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Provas de algebra (2011/1)

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A´lgebra Linear - Prova 1
07/04/2011. Prof: Higidio, DMAT/UFPR
Em cada uma das questo˜es justifique sua resposta
Fac¸a uma boa redac¸a˜o, caso contra´rio perdera´ pontos
Resolva as 5 questo˜es
1. Determine os valores para x de tal forma que a matriz A seja sime´trica, onde
A =
[
4 2x2 − sen2(3x)
x4 + cos2(3x) 5
]
2. En cada um dos sistemas a seguir, interprete cada equac¸a˜o como uma reta no plano,
fac¸a o gra´fico dessas retas e determine geometricamente o nu´mero de soluc¸o˜es.
(a)
x1 + x2 = 4
x1 − x2 = 2 (b)
x1 + 2x2 = 4
−2x1 − 4x2 = 4
3. Para que valores de a o sistema de equac¸o˜es lineares
x1 + 2x2 + x3 = 1
−x1 + 4x2 + 3x3 = 2
2x1 − 2x2 + ax3 = 3
tem uma u´nica soluc¸a˜o?
4. Encontre a matriz inversa de
A =
 1 0 13 3 4
2 2 3

Seguidamente calcule a soluc¸a˜o de Ax = b onde b = [1, 1, 1]T .
5. Prove as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) Considere uma matriz A, 2× 2 e α um escalar, enta˜o det(αA) = α2 det(A).
(b) Seja A uma matriz n× n invert´ıvel, enta˜o det(A−1) = 1
det(A)
.
1
A´lgebra Linear - Prova 2
12/05/2011. Prof: Higidio, Dmat/Ufpr.
Importante: Em cada uma das questo˜es justifique sua resposta e fac¸a uma boa redac¸a˜o,
caso contra´rio podera´ na˜o pontuar nessas questo˜es.
1. Considere o conjunto R2. Neste conjunto definimos as operac¸oes de soma de vetores
e produto por um escalar dadas por:
(x1, x2)⊕ (y1, y2) := (x1 + y1, x2 + y2), α¯ (x1, x2) := (αx1, x2).
(a) A equac¸a˜o (α+ β)¯ (x1, x2) = α¯ (x1, x2)⊕ β ¯ (x1, x2) e´ satisfeita?
(b) R2 com as operac¸o˜es definidas acima, e´ um espac¸o vetorial?
2. Verifique se os seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os de R2.
(a) S1 = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 1}.
(b) S2 = {(x, y) ∈ R2 : x− 2y = 0}.
3. Determine se os vetores a seguir sa˜o linearmente independentes.
(a) (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) em R3.
(b) sen(x), cos(x), cos(x+ 1) em C(]−∞,∞[).
4. Encontre a dimensa˜o dos subespac¸os:
(a) S1 = {p ∈ P2 : p(0) = 0, p′(0) = 0} ⊂ P2.
(b) S2 = spam{(1, 0, 1), (2, 4, 0), (1, 4,−1), (4, 8, 0)} ⊂ R3.
5. Determine se as seguintes func¸o˜es sa˜o transformac¸o˜es lineares.
(a) T : P2 → P2 dada por T (p(x)) = x+ p(x).
(b) L : C[0, 1]→ R dada por L(f) = f(0) + 2f(1).
2
A´lgebra Linear - Prova 3
16/06/2011. Prof: Higidio, Dmat/Ufpr.
Importante: Em cada uma das questo˜es justifique sua resposta e fac¸a uma boa redac¸a˜o,
caso contra´rio podera´ na˜o pontuar nessas questo˜es.
1. Calcule o nu´cleo das seguintes transformac¸o˜es lineares.
(a) T : R3 → R3 dada por T (x1, x2, x3) = (x1, x2 − x1, 0).
(b) L : P2 → P2 dada por L(p(x)) = xp′(x).
2. Considere a transformac¸a˜o linear T : P2 → P1 dada por T (p) = p′ + p(0).
(a) Encontre a matriz A que representa T nas bases ordenadas B1 = {x2, x, 1} de
P2 e B2 = {2, 1− x} de P1.
(b) para p(x) = x2 + 1, encontre as coordenadas de T (p) na base B2.
3. Considere o espac¸o vetorial C([0, pi]) com o produto interno
〈f, g〉 :=
∫ pi
0
f(x)g(x) dx.
(a) As func¸o˜es fn(x) = cos(nx), n = 1, 2, 3, 4, . . . sa˜o ortogonais?
(b) A func¸a˜o sen(x) e´ ortogonal a algum fn?
4. Dada a base {(1, 2,−2), (4, 3, 2), (1, 2, 1)} de R3, use o processo de Gram-Schmidt
para encontrar uma base ortonormal.
5. Seja a ∈ R. Considere a seguinte matriz
A =
[
0 a2
1 0
]
(a) Determine os valores de a de tal forma que a matriz seja diagonaliza´vel.
(b) Para os valores de a onde a matriz e´ diagonaliza´vel, calcule a matriz que diag-
onaliza A.
3
A´lgebra Linear - Prova 1 (2a Chamada)
21/06/2011. Prof: Higidio, DMAT/UFPR
Em cada uma das questo˜es justifique sua resposta
Fac¸a uma boa redac¸a˜o, caso contra´rio perdera´ pontos
1. Determine os valores para x de tal forma que a matriz A seja sime´trica, onde
A =
[
300 x3 + x2sen2(3x)− x
x− x2 cos2(3x) −100
]
2. Encontre a matriz inversa de
A =
 1 0 13 3 4
2 2 3

