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A´lgebra Linear - Prova 1 07/04/2011. Prof: Higidio, DMAT/UFPR Em cada uma das questo˜es justifique sua resposta Fac¸a uma boa redac¸a˜o, caso contra´rio perdera´ pontos Resolva as 5 questo˜es 1. Determine os valores para x de tal forma que a matriz A seja sime´trica, onde A = [ 4 2x2 − sen2(3x) x4 + cos2(3x) 5 ] 2. En cada um dos sistemas a seguir, interprete cada equac¸a˜o como uma reta no plano, fac¸a o gra´fico dessas retas e determine geometricamente o nu´mero de soluc¸o˜es. (a) x1 + x2 = 4 x1 − x2 = 2 (b) x1 + 2x2 = 4 −2x1 − 4x2 = 4 3. Para que valores de a o sistema de equac¸o˜es lineares x1 + 2x2 + x3 = 1 −x1 + 4x2 + 3x3 = 2 2x1 − 2x2 + ax3 = 3 tem uma u´nica soluc¸a˜o? 4. Encontre a matriz inversa de A = 1 0 13 3 4 2 2 3 Seguidamente calcule a soluc¸a˜o de Ax = b onde b = [1, 1, 1]T . 5. Prove as seguintes afirmac¸o˜es: (a) Considere uma matriz A, 2× 2 e α um escalar, enta˜o det(αA) = α2 det(A). (b) Seja A uma matriz n× n invert´ıvel, enta˜o det(A−1) = 1 det(A) . 1 A´lgebra Linear - Prova 2 12/05/2011. Prof: Higidio, Dmat/Ufpr. Importante: Em cada uma das questo˜es justifique sua resposta e fac¸a uma boa redac¸a˜o, caso contra´rio podera´ na˜o pontuar nessas questo˜es. 1. Considere o conjunto R2. Neste conjunto definimos as operac¸oes de soma de vetores e produto por um escalar dadas por: (x1, x2)⊕ (y1, y2) := (x1 + y1, x2 + y2), α¯ (x1, x2) := (αx1, x2). (a) A equac¸a˜o (α+ β)¯ (x1, x2) = α¯ (x1, x2)⊕ β ¯ (x1, x2) e´ satisfeita? (b) R2 com as operac¸o˜es definidas acima, e´ um espac¸o vetorial? 2. Verifique se os seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os de R2. (a) S1 = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 1}. (b) S2 = {(x, y) ∈ R2 : x− 2y = 0}. 3. Determine se os vetores a seguir sa˜o linearmente independentes. (a) (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) em R3. (b) sen(x), cos(x), cos(x+ 1) em C(]−∞,∞[). 4. Encontre a dimensa˜o dos subespac¸os: (a) S1 = {p ∈ P2 : p(0) = 0, p′(0) = 0} ⊂ P2. (b) S2 = spam{(1, 0, 1), (2, 4, 0), (1, 4,−1), (4, 8, 0)} ⊂ R3. 5. Determine se as seguintes func¸o˜es sa˜o transformac¸o˜es lineares. (a) T : P2 → P2 dada por T (p(x)) = x+ p(x). (b) L : C[0, 1]→ R dada por L(f) = f(0) + 2f(1). 2 A´lgebra Linear - Prova 3 16/06/2011. Prof: Higidio, Dmat/Ufpr. Importante: Em cada uma das questo˜es justifique sua resposta e fac¸a uma boa redac¸a˜o, caso contra´rio podera´ na˜o pontuar nessas questo˜es. 1. Calcule o nu´cleo das seguintes transformac¸o˜es lineares. (a) T : R3 → R3 dada por T (x1, x2, x3) = (x1, x2 − x1, 0). (b) L : P2 → P2 dada por L(p(x)) = xp′(x). 2. Considere a transformac¸a˜o linear T : P2 → P1 dada por T (p) = p′ + p(0). (a) Encontre a matriz A que representa T nas bases ordenadas B1 = {x2, x, 1} de P2 e B2 = {2, 1− x} de P1. (b) para p(x) = x2 + 1, encontre as coordenadas de T (p) na base B2. 