Gab 3ºEE 2008-2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - A´REA II
TERCEIRO EXERCI´CIO ESCOLAR DE CA´LCULO 1
SEGUNDO SEMESTRE DE 2008
G A B A R I T O
1aQuesta˜o:(5,0 pontos) Calcule as integrais abaixo:
a)
∫
1 + 2x
1 + x2
dx =
∫
1
1 + x2
dx+
∫
2x
1 + x2
dx = arctgx+ ln(1 + x2) + C.
b) Integrando por partes, com u = lnx e dv = x2dx temos,
∫
x2lnxdx =
x3
3
lnx − 1
3
∫
x2dx =
x3
3
lnx− x
3
9
+ C.
c) Como
6x
(x+ 1)(x− 5) =
A
x+ 1
+
B
x− 5 =
1
x+ 1
+
5
x− 5, obtemos,
∫
6x
(x+ 1)(x− 5) dx =∫
1
x+ 1
dx+
∫
5
x− 5 dx = ln|x+ 1|+ ln|x− 5|+ C
d) Pondo x = senθ, obtemos dx = cos θdθ e
∫ √
1− x2dx =
∫
cos2 θdθ =
∫
1 + cos 2θ
2
dθ =
1
2
θ +
senθ cos θ
2
=
1
2
arcsenx+
1
2
x
√
1− x2 + C
2aQuesta˜o:
a) (1,0 ponto) Fac¸a um esboc¸o da regia˜o delimitada pelas curvas y = x2 − 2x e y = 2x. Estas
curvas, que sa˜o, respectivamente, uma para´bola e uma reta, interceptam-se quando x2 − 2x = 2x.
Disto segue que os pontos de intersec¸a˜o da reta e a para´bola sa˜o: (0, 0) e (4, 8), e que a regia˜o em
questa˜o e´ ilustrada pela figura abaixo:
y= x2
y=x - x22
b) (2,0 pontos) Calcule a a´rea da regia˜o descrita no item anterior. A´rea=
∫ 4
0
[2x− (x2 − 2x)]dx =∫ 4
0
(4x− x2)dx =
[
2x2 − x
3
3
]x=4
x=0
=
32
3
3aQuesta˜o: Em cada item abaixo, verifique se a integral impro´pria dada converge e, caso afirma-
tivo, calcule seu valor:
a) (1,0 ponto)
∫ 1
0
dx
3
√
1− x = lima→1−
∫ a
0
dx
3
√
1− x = lima→1−
[
−(1− x)2/33/2
]x=a
x=0
=
lima→1−
[−3/2(1− a)2/3 + 3/2] = 3/2 .
Portanto
∫ 1
0
dx
3
√
1− x converge e seu valor e´ 3/2.
b) (1,0 ponto)
∫ ∞
1
(
1
x2
+ e−x
)
dx = lim
a→+∞
∫ a
1
(
1
x2
+ e−x
)
dx = lim
a→+∞
[−1/x− e−x]x=a
x=1
=
lim
a→+∞
[−1/a− e−a − (−1− e−1)] = 1+1/e+ lim
a→+∞
[−1/a− e−a] = 1+1/e− 0− 0 = 1+1/e .
Portanto
∫ ∞
1
(
1
x2
+ e−x
)
dx converge e seu valor e´ 1 + 1/e .