prova 3 2003.1 cálculo I area II CIn UFPE

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO I - A´REA II
PRIMEIRO SEMESTRE — 2003
Data: 29 de Setembro de 2003
GABARITO DO 3o. EXERCI´CIO ESCOLAR
a) ∫
x3
√
x + 1 dx
Fazendo-se u = x + 1 obtemos que∫
x3
√
x + 1 dx =
∫
(u− 1)3 u 12 du =
∫
(u3 − 3 u2 + 3 u− 1) u 12 du
=
∫
(u
7
2 − 3 u 52 + 3 u 32 − u 12 ) du = 2
9
u
9
2 − 6
7
u
7
2 +
6
5
u
5
2 − 2
3
u
3
2 + c
=
2
9
(x + 1)
9
2 − 6
7
(x + 1)
7
2 +
6
5
(x + 1)
5
2 − 2
3
(x + 1)
3
2 + c
b) ∫
x + 1
x2 + 2 x + 5
dx
Fazendo-se u = x2 + 2 x + 5 obtemos que∫
x + 1
x2 + 2 x + 5
dx =
1
2
∫
du
u
=
1
2
ln |u|+ c = 1
2
ln |x2 + 2 x + 5|+ c.
c) ∫
tan5(x) sec(x) dx
Fazendo-se u = sec(x) obtemos que∫
tan5(x) sec(x) dx =
∫
tan4(x) sec(x) tan(x) dx =
∫
(sec2(x)− 1)2 sec(x) tan(x) dx =
∫
(u2−1)2 du =
∫
(1−2 u2 +u4) du = u− 2
3
u3 +
1
5
u5 +c = sec(x)− 2
3
sec3(x)+
1
5
sec5(x)+c.
d) ∫
ex 2x dx
Fazendo por partes (u = ex , dv = 2xdx)∫
ex 2x dx = ex
2x
ln(2)
− 1
ln(2)
∫
ex 2x dx.
Resolvendo-se a equac¸a˜o obtemos que∫
ex 2x dx =
1
ln(2) + 1
ex 2x + c
e) ∫
x + 3
x3 − x2 − x + 1 dx
Por frac¸o˜es parciais obtemos que :
x + 3
x3 − x2 − x + 1 =
x + 3
(x− 1)2 (x + 1) = −
1
2
1
(x− 1) + 2
1
(x− 1)2 +
1
2
1
(x + 1)
.
Portanto,∫
x + 3
x3 − x2 − x + 1 dx = −
1
2
ln(|x− 1|)− 2 (x− 1)−1 + 1
2
ln(|x + 1|) + c.
2. Como as func¸o˜es g(x) = x3 − x e f(x) = sen(pix) sa˜o func¸o˜es ı´mpares e g(x) ≤ 0 ≤ f(x)
para todo 0 ≤ x ≤ 1, temos que:
A´rea da regia˜o = 2
∫
1
0
[f(x)− g(x)]dx = 2
∫
1
0
[sen(pix)− (x3 − x)]dx =
= 2[−cos(pix)
pi
− x
4
4
+
x2
2
]
∣∣∣1
0
= 2(
1
pi
− 1
4
+
1
2
+
1
pi
) =
= 2(
2
pi
+
1
4
) =
4
pi
+
1
2
.
3. Desde que y = e
x+e−x
2
temos y′ = e
x
−e
−x
2
e (y′)2 = e
2x
−2+e−2x
4
. Se S e´ o comprimento
pedido enta˜o pela fo´rmula do ca´lculo de comprimento de arco temos:
S =
∫
1
0
√
1 + (y′)2 dx =
∫
1
0
√
1 +
e2x − 2 + e−2x
4
dx =
∫
1
0
√
e2x + 2 + e−2x
2
dx =
=
1
2
∫
1
0
(ex + e−x) dx =
1
2
(
ex − e−x) |10 = 12
(
e− 1
e
)
.
4. a) A integral impro´pria dada por
∫
2
0
x√
x2 − 4dx, e´ de fato, indefinida para todo x ∈ (0, 2),
portanto, ela na˜o pode ser calculada. Desta forma, podemos dizer que ela e´ divergente.
b) A integral impro´pria
∫
0
−∞
x2ex
3
dx = lim
a→−∞
∫
0
a
x2ex
3
dx =
1
3
lim
a→−∞
ex
3|0
a
=
1
3
lim
a→−∞
[1 −
ea
3
] =
1
3
. Portanto, esta integral impro´pria e´ convergente.