3. Considere o espac¸o vetorial C([0, pi]) com o produto interno 〈f, g〉 := ∫ pi 0 f(x)g(x) dx. (a) As func¸o˜es fn(x) = cos(nx), n = 1, 2, 3, 4, . . . sa˜o ortogonais? (b) A func¸a˜o sen(x) e´ ortogonal a algum fn? 4. Dada a base {(1, 2,−2), (4, 3, 2), (1, 2, 1)} de R3, use o processo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal. 5. Seja a ∈ R. Considere a seguinte matriz A = [ 0 a2 1 0 ] (a) Determine os valores de a de tal forma que a matriz seja diagonaliza´vel. (b) Para os valores de a onde a matriz e´ diagonaliza´vel, calcule a matriz que diag- onaliza A. 3 A´lgebra Linear - Prova 1 (2a Chamada) 21/06/2011. Prof: Higidio, DMAT/UFPR Em cada uma das questo˜es justifique sua resposta Fac¸a uma boa redac¸a˜o, caso contra´rio perdera´ pontos 1. Determine os valores para x de tal forma que a matriz A seja sime´trica, onde A = [ 300 x3 + x2sen2(3x)− x x− x2 cos2(3x) −100 ] 2. Encontre a matriz inversa de A = 1 0 13 3 4 2 2 3 Seguidamente calcule a soluc¸a˜o de Ax = b onde b = [1, 1, 1]T . 3. Prove as seguintes afirmac¸o˜es: (a) Considere uma matriz A, 2× 2 e α um escalar, enta˜o det(αA) = α2 det(A). (b) Seja A uma matriz n× n invert´ıvel, enta˜o det(A−1) = 1 det(A) . 4. Suponha que a matriz A, 3× 3, fatora em um produto A = 1 0 0b21 1 0 b31 b32 1 c11 c12 c130 c22 c23 0 0 c33 Determine o valor de det(A). 4 A´lgebra Linear - Prova 2 (2a Chamada) 21/06/2011. Prof: Higidio, Dmat/Ufpr. Importante: Em cada uma das questo˜es justifique sua resposta e fac¸a uma boa redac¸a˜o, caso contra´rio podera´ na˜o pontuar nessas questo˜es. 1. Verifique se os seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os de R3. (a) S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y + z2 = 0}. (b) S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x− y + 3z = 0}. 2. Determine se os vetores a seguir sa˜o linearmente independentes. (a) (1, 1, 1), (2, 3, 0), (3, 4, 1) em R3. (b) 2, 2− x, x2 em C(]−∞,∞[). 3. Encontre a dimensa˜o dos subespac¸os: (a) S1 = {p ∈ P3 : p′′ = 0} ⊂ P3. (b) S2 = spam{(1, 0, 1), (2, 4, 0), (1, 4,−1), (4, 8, 0)} ⊂ R3. 4. Determine se as seguintes func¸o˜es sa˜o transformac¸o˜es lineares. (a) T : P2 → P2 dada por T (p(x)) = x2 + p(x). (b) L : C[0, 1]→ R dada por L(f) = f(0)− 5f(1). 5 A´lgebra Linear - Prova 3 (2a Chamada) 21/06/2011. Prof: Higidio, Dmat/Ufpr. Importante: Em cada uma das questo˜es justifique sua resposta e fac¸a uma boa redac¸a˜o, caso contra´rio podera´ na˜o pontuar nessas questo˜es. 1. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 → R2 dada por T (x1, x2, x3) = (x1−x2, x1). (a) Encontre a matrizA que representa T nas bases ordenadasB1 = {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)} e B2 = {(2, 0), (1, 1)} . (b) Encontre as coordenadas de T (1, 2, 3) na base B2. 2. Considere o espac¸o vetorial C([−1, 1]) com o produto interno 〈f, g〉 := ∫ 1 −1 f(x)g(x) dx. Usando o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt encontre uma base ortonor- mal para o espac¸o gerado pelas func¸o˜es {1, x, x2}. 3. Encontre a melhor aproximac¸a˜o por mı´nimos quadra´ticos da soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es x1 + x2 = 3 −2x1 + 3x2 = 1 2x1 − x2 = 2 4. Seja a, b ∈ R. Considere a seguinte matriz A = [ a b 0 1 ] (a) Determine os valores de a e b de tal forma que a matriz seja diagonaliza´vel. (b) Caso a matriz seja diagonaliza´vel, calcule a matriz que diagonaliza A. 6
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