Seguidamente calcule a soluc¸a˜o de Ax = b onde b = [1, 1, 1]T .
3. Prove as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) Considere uma matriz A, 2× 2 e α um escalar, enta˜o det(αA) = α2 det(A).
(b) Seja A uma matriz n× n invert´ıvel, enta˜o det(A−1) = 1
det(A)
.
4. Suponha que a matriz A, 3× 3, fatora em um produto
A =
 1 0 0b21 1 0
b31 b32 1
 c11 c12 c130 c22 c23
0 0 c33

Determine o valor de det(A).
4
A´lgebra Linear - Prova 2 (2a Chamada)
21/06/2011. Prof: Higidio, Dmat/Ufpr.
Importante: Em cada uma das questo˜es justifique sua resposta e fac¸a uma boa redac¸a˜o,
caso contra´rio podera´ na˜o pontuar nessas questo˜es.
1. Verifique se os seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os de R3.
(a) S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y + z2 = 0}.
(b) S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x− y + 3z = 0}.
2. Determine se os vetores a seguir sa˜o linearmente independentes.
(a) (1, 1, 1), (2, 3, 0), (3, 4, 1) em R3.
(b) 2, 2− x, x2 em C(]−∞,∞[).
3. Encontre a dimensa˜o dos subespac¸os:
(a) S1 = {p ∈ P3 : p′′ = 0} ⊂ P3.
(b) S2 = spam{(1, 0, 1), (2, 4, 0), (1, 4,−1), (4, 8, 0)} ⊂ R3.
4. Determine se as seguintes func¸o˜es sa˜o transformac¸o˜es lineares.
(a) T : P2 → P2 dada por T (p(x)) = x2 + p(x).
(b) L : C[0, 1]→ R dada por L(f) = f(0)− 5f(1).
5
A´lgebra Linear - Prova 3 (2a Chamada)
21/06/2011. Prof: Higidio, Dmat/Ufpr.
Importante: Em cada uma das questo˜es justifique sua resposta e fac¸a uma boa redac¸a˜o,
caso contra´rio podera´ na˜o pontuar nessas questo˜es.
1. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 → R2 dada por T (x1, x2, x3) = (x1−x2, x1).
(a) Encontre a matrizA que representa T nas bases ordenadasB1 = {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)}
e B2 = {(2, 0), (1, 1)} .
(b) Encontre as coordenadas de T (1, 2, 3) na base B2.
2. Considere o espac¸o vetorial C([−1, 1]) com o produto interno
〈f, g〉 :=
∫ 1
−1
f(x)g(x) dx.
Usando o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt encontre uma base ortonor-
mal para o espac¸o gerado pelas func¸o˜es {1, x, x2}.
3. Encontre a melhor aproximac¸a˜o por mı´nimos quadra´ticos da soluc¸a˜o do sistema de
equac¸o˜es
x1 + x2 = 3
−2x1 + 3x2 = 1
2x1 − x2 = 2
4. Seja a, b ∈ R. Considere a seguinte matriz
A =
[
a b
0 1
]
(a) Determine os valores de a e b de tal forma que a matriz seja diagonaliza´vel.
(b) Caso a matriz seja diagonaliza´vel, calcule a matriz que diagonaliza A.
6

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