sendo A′(x) = e−3x(1− 3x) vemos que
• x < 1
3
⇒ A′(x) > 0⇒ A(x) e´ crescente
• x > 1
3
⇒ A′(x) < 0⇒ A(x) e´ decrescente.
Sendo assim, as dimenso˜es do retaˆngulo de a´rea ma´xima sa˜o x = 1
3
e y = f
(
1
3
)
= e−1.
3. (a) Como lim
x→0+
tg(3x) = 0 e lim
x→0+
arcsen(x) = 0 podemos aplicar a regra de L’Hopital. Assim,
lim
x→0+
tg(3x)
arcsen(x)
= lim
x→0+
(tg(3x))′
(arcsen(x))′
= lim
x→0+
3 sec2(3x)
1/
√
1− x2 = 3
(b) Aplicaremos novamente a regra de L’Hopital. Para isto, observemos que x ln(5 sen x) =
ln(5 sen x)
1/x
.
Como lim
x→0+
ln(5 sen x) = −∞ e lim
x→0+
1
x
= +∞ segue-se que
lim
x→0+
x ln(5 sen x) = lim
x→0+
ln(5 sen x)
1/x
= lim
x→0+
(ln(5 sen x))′
(1/x)′
= lim
x→0+
cosx/ senx
−1/x2 = − limx→0+ x cosx
x
senx
= 0,
ja´ que lim
x→0+
x
senx
= lim
x→0+
1
senx/x
= 1 e lim
x→0+
x cosx = 0.
4.
(a)
(i) Ass´ıntotas inclinadas: Para todo a, b ∈ R temos que
lim
x→±∞
[
−x
4
4
+ x3 − x2 + 3− (ax+ b)
]
= lim
x→±∞
x4
(
−1
4
+
1
x
− 1
x2
− a
x3
+
3− b
x4
)
= −∞.
Assim, na˜o existem ass´ıntotas inclinadas.
(ii) Assintotas Verticais: Sendo f(x) = −x4
4
+ x3 − x2 + 3 uma func¸a˜o cont´ınua segue-se que
lim
x→a
[
−x
4
4
+ x3 − x2 + 3
]
= −a
4
4
+ a3 − a2 + 3 6= ±∞, implicando a na˜o existeˆncia de ass´ıntotas
verticais.
(iii) Ass´ıntotas horizontais: Este tipo de ass´ıntota tambe´m na˜o existe, pois lim
x→±∞
[
−x
4
4
+ x3 − x2 + 3
]
=
1
2
lim
x→±∞
x4
(
−1
4
+
1
x
− 1
x2
+
3
x4
)
= −∞.
(b) Observemos que f ′(x) = −x3 + 3x2 − 2x = x(−x2 + 3x − 2). Da´ı, f ′(x) = 0 ⇔ x = 0 ou
x = 1 ou x = 2. Estudando o sinal da func¸a˜o f ′(x) vemos que
• se x < 0 ou 1 < x < 2, f ′(x) > 0
• se 0 < x < 1 ou x > 2, f ′(x) < 0,
donde segue-se que f e´ crescente nos intervalos (−∞, 0) e (1, 2), e decrescente nos intervalos (0, 1)
e (2,+∞). Portanto, em x = 0 e x = 2 temos ma´ximos locais e em x = 1 temos um mı´nimo local.
Como ilustrac¸a˜o do estudo dos sinais temos
-
-
- x
−x2 + 3x− 2
x(−x2 + 3x− 2)
+ + + + + +
+ + +
+ + + +
− − − −
−
− − −
0 1 2
(c) As raizes de f ′′(x) = −3x2 + 6x− 2 = 0 sa˜o x1 = 3−
√
3
3
e x2 =
3+
√
3
3
. Disto, vemos que
• f ′′(x) < 0 nos intervalos (−∞, x1) e (x2,+∞),
• f ′′(x) > 0 no intervalo (x1, x2).
Assim, a concavidade de f e´ para baixo em (−∞, x1) e (x2,+∞), e para cima em (x1, x2). Logo, os
pontos de inflexa˜o sa˜o x1 =
3−√3
3
e x2 =
3+
√
3
3
.
(d)
−10
2−2
−30
−50
0
−20
−40
x
40